順序数空間

1：$\gamma+1<\alpha$ なら $(\beta,\gamma]=(\beta,\gamma+1)$、$[0,\gamma]=[0,\gamma+1)$ であり、$\gamma+1=\alpha$ なら $(\beta,\gamma]=(\beta,\alpha)$、$[0,\gamma]=[0,\alpha)$ である。どれも開基の元である。補集合 $[0,\beta]\cup(\gamma,\alpha)=[0,\beta+1)\cup(\gamma,\alpha)$ と $(\gamma,\alpha)$ も開集合なので、両者は閉でもある。
2：1 により挙げた集合は $\xi$ を含む開集合である。逆に $\xi$ を含む開基の元は、$\xi$ より小さい $\beta$ によって $(\beta,\eta)$ か $(\beta,\alpha)$ の形か、$[0,\eta)$ の形である。前者は $(\beta,\xi]$ を含み、後者は $\xi>0$ なら $(0,\xi]$ を、$\xi=0$ なら $\{0\}$ を含む。
3：前半は 2 による。極限順序数 $\lambda$ と $\beta<\lambda$ について $\beta+1<\lambda$ なので、$(\beta,\lambda]$ は $\lambda$ 以外の点 $\beta+1$ を含む。$\square$

$m$ を $A$ の最小元とする。$[0,m]$ は lem-os-base の 1 により開集合で、$[0,m]\cap A=\{m\}$ である。後半は lem-os-base の 3 による。$\square$

$\alpha=0$ なら空集合でコンパクトである。$\alpha=\beta+1$ なら $[0,\alpha)=[0,\beta]$ はコンパクトである（順序位相 の命題「閉順序数区間のコンパクト性」）。$\alpha$ が極限順序数なら、$\{[0,\beta)\mid\beta<\alpha\}$ は開被覆である（$\xi<\alpha$ なら $\xi+1<\alpha$ で $\xi\in[0,\xi+1)$）。その有限個の和は、そのうち最大の $[0,\beta)$ に等しく、点 $\beta$ を含まないので、有限部分被覆はない。$\square$

$\operatorname{cf}(\alpha)=\omega$ なら、狭義単調増加で $\alpha$ に共終な列 $\beta_0<\beta_1<\cdots$ がある。可算な開被覆 $\{[0,\beta_n)\}_n$ の有限個の和は最大の $[0,\beta_n)$ に等しく、点 $\beta_n$ を含まないので、可算コンパクトでない。
$\operatorname{cf}(\alpha)>\omega$ とし、点列 $(x_n)$ をとる。$\{x_n\}$ は可算なので順序型は可算な順序数であり、共終数 $\operatorname{cf}(\alpha)\ge\omega_1$ より小さいので、$\{x_n\}$ は $\alpha$ に共終でない。よってある $\beta<\alpha$ について $\{x_n\}\subset[0,\beta]$ である。$[0,\beta]$ はコンパクト（prop-os-compact）なので、点列 $(x_n)$ は $[0,\beta]$ に集積点をもち、それは $[0,\alpha)$ での集積点でもある。可算コンパクト空間 の定理「閉集合と点列による特徴づけ」により $[0,\alpha)$ は可算コンパクトである。$\square$

3 ⇒ 1：$\operatorname{cf}(\lambda)=\omega$ なので、順序型 $\omega$ の共終な部分集合、すなわち狭義単調増加で $\lambda$ に共終な列 $\beta_0<\beta_1<\cdots<\lambda$ がある。$\beta<\lambda$ なら $\beta\le\beta_n$ となる $n$ があり $(\beta_n,\lambda]\subset(\beta,\lambda]$ なので、lem-os-base の 2 により $\{(\beta_n,\lambda]\}_n$ は基本近傍系である。
1 ⇒ 2：可算な基本近傍系 $\{U_n\}$ をとり、lem-os-base の 2 により $(\beta_n,\lambda]\subset U_n$ となる $\beta_n<\lambda$ を選ぶ。$x_n:=\max\{\beta_0,\dots,\beta_n\}+1$ とおくと、$\lambda$ が極限順序数なので $x_n<\lambda$ である。$\lambda$ の近傍 $U$ はある $U_k$ を含み、$n\ge k$ なら $\beta_k< x_n<\lambda$ から $x_n\in(\beta_k,\lambda]\subset U$ である。よって $x_n\to\lambda$ である。
2 ⇒ 3：$x_n\to\lambda$、$x_n<\lambda$ とし、$A:=\{x_n\mid n\in\mathbb N\}$ とおく。$\beta<\lambda$ なら近傍 $(\beta,\lambda]$ はある $x_n$ を含むので、$A$ は $\lambda$ に共終である。$A$ は可算なので順序型は可算な順序数であり、$\operatorname{cf}(\lambda)$ はそれ以下の基数、すなわち $\omega$ 以下である。$\lambda$ は極限順序数なので $\operatorname{cf}(\lambda)\ge\omega$ であり、$\operatorname{cf}(\lambda)=\omega$ となる。
最後の主張：孤立点は可算な基本近傍系をもつ。$\alpha\le\omega_1$ なら、$\alpha$ より小さい極限順序数 $\lambda$ は可算で、$\lambda$ 自身が $\lambda$ の可算な共終部分集合なので、上と同じく $\operatorname{cf}(\lambda)=\omega$ である。$\alpha>\omega_1$ なら点 $\omega_1$ が $[0,\alpha)$ に属し、$\omega_1$ の可算部分集合は上に有界なので（非可算順序数 の定理「可算部分集合の有界性」）$\operatorname{cf}(\omega_1)=\omega_1$ であり、$\omega_1$ は可算な基本近傍系をもたない。$\square$

$a\in A$ は $\overline B$ に属さないので、$a$ の近傍で $B$ と交わらないものがある。lem-os-base の 2 により、それに含まれる $I_a$ を、$a=0$ なら $\{0\}$、$a>0$ なら $(\beta_a,a]$（$\beta_a< a$）の形でとれる。同様に $b\in B$ に対し、$A$ と交わらない $I_b$（$\{0\}$ か $(\beta_b,b]$）をとる。$U:=\bigcup_{a\in A}I_a$、$V:=\bigcup_{b\in B}I_b$ は開集合で $A\subset U$、$B\subset V$ である。
$I_a\cap I_b=\emptyset$ を示す。$A\cap B=\emptyset$ なので $a\neq b$ であり、$a< b$ の場合を考える（$b< a$ も同じ）。$x\in I_a\cap I_b$ とすると $x\le a< b$ なので $I_b\neq\{b\}$、すなわち $I_b=(\beta_b,b]$ で $\beta_b< x\le a< b$ となる。すると $a\in I_b$ であり、$I_b$ が $A$ と交わらないことに反する。よって $U\cap V=\emptyset$ である。
部分空間 $Y\subset X$ と、$Y$ の交わらない閉集合 $A,B$ について、$\overline A\cap B=\overline A\cap Y\cap B=\operatorname{cl}_Y(A)\cap B=A\cap B=\emptyset$ であり、同様に $A\cap\overline B=\emptyset$ である。前半の $U,V$ を $Y$ に制限すれば、$Y$ の中で $A,B$ を分ける。$\square$

$\alpha$ が可算なら、区間 $(\beta,\gamma]$（$\beta<\gamma<\alpha$）と $[0,\gamma]$（$\gamma<\alpha$）の全体は可算で、lem-os-base の 2 により開基をなす。順序数空間は Hausdorff で、開かつ閉な集合の開基をもつので正則である。よって Urysohnの距離化定理 により距離化可能である。
$\alpha>\omega_1$ なら thm-os-first-countable により第 1 可算でなく、距離化可能でない。$\alpha=\omega_1$ とし、$[0,\omega_1)$ に距離 $d$ があると仮定する。$[0,\omega_1)$ は可算コンパクトである（可算コンパクト空間 の命題「$\omega_1$ は可算コンパクトだがコンパクトでない」）。各 $n\ge1$ について、どの 2 点の距離も $1/n$ 以上の部分集合で包含について極大なもの $D_n$ を Zorn の補題でとる。$D_n$ の相異なる点からなる点列は集積点をもたない（半径 $1/(2n)$ の球は $D_n$ の点を高々 1 つしか含まない）ので、可算コンパクト性（可算コンパクト空間 の定理「閉集合と点列による特徴づけ」）により $D_n$ は有限である。極大性から各点は $D_n$ のある点から距離 $1/n$ 未満にあるので、可算集合 $D:=\bigcup_nD_n$ は稠密である。ところが $D$ は上に有界で（非可算順序数 の定理「可算部分集合の有界性」）、ある $\beta<\omega_1$ について空でない開集合 $(\beta,\omega_1)$ は $D$ と交わらない。これは矛盾である。$\square$

$\{\omega_1\}=\bigcap_nU_n$（$U_n$ は開集合）と仮定する。lem-os-base の 2 により $(\beta_n,\omega_1]\subset U_n$ となる $\beta_n<\omega_1$ がとれる。$\beta:=\sup_n\beta_n$ は可算部分集合の上限なので $\beta<\omega_1$ であり、$\beta+1<\omega_1$ はすべての $(\beta_n,\omega_1]$ に属する。よって $\beta+1\in\bigcap_nU_n$ となり矛盾する。$\square$