部分環

$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ はいずれも部分環の包含である。どれも $1$ を含み、差と積で閉じている。$\mathbb{Z}$ の部分環は $\mathbb{Z}$ 自身だけである。実際、部分環は $1$ を含み加法と加法の逆元で閉じるので、$1+\cdots+1$ と $-(1+\cdots+1)$、すなわちすべての整数を含む。同じ理由で、任意の環 $R$ の部分環は $\{n\cdot1_R\mid n\in\mathbb{Z}\}$ を含む。この集合は $R$ の最小の部分環 $\langle\emptyset\rangle$ であり、素部分環と呼ばれる（ex-subring-prime-subring、標数）。

$\mathbb{C}$ において $i$ が生成する部分環 $\mathbb{Z}[i]$ は
$$ \mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\} $$
である。実際、prop-subring-adjoin により $\mathbb{Z}[i]$ は整数係数の多項式 $f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_mx^m$ に $i$ を代入した値 $f(i)$ の全体である。$i^2=-1$ より $i^{2k}=(-1)^k$、$i^{2k+1}=(-1)^ki$ なので、$f(i)=a+bi$（$a=c_0-c_2+c_4-\cdots$、$b=c_1-c_3+c_5-\cdots$）は右辺の元である。逆に $a+bi$ は $f(x)=a+bx$ の値である。$a+bi=c+di$（$a,b,c,d\in\mathbb{Z}$）なら実部と虚部を比べて $a=c$、$b=d$ となるので、表示は一意である。$\mathbb{Z}[i]$ が差と積で閉じていることの直接の確認、および単元が $\pm1,\pm i$ の 4 つであることの証明は 環 の記事の例（Gauss整数環と数の体）にある。

$\mathbb{R}$ において $\sqrt2$ が生成する部分環は
$$ \mathbb{Z}[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb{Z}\} $$
である。prop-subring-adjoin により $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ は $f(\sqrt2)$（$f$ は整数係数の多項式）の全体であり、$(\sqrt2)^{2k}=2^k$、$(\sqrt2)^{2k+1}=2^k\sqrt2$ から $f(\sqrt2)$ は $a+b\sqrt2$（$a,b\in\mathbb{Z}$）の形になる。逆に $a+b\sqrt2=f(\sqrt2)$、$f(x)=a+bx$ である。念のため閉性を直接確かめると、
$$ (a+b\sqrt2)-(c+d\sqrt2)=(a-c)+(b-d)\sqrt2,\qquad (a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2 $$
である。表示は一意である。実際 $a+b\sqrt2=c+d\sqrt2$ かつ $b\neq d$ なら $\sqrt2=(a-c)/(d-b)$ は有理数になるが、$\sqrt2$ は無理数である。
$\mathbb{Z}[\sqrt2]$ は体ではない。たとえば $\tfrac12=a+b\sqrt2$ とすると表示の一意性（$\mathbb{Q}$ 係数でも同じ議論が通る）から $b=0$、$a=\tfrac12$ となり $a\in\mathbb{Z}$ に反するので、$2$ の逆元は $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ に属さない。一方、$(1+\sqrt2)(-1+\sqrt2)=1$ なので $1+\sqrt2$ は $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ の単元であり、$\mathbb{Z}[\sqrt2]$ の単元群は無限群になる（単元）。$\mathbb{Z}[\sqrt2]$ を $\mathbb{Q}$ 上に広げた $\mathbb{Q}(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb{Q}\}$ は $\mathbb{R}$ の部分体であり、$\mathbb{Z}[\sqrt2]$ の商体である。

環 $R$ の直積 $R\times R$（成分ごとの演算）において、対角集合 $\Delta=\{(a,a)\mid a\in R\}$ は部分環である。単位元 $(1,1)$ を含み、$(a,a)-(b,b)=(a-b,a-b)$、$(a,a)(b,b)=(ab,ab)$ だからである。
体 $k$ 上の 2 次の行列環 $M_2(k)$ において、上三角行列の全体
$$ T=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b,d\in k\right\} $$
は部分環である。単位行列を含み、差は明らかに上三角であり、積は
$$ \begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a'&b'\\0&d'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'&ab'+bd'\\0&dd'\end{pmatrix} $$
だから再び上三角である。$T$ は可換でない部分環の例である。

$R=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ の部分集合 $S=\mathbb{Z}\times\{0\}$ を考える。$(a,0)-(b,0)=(a-b,0)$、$(a,0)(b,0)=(ab,0)$ なので $S$ は差と積で閉じており、$(1,0)$ は $S$ の中で乗法の単位元としてふるまう（$(1,0)(a,0)=(a,0)(1,0)=(a,0)$）。つまり $S$ はそれ自身の単位元 $(1,0)$ をもつ環であり、射影 $(a,0)\mapsto a$ によって $\mathbb{Z}$ と同型である。しかし $R$ の単位元 $(1,1)$ は $S$ に属さないので、$S$ は本記事の意味の部分環ではない。
この例が満たす性質は「差と積で閉じ、演算の制限で単位的環になる」（rem-subring-conventions の 2 の意味の部分環）、満たさない性質は条件 1 の「$1_R\in S$」であり、破る含意は「それ自身の単位元をもつ部分集合は部分環である」である。対応して、写像 $j\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$、$n\mapsto(n,0)$ は加法と乗法を保つ単射だが $j(1)=(1,0)\neq(1,1)$ なので環準同型ではない。ex-subring-diagonal-triangular の対角集合 $\{(a,a)\}$ と比べると違いがはっきりする。この現象は $R$ が 0 以外の零因子 $(1,0)\cdot(0,1)=(0,0)$ をもつことから起こる（prop-subring-own-unit）。

偶数全体 $2\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$ は差と積で閉じているが $1\notin2\mathbb{Z}$ なので部分環ではない。しかも $2\mathbb{Z}$ はそれ自身の単位元ももたない。$e\in2\mathbb{Z}$ が $2\mathbb{Z}$ の単位元なら $e\cdot2=2$ から $e=1$ となって矛盾するからである。したがって $2\mathbb{Z}$ は rem-subring-conventions の 3 の意味の部分環だが 2 の意味の部分環ではない。破る含意は「差と積で閉じた空でない部分集合は部分環である」である。$2\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ のイデアルであり、部分環とイデアルが別の概念であることは 環 の記事の例（反例：部分環とイデアルは互いに含意しない）で扱っている。

$\alpha:=\sqrt[3]{2}\in\mathbb{R}$ とし、$M=\{a+b\alpha\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ とおく。$M$ は $1$ を含み差で閉じている（加法部分群である）が、積で閉じていない。実際 $\alpha\in M$ だが $\alpha^2=\sqrt[3]{4}\notin M$ である。
これを示す。まず $\alpha$ は無理数である。$\alpha=p/q$（$p,q$ は互いに素な整数、$q>0$）とすると $p^3=2q^3$ より $p$ は偶数で、$p=2p'$ とおくと $4p'^3=q^3$ となり $q$ も偶数となって矛盾する。次に $\alpha^2=a+b\alpha$ となる有理数 $a,b$ があったとする。両辺に $\alpha$ を掛けると $2=a\alpha+b\alpha^2=a\alpha+b(a+b\alpha)=ab+(a+b^2)\alpha$ である。$a+b^2\neq0$ なら $\alpha=(2-ab)/(a+b^2)$ が有理数となって矛盾するので、$a=-b^2$ かつ $ab=2$ である。すると $-b^3=2$、すなわち $(-b)^3=2$ となり、有理数 $-b$ が $2$ の 3 乗根になって再び矛盾する。よって $\alpha^2$ は $a+b\alpha$（$a,b\in\mathbb{Q}$）の形にすら書けない。
この例は条件 1、2 を満たし 3 を満たさない。破る含意は「$1$ を含む加法部分群は部分環である」である。$\alpha$ が生成する部分環は $\mathbb{Z}[\alpha]=\{a+b\alpha+c\alpha^2\mid a,b,c\in\mathbb{Z}\}$ であり（$\alpha^3=2$ を使えば ex-subring-z-sqrt2 と同じ議論になる）、$M$ より真に大きい。

$X=\emptyset$ とすると、単項式は空な積 $1_R$ だけであり、prop-subring-generated-description により
$$ \langle\emptyset\rangle=\{\underbrace{\pm1_R\pm1_R\pm\cdots\pm1_R}_{r\text{ 個}}\mid r\geq0\}=\{n\cdot1_R\mid n\in\mathbb{Z}\} $$
である。これは $R$ のすべての部分環に含まれる最小の部分環であり、整数環からの環準同型 $\mathbb{Z}\to R$、$n\mapsto n\cdot1_R$ の像でもある。これが $\mathbb{Z}$ または $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$（$m$ は $R$ の標数）と同型になることは 標数 の記事で扱う。たとえば $R=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の素部分環は $\{(n,[n])\mid n\in\mathbb{Z}\}$ であり、$n\mapsto(n,[n])$ は単射なので $\mathbb{Z}$ と同型である。