複素数と方程式：代数学の基本定理

$c=0$ なら $w=0$ でよい。$c\ne0$ のとき、$c=r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r=|c|>0$）と極形式で書き、$\rho:=\sqrt[k]r$（正の実数の $k$ 乗根）とおく。$w_j:=\rho\bigl(\cos\frac{\theta+2\pi j}k+i\sin\frac{\theta+2\pi j}k\bigr)$（$j=0,1,\dots,k-1$）は、ド・モアブルの定理により $w_j^k=r(\cos(\theta+2\pi j)+i\sin(\theta+2\pi j))=c$ を満たす。$w_j$ どうしの偏角の差は $\frac{2\pi}k$ の $1$ 倍から $k-1$ 倍で、$2\pi$ の整数倍でないので、$w_0,\dots,w_{k-1}$ は互いに異なる。逆に $w^k=c$ なら $|w|=\rho$ であり、$w$ の偏角 $\varphi$ は $k\varphi-\theta$ が $2\pi$ の整数倍となるので、$w$ は $w_j$ のどれかである。$\square$

$p\ne0$ のとき、$X^2+qX-\frac{p^3}{27}=0$ の解は $-\frac q2\pm\sqrt D$ なので、$u^3$ はその 1 つであり、$u^3(u^3+q)=\frac{p^3}{27}$ を満たす。この右辺は $0$ でないので $u\ne0$ であり、$v=-\frac p{3u}$ から $v^3=-\frac{p^3}{27u^3}=-(u^3+q)$ となる。$p=0$ のときは、定め方から $u^3=-q$、$v=0$ である。どちらの場合も
$$ uv=-\frac p3,\qquad u^3+v^3=-q $$
である。ここで、$1+\omega+\omega^2=0$、$\omega^3=1$ を使って展開すると確かめられる恒等式
$$ A^3+B^3+C^3-3ABC=(A+B+C)(A+\omega B+\omega^2C)(A+\omega^2B+\omega C) $$
に $A=t$、$B=-u$、$C=-v$ を代入すると、左辺は $t^3-3uv\,t-(u^3+v^3)=t^3+pt+q$、右辺は $(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)$ になる。$\square$

$D<0$ なら $\bigl(\frac p3\bigr)^3<0$ なので $p<0$ である。$s:=\sqrt{-p/3}>0$ とおくと $f'(t)=3t^2+p$ は $t=\pm s$ で $0$ になり、$p=-3s^2$ を使うと
$$ f(-s)f(s)=(q+2s^3)(q-2s^3)=q^2-4s^6=q^2+\frac{4p^3}{27}=4D<0 $$
である。$f(-s)>f(s)$（$f(-s)-f(s)=4s^3>0$）なので $f(-s)>0>f(s)$ であり、$f(t)\to\mp\infty$（$t\to\mp\infty$）と中間値の定理により、$f$ は $(-\infty,-s)$、$(-s,s)$、$(s,\infty)$ のそれぞれに解をもつ。thm-cfta-cardano により 3 次式の解は重複を込めて 3 個なので、これで全部である。
$\sqrt D$ は純虚数なので $u^3=-\frac q2+\sqrt D$ は実数でなく、実数の 3 乗は実数なので $u$ も実数でない。$u^3$ と $v^3=-\frac q2-\sqrt D=\overline{u^3}$ は共役で、$|u|^2=|uv|=\frac{-p}3$ だから $v=-\frac p{3u}=\frac{|u|^2}u=\bar u$ である。同様に $\omega^2v=\overline{\omega u}$、$\omega v=\overline{\omega^2u}$ なので、$t_1,t_2,t_3$ は $u'+\overline{u'}$ の形である。$\square$

$S:=|a_0|+|a_1|+\cdots+|a_{n-1}|$ とおく。$|z|\ge1$ なら $k< n$ で $|z|^k\le|z|^{n-1}$ なので、三角不等式により
$$ |p(z)|\ge|a_n||z|^n-\sum_{k< n}|a_k||z|^k\ge|z|^{n-1}\bigl(|a_n||z|-S\bigr) $$
である。$R:=\max\Bigl(1,\dfrac{S+|a_0|+1}{|a_n|}\Bigr)$ とおくと、$|z|\ge R$ で $|a_n||z|-S\ge|a_0|+1$、$|z|^{n-1}\ge1$ なので $|p(z)|\ge|a_0|+1>|p(0)|$ である。$\square$

$q(w):=\dfrac{p(z_0+w)}{p(z_0)}$ とおく。$p(z_0+w)$ を $w$ について展開すると $w$ の $n$ 次式なので、
$$ q(w)=1+b_kw^k+b_{k+1}w^{k+1}+\cdots+b_nw^n,\qquad b_k\ne0 $$
と書ける。ここで $k$ は $1\le k\le n$ で係数が $0$ でない最小の次数である（$w^n$ の係数は $a_n/p(z_0)\ne0$ なので、そのような $k$ はある）。prop-cfta-roots により $c^k=-\frac1{b_k}$ となる複素数 $c$ をとる。$0< t<1$ の実数 $t$ について
$$ q(tc)=1-t^k+t^{k+1}g(t),\qquad g(t):=\sum_{j=k+1}^nb_jc^jt^{j-k-1} $$
であり、$|g(t)|\le C:=\sum_{j=k+1}^n|b_j||c|^j$ である。三角不等式により
$$ |q(tc)|\le(1-t^k)+Ct^{k+1}=1-t^k(1-Ct) $$
となる。$t$ を $0< t<1$ かつ $Ct<1$ にとれば（たとえば $t=\frac1{2(C+1)}$）、$|q(tc)|<1$、すなわち $|p(z_0+tc)|<|p(z_0)|$ である。$\square$

lem-cfta-growth の $R$ をとる。rem-cfta-extreme-value により、$|p|$ は閉円板 $|z|\le R$ 上のある点 $z_0$ で最小値をとる。$0$ はこの円板に入るので $|p(z_0)|\le|p(0)|$ であり、円板の外では $|p(z)|>|p(0)|\ge|p(z_0)|$ である。よって $|p(z_0)|$ は複素平面全体での $|p|$ の最小値である。もし $p(z_0)\ne0$ なら、lem-cfta-descent により $|p(z)|<|p(z_0)|$ となる $z$ があり、最小性に反する。よって $p(z_0)=0$ である。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ なら $p=a_1\bigl(z+\frac{a_0}{a_1}\bigr)$ である。$n\ge2$ のとき、thm-cfta-fta により根 $\alpha_1$ があり、因数定理により $p(z)=(z-\alpha_1)p_1(z)$、$p_1$ は最高次の係数 $a_n$ の $n-1$ 次式である。$p_1$ に帰納法の仮定を使えばよい。一意性：もう 1 つの分解 $a_n\prod(z-\beta_j)$ があれば、$z=\alpha_1$ を代入して $\prod(\alpha_1-\beta_j)=0$ なので、ある $\beta_j$ が $\alpha_1$ に等しい。両辺から $z-\alpha_1$ を取り除いた $n-1$ 次式は、$z\ne\alpha_1$ で等しく、差が $0$ でない多項式なら根が無限個あることになるので、多項式として等しい。あとは帰納法による。$\square$

次数についての帰納法で示す。$f$ の係数は実数なので、$f(\alpha)=0$ なら両辺の共役をとって $f(\bar\alpha)=\overline{f(\alpha)}=0$ である。thm-cfta-fta により $f$ は複素数の根 $\alpha$ をもつ。

• $\alpha$ が実数なら、因数定理により $f=(x-\alpha)g$ であり、$g$ は実数係数である（実数係数の多項式を $x-\alpha$ で割る筆算は実数の範囲で行える）。
• $\alpha$ が実数でないなら、$\bar\alpha\ne\alpha$ も根であり、$f=(x-\alpha)(x-\bar\alpha)g$ と書ける（$f=(x-\alpha)h$ とし、$h(\bar\alpha)=0$ に因数定理を使う。Axl24 4.16 も同じ議論である）。$(x-\alpha)(x-\bar\alpha)=x^2-2(\operatorname{Re}\alpha)x+|\alpha|^2$ は実数係数で、判別式は $4(\operatorname{Re}\alpha)^2-4|\alpha|^2=-4(\operatorname{Im}\alpha)^2<0$ である。$f$ をこの 2 次式で実数の範囲で割ると $f=(x^2-2(\operatorname{Re}\alpha)x+|\alpha|^2)g_1+(\text{1 次以下の余り})$ となり、複素数の範囲での割り算の一意性から余りは $0$、$g_1=g$ である。よって $g$ は実数係数である。
  どちらの場合も $g$ の次数は $f$ より小さいので、帰納法の仮定（$g$ が定数なら何もしない）により主張が従う。$\square$

thm-cfta-real-factorization の分解で、2 次式の部分の次数は偶数なので、次数が奇数なら 1 次式が少なくとも 1 つある。$\square$

$f=gh$（$g,h$ は整数係数で定数でない）と仮定する。最高次の係数の積が $1$ なので、どちらも $\pm1$ であり、必要なら両方に $-1$ を掛けて $g,h$ の最高次の係数を $1$ としてよい。定数項について $g(0)h(0)=f(0)=3$ なので、$|g(0)|,|h(0)|$ の一方は $1$ である。$|g(0)|=1$ とし、$g$ の次数を $k\ge1$、$g$ の複素数の根を $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ とする（cor-cfta-factorization により $g(x)=\prod(x-\alpha_i)$ と分解できる）。

• $|\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k|=|g(0)|=1$ である（$g(0)=\prod(-\alpha_i)$）。
• 各 $\alpha_i$ は $f$ の根なので $\alpha_i^{n-1}(\alpha_i+5)=-3$、よって $|\alpha_i+5|=\dfrac3{|\alpha_i|^{n-1}}$ である（$f(0)=3\ne0$ なので $\alpha_i\ne0$）。
• 掛け合わせると $|g(-5)|=\prod|-5-\alpha_i|=\dfrac{3^k}{|\alpha_1\cdots\alpha_k|^{n-1}}=3^k$ である。
  一方、$g(-5)h(-5)=f(-5)=(-5)^n+5(-5)^{n-1}+3=3$ であり、$g(-5),h(-5)$ は整数なので $|g(-5)|$ は $3$ の約数である。よって $3^k\le3$、$k=1$ となり、$g(x)=x-a$（$a=\alpha_1$ は整数で $|a|=1$）である。ところが $f(1)=9$、$f(-1)=(-1)^n+5(-1)^{n-1}+3$ は $n$ が偶数なら $-1$、奇数なら $7$ で、どちらも $0$ でない。これは $a$ が $f$ の根であることに反する。$\square$