宮岡–Yau不等式
概要
宮岡–Yau不等式（Miyaoka–Yau inequality）とは、一般型の複素代数曲面 $X$ の Chern 数が $c_1^2(X)\le3c_2(X)$ をみたすという定理であり、Noether の公式により $K_X^2\le9\chi(\mathcal{O}_X)$ と同値である。1977 年に宮岡洋一と S.-T. Yau が独立に証明し、Yau は標準束が豊富なとき等号が普遍被覆が単位球になることと同値であることも示した。Noether の不等式と合わせて一般型極小曲面の Chern 数の範囲を与え、$p_g=q=0$ なら $K^2\le9$ で、$K^2=9$ の曲面は射影平面と同じ Betti 数をもつ単位球の商になる。
前提知識: 代数曲面, Chern数, Noetherの公式, 多重種数, Enriques–小平の分類
宮岡–Yau 不等式（Miyaoka–Yau inequality）は、一般型の複素代数曲面 $X$ の 2 つの Chern 数のあいだに
$$
c_1^2(X)\le3\,c_2(X)
$$
が成り立つことを述べる定理である。ここで $c_1^2=K_X^2$ は標準因子の自己交点数、$c_2$ は位相的な Euler 標数である。Noether の公式 $12\chi(\mathcal{O}_X)=c_1^2+c_2$ を使うと、$K_X^2\le9\chi(\mathcal{O}_X)$ と同値である。Bogomolov の名を加えて Bogomolov–宮岡–Yau 不等式ともいう。
一般型の極小曲面の Chern 数には、ほかに $c_1^2>0$、$c_2>0$ と Noether の不等式 $p_g\le\frac12c_1^2+2$ が知られている。これらと合わせると、一般型の極小曲面の $(c_1^2,c_2)$ は平面の中の限られた範囲に入る（曲面の「地理」）。宮岡–Yau 不等式はその上側の境界を与える。不等式は 1966 年の Van de Ven の $c_1^2\le8c_2$ から始まり、Bogomolov による $c_1^2\le4c_2$ を経て、1977 年に宮岡洋一（Yoichi Miyaoka）と S.-T. Yau が独立に $c_1^2\le3c_2$ を証明した（BHPV04 VII §4 の注, p. 279）。宮岡は代数幾何の方法（余接束の対称冪の大域切断の評価）を、Yau は Calabi予想 の解決と同じ方法で得られる Kähler–Einstein 計量の存在を用いた。Yau の方法からは、標準束が豊富なとき、等号が成り立つのは普遍被覆が複素 2 次元の単位球のときに限ることも従う。
この記事では、不等式の言い換えと爆発への帰着、積や空間の曲面での確かめを証明し、宮岡の証明の筋のうち Riemann–Roch の定理による計算を完全に示す。不等式そのものと等号の場合は引用し、この記事では証明しない。帰結として、$p_g=q=0$ の一般型極小曲面では $K^2\le9$ であり、$K^2=9$ なら射影平面と同じ Betti 数をもちながら単位球の商になることを導く。
設定と記号
この記事では、曲面とは $\mathbb{C}$ 上の滑らかで連結な射影曲面をいう（Noetherの公式 の設定と同じ）。曲面 $X$ について
$$
c_1^2(X):=K_X^2,\qquad c_2(X):=e(X),\qquad\chi(\mathcal{O}_X)=1-q(X)+p_g(X)
$$
とおく。$c_1(X)=-K_X$ なので $c_1^2=K_X^2$ であり、接束の第 2 Chern 類の次数は Euler 標数に等しい（Chern–Gauss–Bonnetの定理）。Noether の公式（Noetherの公式 の定理「Noether の公式」）は
$$
12\,\chi(\mathcal{O}_X)=c_1^2(X)+c_2(X)
$$
である。曲面が一般型であるとは小平次元が $2$ であることをいう（多重種数 の定義「多重種数と小平次元」）。曲面が極小であるとは $(-1)$ 曲線をもたないことをいう（Enriques–小平の分類 の定義「極小曲面とネフな因子」）。
$H^2(X,\mathbb{R})$ のカップ積の符号数を $\tau(X)$ と書くと、Noetherの公式 の命題「符号数の公式」により $\tau(X)=\frac13\bigl(c_1^2(X)-2c_2(X)\bigr)$ である。
曲面 $X$ について、次は同値である。
- $c_1^2(X)\le3c_2(X)$。
- $K_X^2\le9\chi(\mathcal{O}_X)$。
- $\tau(X)\le\frac13e(X)$。
等号どうしも同様に同値である。
Noether の公式から $c_2=12\chi(\mathcal{O}_X)-K_X^2$ なので、1 は $K_X^2\le36\chi(\mathcal{O}_X)-3K_X^2$、すなわち $4K_X^2\le36\chi(\mathcal{O}_X)$ で、2 と同値である。符号数の公式から $\tau=\frac13(c_1^2-2c_2)$ なので、3 は $c_1^2-2c_2\le c_2$ で、1 と同値である。どの変形も同値変形なので、等号どうしも同値である。$\square$
曲面 $X_0$ の点の爆発を $k$ 回繰り返して得られる曲面を $X$ とすると
$$
c_1^2(X)=c_1^2(X_0)-k,\qquad c_2(X)=c_2(X_0)+k
$$
であり、$3c_2(X)-c_1^2(X)=3c_2(X_0)-c_1^2(X_0)+4k$ である。とくに $X_0$ で $c_1^2\le3c_2$ なら $X$ でも成り立ち、$k\ge1$ なら $X$ では等号が成り立たない。
1 回の爆発で $K^2$ は $1$ 減り、$e$ は $1$ 増える（Noetherの公式 の命題「爆発での不変量の変化」）。$k$ 回繰り返すと上の式を得て、$3(c_2+k)-(c_1^2-k)=3c_2-c_1^2+4k$ である。$\square$
どの曲面も、$(-1)$ 曲線の縮約を有限回繰り返して極小曲面にできる（Enriques–小平の分類）。小平次元は爆発で変わらないので、一般型の曲面についての不等式は、一般型の極小曲面の場合に帰着する。
主定理
$X$ を一般型の曲面とする。このとき
$$
c_1^2(X)\le3\,c_2(X)
$$
が成り立つ。同値な形として $K_X^2\le9\chi(\mathcal{O}_X)$、$\tau(X)\le\frac13e(X)$ である。
BHPV04 VII, Theorem (4.1)（p. 275）である。同書はコンパクト複素曲面について述べるが、一般型の曲面は代数次元が $2$ であり代数的である（同 VI, Table 10, p. 244）。証明は同 pp. 275–279 にあり、宮岡の証明 Miy77 を簡略にしたものである。この記事では証明しない（筋は下の「証明の筋」）。同値な形は lem-my-equivalent による。
$X$ を標準束 $K_X$ が豊富な曲面とする。このとき $3c_2(X)\ge c_1^2(X)$ であり、等号が成り立つことと、$X$ の普遍被覆が $\mathbb{C}^2$ の単位球 $\mathbb{B}^2=\{(z,w)\mid|z|^2+|w|^2< 1\}$ に双正則であることは同値である。
Yau77 Theorem 4（pp. 1798–1799）である。この記事では証明しない。Yau は、$K_X$ が豊富なら Ricci 曲率が負の定数の Kähler–Einstein 計量が存在することを示し、Chern の定理により $3c_2-c_1^2$ をその計量の曲率で書いた関数の積分として表した。この関数は各点で $0$ 以上なので不等式が従い、等号のときは正則断面曲率が負の定数になって、普遍被覆が単位球になる。BHPV04 I, Theorem (15.2) と Corollary (15.5)（p. 52）は、この議論に使う Kähler–Einstein 計量の存在と、等号のときの普遍被覆の決定を述べる。逆向きの、単位球のコンパクトな商で等号が成り立つことは、その Chern 数が双対の等質空間 $\mathbb{P}^2$ の Chern 数に比例するという Hirzebruch の比例定理による（BHPV04 V §20, p. 231）。
$K_X$ が豊富な曲面は一般型の極小曲面である。実際、$K_X^2>0$ なので $P_m$ は $m^2$ の速さで増え（代数曲面 の命題「自己交点数が正の因子の倍数」で $D=H=K_X$ とする）、$(-1)$ 曲線 $E$ では $K_X\cdot E=-1$ だが豊富な $K_X$ では $K_X\cdot E>0$ なので、$(-1)$ 曲線はない。逆に一般型の極小曲面では、$K_X\cdot C=0$ となる既約曲線 $C$ は $(-2)$ 曲線に限り（BHPV04 VII, Corollary (2.3), p. 272）、$(-2)$ 曲線がなければ $K_X$ は中井–Moishezon の判定法（中井–Moishezonの判定法）により豊富である。
証明の筋：余接束の対称冪
宮岡の証明は、$c_1^2>3c_2$ と仮定して、余接束 $\Omega^1_X$ の対称冪を標準束の負の有理数倍でひねった層の Euler 標数を 2 通りに評価し、矛盾を導く。片方は Riemann–Roch の定理による計算で、ここで完全に示す。
$X$ を曲面、$t$ を有理数とし、$n\ge1$ を $nt\in\mathbb{Z}$ となる整数とする。$W_n:=S^n\Omega^1_X\otimes\mathcal{O}_X(-ntK_X)$ とおくと
$$
\chi(W_n)=\frac{n^3}{6}\Bigl(c_1^2(X)\,(1-3t+3t^2)-c_2(X)\Bigr)+r_t(n)
$$
である。ここで $r_t(n)$ は $t$ と $X$ だけで決まる、$n$ の 2 次以下の多項式である。
要点：曲面の上の階数 $r$ の局所自由層 $W$ の Riemann–Roch の定理は $\chi(W)=\frac12(c_1(W)^2-2c_2(W))+\frac12c_1(W)\cdot c_1(X)+r\,\chi(\mathcal{O}_X)$ で、$n^3$ の項は最初の項からだけ出る。Chern 根で書くとそれは根の 2 乗の和の半分で、和の主要部は積分 $\int_0^1(sx_1+(1-s)x_2)^2ds$ で計算できる。
証明を開く
Riemann–Roch の定理．曲面の上の局所自由層 $W$ について上の式が成り立つ（BHPV04 I, §5 の式 (9), p. 26）。分裂原理（Chern類 の定理「Chern類の分裂原理」）により、Chern 類の多項式の等式は $W$ が直線束の直和であるかのように Chern 根 $y_1,\dots,y_r$ で計算してよく、$c_1(W)=\sum_jy_j$、$c_1(W)^2-2c_2(W)=\sum_jy_j^2$ である。
根．$V:=\Omega^1_X$ の Chern 根を $x_1,x_2$ とすると $x_1+x_2=c_1(V)=K_X$、$x_1x_2=c_2(V)=c_2(X)$ である（$c_2$ は双対をとっても変わらない。Chern類 の命題「双対束と行列式束のChern類」）。$S^nV$ の根は $ix_1+(n-i)x_2$（$0\le i\le n$）で、$W_n$ の根はそれに $m:=-ntK_X$ を足したものである（Chern類 の命題「テンソル積と外冪のChern類」）。
2 乗の和．$\sum_{i=0}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$、$\sum_{i=0}^ni(n-i)=\frac{(n-1)n(n+1)}6$ から $A:=\sum_{i=0}^n(ix_1+(n-i)x_2)^2=\frac{n(n+1)}6\bigl((2n+1)K_X^2-(2n+4)c_2\bigr)$ であり、$B:=\sum_{i=0}^n(ix_1+(n-i)x_2)=\frac{n(n+1)}2K_X$ である。よって $\sum_j y_j^2=A+2mB+(n+1)m^2$ の $n^3$ の係数は $\frac13(K_X^2-c_2)-tK_X^2+t^2K_X^2$ であり、その半分が $\frac16\bigl(K_X^2(1-3t+3t^2)-c_2\bigr)$ である。
残りの項．$c_1(W_n)=B+(n+1)m$ は $n$ の 2 次式に $K_X$ を掛けたもの、階数は $n+1$ なので、$\frac12c_1(W_n)\cdot c_1(X)+(n+1)\chi(\mathcal{O}_X)$ は $n$ の 2 次以下の多項式である。$A$、$2mB$、$(n+1)m^2$ の $n^2$ 以下の項も同じである。$c_1^2(X)=K_X^2$ とあわせて主張を得る。$\square$
$X$ を一般型の極小曲面とし、$c_1^2>3c_2$ と仮定する。$c_1^2>0$（Enriques–小平の分類 の定理「小平次元と $K^2$」、BHPV04 VII, Theorem (2.2), p. 271）、$c_2>0$（同 Proposition (2.4), p. 272）である。$\alpha:=c_2/c_1^2$ とおくと $0< \alpha< \frac13$ で、lem-my-rr の主要項の係数は $t=\alpha$ で
$$
c_1^2\,(1-3\alpha+3\alpha^2)-c_2=c_1^2\,(1-\alpha)(1-3\alpha)>0
$$
となる。$t$ を $\alpha$ より少しだけ大きい有理数にとっても正のままなので、$n$ が大きいと $\chi(W_n)>0$ である。
一方 BHPV04 VII, Propositions (4.2)–(4.4)（pp. 275–277）は、Bogomolov の方法を分岐被覆で精密にして、次の評価を与える：$\Omega^1_X$ の階数 $2$ の局所自由部分層 $\mathcal{F}$ で、$c_1(\mathcal{F})$ とすべての有効因子との交点数が $0$ 以上のものについて、直線束 $\mathcal{O}_X(D)$ から $S^n\mathcal{F}$ への $0$ でない写像があれば $c_1(\mathcal{F})\cdot D\le\max(n\,c_2(\mathcal{F}),0)$ である。$\mathcal{F}=\Omega^1_X$（$c_1=K_X$ は極小性からネフ。Enriques–小平の分類 の定理「極小曲面の標準因子はネフ」）と $D=ntK_X$ に当てると $ntK_X^2>nc_2$ なので $H^0(W_n)=0$ となる。Serre 双対性と $T_X\cong\Omega^1_X\otimes\mathcal{O}_X(-K_X)$ から $H^2(W_n)$ は $H^0(S^n\Omega^1_X\otimes\mathcal{O}_X((n(t-1)+1)K_X))$ の双対で、同じ評価により $n$ が大きいと $0$ になる。よって $\chi(W_n)=-h^1(W_n)\le0$ となり、矛盾する（同 pp. 277–279）。この記事ではこの評価を証明しない。
例
$C,D$ を種数 $g,h\ge2$ の曲線とし、$X:=C\times D$ とする。Noetherの公式 の定理「曲線の積での Noether の公式」により $c_1^2(X)=8(g-1)(h-1)$、$c_2(X)=4(g-1)(h-1)$ で、$c_1^2=2c_2< 3c_2$ である。$X$ は一般型（多重種数 の定理「直積の多重種数」）で、$K_X$ は 2 つの射影による豊富な因子の引き戻しの和なので豊富である。等号は成り立たないので、thm-my-equality と合わせると $X$ の普遍被覆は単位球でない。実際、普遍被覆は上半平面の 2 つの積である。
$X\subset\mathbb{P}^3$ を $d\ge5$ 次の滑らかな曲面とする。Noetherの公式 の例「$\mathbb{P}^3$ の超曲面」により $c_1^2=d(d-4)^2$、$c_2=d^3-4d^2+6d$ であり、
$$
3c_2-c_1^2=3d^3-12d^2+18d-(d^3-8d^2+16d)=2d(d-1)^2>0
$$
である。$X$ は一般型で（代数曲面 の定理「空間の滑らかな曲面の不変量」の 4）、$K_X=(d-4)H$ は豊富である。比 $c_1^2/c_2=(d-4)^2/(d^2-4d+6)$ は $d\to\infty$ で $1$ に近づき、$3$ には近づかない。
| 曲面 | $c_1^2$ | $c_2$ | $c_1^2/c_2$ |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{P}^3$ の 5 次曲面 | $5$ | $55$ | $1/11$ |
| $\mathbb{P}^3$ の 6 次曲面 | $24$ | $108$ | $2/9$ |
| 種数 2 の曲線 2 つの積 | $8$ | $4$ | $2$ |
| 単位球の商（一般型の極小曲面） | $3a$ | $a$ | $3$ |
最後の行の曲面が無限に多くの $a$ について存在することは、Borel による算術的な部分群の存在定理と Hirzebruch の比例定理から従う（BHPV04 V, Theorem (20.1), p. 231。この記事では証明しない）。
帰結
$X$ を一般型の極小曲面で $p_g(X)=q(X)=0$ とする。このとき $1\le K_X^2\le9$ である。
$\chi(\mathcal{O}_X)=1-q+p_g=1$ なので、thm-my-main の同値な形から $K_X^2\le9$ である。一般型の極小曲面では $K_X^2>0$ である（BHPV04 VII, Theorem (2.2), p. 271）。$\square$
$X$ を一般型の極小曲面で $p_g=q=0$、$K_X^2=9$ とする。このとき $c_2(X)=3$、$b_1(X)=0$、$b_2(X)=1$ で、$X$ は射影平面 $\mathbb{P}^2$ と同じ Betti 数をもつ。さらに $K_X$ は豊富で、$X$ の普遍被覆は単位球 $\mathbb{B}^2$ に双正則である。とくに $X$ の基本群は無限群で、$X$ は $\mathbb{P}^2$ と同相でない。
要点：Betti 数は Noether の公式から決まり、$b_2=1$ なので $(-2)$ 曲線の入る余地がない。すると $K_X$ は豊富で、Yau の等号の場合が使える。
証明を開く
Betti 数．$\chi(\mathcal{O}_X)=1$ と Noether の公式から $c_2=12-9=3$ である。$X$ は射影的なので $b_1=2q=0$ であり（Noetherの公式 の設定）、$c_2=2-2b_1+b_2$ から $b_2=1$ である。
豊富性．一般型の極小曲面の $(-2)$ 曲線の個数は Picard 数 $\rho(X)$ から $1$ 引いた数以下である（BHPV04 VII, Proposition (2.5) (i), p. 272）。$\rho(X)\le b_2(X)=1$ なので $(-2)$ 曲線はない。よって BHPV04 VII, Corollary (2.3)（p. 272）により、すべての既約曲線 $C$ で $K_X\cdot C>0$ であり、$K_X^2=9>0$ とあわせて中井–Moishezon の判定法（中井–Moishezonの判定法 の系「曲線と曲面の場合」）から $K_X$ は豊富である。
普遍被覆．$c_1^2=9=3c_2$ で等号が成り立つので、thm-my-equality により普遍被覆は $\mathbb{B}^2$ に双正則である。$\mathbb{B}^2$ はコンパクトでないので、コンパクトな $X$ の被覆は無限次で、$\pi_1(X)$ は無限群である。$\mathbb{P}^2$ は単連結なので、$X$ は $\mathbb{P}^2$ と同相でない。$\square$
このような曲面は偽射影平面（fake projective plane）とよばれ、Mumford が例を構成した（BHPV04 V, Remark (1.2), p. 186）。逆に、$\mathbb{P}^2$ とホモトピー同値な複素曲面は $\mathbb{P}^2$ に双正則である（Yau77 Theorem 5, p. 1799。Severi の問題）。その証明でも、$K$ が豊富な場合を thm-my-equality で排除する。
$X$ を一般型の極小曲面とすると
$$
2\chi(\mathcal{O}_X)-6\le K_X^2\le9\chi(\mathcal{O}_X),\qquad\chi(\mathcal{O}_X)\ge1
$$
である。
右の不等式は thm-my-main の同値な形である。Noether の不等式 $p_g\le\frac12K_X^2+2$（BHPV04 VII, Theorem (3.1), p. 273。この記事では証明しない）から $\chi(\mathcal{O}_X)=1-q+p_g\le1+p_g\le\frac12K_X^2+3$ なので、左の不等式を得る。$K_X^2>0$ と $c_2>0$（rem-my-strategy の冒頭の出典）から $12\chi(\mathcal{O}_X)=K_X^2+c_2>0$ で、$\chi(\mathcal{O}_X)\ge1$ である。$\square$
一般型でない曲面については、極小な場合に Enriques–小平の分類 の表から $c_1^2$ と $c_2$ が読める。小平次元が $0$ または $1$ の極小曲面では $c_1^2=0$、$c_2\ge0$ なので（BHPV04 VI, Table 10, p. 244）、$c_1^2\le3c_2$ はそのまま成り立ち、lem-my-blowup によりそれらの爆発でも成り立つ。成り立たないのは小平次元が $-\infty$ の一部の曲面である（下の反例）。
反例：条件を外すと成り立たない
| 外す条件 | 例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 一般型であること（不等式） | $C\times\mathbb{P}^1$（$C$ は種数 $g\ge2$ の曲線） | $c_1^2\le3c_2$（$c_1^2-3c_2=4(g-1)>0$） |
| 標準束が豊富であること（等号の場合） | $\mathbb{P}^2$ | 等号なら普遍被覆が単位球（$c_1^2=3c_2=9$ だが単連結でコンパクト） |
1 行目：Noetherの公式 の定理「曲線の積での Noether の公式」で $h=0$ とすると、$c_1^2(C\times\mathbb{P}^1)=8(g-1)(0-1)=8(1-g)$、$c_2=4(g-1)(0-1)=4(1-g)$ である。$c_1^2-3c_2=8-8g-12+12g=4(g-1)>0$ なので不等式は成り立たない。$C\times\mathbb{P}^1$ は線織曲面ですべての $P_m$ が $0$ であり、小平次元は $-\infty$ である（多重種数 の例「反例の確かめ」の最後の行）。両辺はともに負で、$c_2>0$ という一般型の性質も成り立っていない。
2 行目：$\mathbb{P}^2$ では $c_1^2=9$、$c_2=3$（Noetherの公式 の例「射影平面」）で等号が成り立つ。$K_{\mathbb{P}^2}$ は豊富でなく（反標準束が豊富）、小平次元は $-\infty$ である。$\mathbb{P}^2$ は単連結なので普遍被覆は自分自身で、単位球ではない。等号の場合の主張には、標準束が豊富であるという仮定が要る。
関連項目
- 前提: 代数曲面, Chern数, Noetherの公式, 多重種数, Enriques–小平の分類
- 証明で使う: Chern類, Hirzebruchの符号数定理, 中井–Moishezonの判定法, Serre双対性
- 例と反例: 線織曲面, 射影平面, Kähler多様体
- 関連: 小平曲面, Hodge指数定理, Chern–Gauss–Bonnetの定理, Mostowの剛性定理, Arakelov理論
参考文献
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