複素数

$a+bi$ は順序対 $(a,b)$ の別表記である。順序対の等号は成分ごとの等号として定義されるので、$(a,b)=(c,d)$ と $a=c,b=d$ は同値である。

加法と乗法の交換律、結合律、分配律は、定義式を展開し、実数の対応する法則を成分ごとに用いれば得られる。例えば $z=a+bi$、$w=c+di$、$u=e+fi$ に対して
$$ \begin{aligned} (zw)u &=((ac-bd)+(ad+bc)i)(e+fi)\\ &=(ace-bde-adf-bcf)\\ &\quad +(acf-bdf+ade+bce)i, \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} z(wu) &=(a+bi)((ce-df)+(cf+de)i)\\ &=(ace-adf-bcf-bde)\\ &\quad +(acf+ade+bce-bdf)i, \end{aligned} $$
なので乗法の結合律が成り立つ。他の法則も同様に実数の法則へ還元される。
$z\neq0$ なら $a,b$ が同時に0ではないので $a^2+b^2>0$ である。従って表示された逆元は定義でき、
$$ (a+bi)\frac{a-bi}{a^2+b^2} =\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1 $$
を満たす。よって0でない元はすべて逆元をもち、$\mathbb{C}$ は体である。実数の埋め込みが四則演算と $0,1$ を保つことは定義から直接分かる。

$z=a+bi$、$w=c+di$ とおく。和と二重共役に関する式は成分を比較すればよい。積については
$$ \overline{zw} =\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i} =(ac-bd)-(ad+bc)i, $$
$$ \overline z\,\overline w =(a-bi)(c-di) =(ac-bd)-(ad+bc)i $$
なので一致する。また
$$ z\overline z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2. $$
最後の二式も右辺を展開すると、それぞれ $a$ と $b$ になる。

$|z|=\sqrt{(\operatorname{Re}z)^2+(\operatorname{Im}z)^2}$ だから、$|z|\geq0$ であり、$|z|=0$ と実部・虚部がともに0であることは同値である。
共役の積に関する式から
$$ |zw|^2=(zw)\overline{zw} =z\overline z\,w\overline w =|z|^2|w|^2. $$
両辺は非負なので平方根を取り、$|zw|=|z||w|$ を得る。
次に $u=z\overline w$ とおくと、$\operatorname{Re}u\leq|u|$ である。実際、$u=x+yi$ なら $x\leq\sqrt{x^2+y^2}$ である。従って
$$ \begin{aligned} |z+w|^2 &=(z+w)(\overline z+\overline w)\\ &=|z|^2+2\operatorname{Re}(z\overline w)+|w|^2\\ &\leq |z|^2+2|z||w|+|w|^2\\ &=(|z|+|w|)^2. \end{aligned} $$
両辺の平方根を取れば三角不等式を得る。

乗法を展開すると
$$ \begin{aligned} zw &=rs\bigl((\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi)\\ &\qquad+i(\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi)\bigr). \end{aligned} $$
三角関数の加法定理を用いれば右辺は主張の形になる。

$n=0$ では両辺は1である。$n$ で成立すると仮定し、両辺へ $\cos\theta+i\sin\theta$ を掛ける。極形式での乗法により偏角が $n\theta+\theta$ になるので、$n+1$ でも成立する。従って帰納法により示された。

平方完成により
$$ (2Az+B)^2=D $$
である。$D\geq0$ なら実数の平方根を用いる通常の解の公式でよい。$D<0$ なら
$$ (i\sqrt{-D})^2=-(-D)=D $$
だから $2Az+B=\pm i\sqrt{-D}$ とおけ、表示した二つの解を得る。

代数学の基本定理により、複素係数の非定数多項式は複素数の根をもつので $\mathbb{C}$ は代数閉体である。一方、$z=a+bi$ は実係数多項式
$$ (X-z)(X-\overline z) =X^2-2aX+(a^2+b^2) $$
の根である。従ってすべての複素数は $\mathbb{R}$ 上代数的であり、$\mathbb{C}/\mathbb{R}$ は代数拡大である。この二性質から $\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ の代数閉包である。

順序体では任意の非零元 $x$ について $x^2>0$ である。実際、$x>0$ なら正の元の積として $x^2>0$ であり、$x<0$ なら $-x>0$ なので $x^2=(-x)^2>0$ である。
もし $\mathbb{C}$ が $\mathbb{R}$ の順序を延長する順序体なら、$i\neq0$ より $i^2>0$ である。しかし $i^2=-1$ であり、実数の順序では $-1<0$ であるから矛盾する。