Schwartz空間

要点：$|x^\alpha|\le(1+|x|^2)^{|\alpha|/2}$ と、$(1+|x|^2)^l$ を展開した単項式の和で互いに押さえ合う。

$|x|^2\le(|x-y|+|y|)^2\le2|x-y|^2+2|y|^2$ なので、$1+|x|^2\le2+2|x-y|^2+2|y|^2+2|x-y|^2|y|^2=2(1+|x-y|^2)(1+|y|^2)$ である。$\square$

1：$q_k(\partial^\alpha\varphi)$ に現れる $\partial^\beta\partial^\alpha\varphi$ は $|\beta+\alpha|\le k+|\alpha|$ で、重みも $(1+|x|^2)^{k/2}\le(1+|x|^2)^{(k+|\alpha|)/2}$ なので最初の評価が従う。Leibniz 則から $\partial^\beta(x_j\varphi)=x_j\partial^\beta\varphi+\beta_j\partial^{\beta-e_j}\varphi$（$\beta_j=0$ なら第 2 項はない）であり、$|x_j|\le(1+|x|^2)^{1/2}$、$\beta_j\le k$ から $(1+|x|^2)^{k/2}|\partial^\beta(x_j\varphi)|\le q_{k+1}(\varphi)+k\,q_k(\varphi)$ である。
2：Leibniz 則 $\partial^\beta(\varphi\psi)=\sum_{\gamma\le\beta}\binom\beta\gamma\partial^\gamma\varphi\,\partial^{\beta-\gamma}\psi$ で、各項の重みは $\partial^\gamma\varphi$ の側に付け、$|\partial^{\beta-\gamma}\psi|\le q_k(\psi)$ を使う。係数の和は $\sum_{\gamma\le\beta}\binom\beta\gamma=2^{|\beta|}\le2^k$ である。
3：$\partial^\beta\varphi$ は有界で $\psi\in L^1$ なので、積分記号の下で微分でき（差分商を平均値の定理で $\sup|\partial_j\partial^\beta\varphi|\cdot|\psi(y)|$ で押さえ、優収束定理 を使う）、$\partial^\beta(\varphi*\psi)=(\partial^\beta\varphi)*\psi$ である。lem-sch-peetre の $k/2$ 乗を使うと
$$ (1+|x|^2)^{k/2}|\partial^\beta(\varphi*\psi)(x)| \le2^{k/2}\int(1+|x-y|^2)^{k/2}|\partial^\beta\varphi(x-y)|\,(1+|y|^2)^{k/2}|\psi(y)|\,dy \le2^{k/2}q_k(\varphi)\int(1+|y|^2)^{k/2}|\psi(y)|\,dy $$
であり、$(1+|y|^2)^{k/2}|\psi(y)|\le q_{k+n+1}(\psi)(1+|y|^2)^{-(n+1)/2}$ から最後の積分は $A_nq_{k+n+1}(\psi)$ 以下である。$\square$

要点：$|\varphi(x)|\le q_{n+1}(\varphi)(1+|x|^2)^{-(n+1)/2}$ を積分する。稠密性は $C_c^\infty\subset\mathcal S$ から、$L^\infty$ で稠密でないことは急減少関数が無限遠で $0$ に近づくことから分かる。

Gauss 関数。 $g(x):=e^{-|x|^2/2}$ について $\widehat g=g$ である。各座標で積分が分かれるので $n=1$ で示せばよい。$G(\xi):=(2\pi)^{-1/2}\int e^{-x^2/2}e^{-ix\xi}dx$ とおく。積分記号の下で微分し、$-xe^{-x^2/2}=(e^{-x^2/2})'$ で部分積分すると
$$ G'(\xi)=(2\pi)^{-1/2}\int i\,(e^{-x^2/2})'\,e^{-ix\xi}\,dx=(2\pi)^{-1/2}\int i\cdot i\xi\,e^{-x^2/2}e^{-ix\xi}\,dx=-\xi\,G(\xi) $$
である。$G(0)=(2\pi)^{-1/2}\int e^{-x^2/2}dx=1$ なので $G(\xi)=e^{-\xi^2/2}$ である。また $\int_{\mathbb R^n}g=(2\pi)^{n/2}$ である。
2 の乗法公式。 $|\varphi(x)\psi(\xi)|$ は $\mathbb R^{2n}$ 上で可積分なので、Fubiniの定理 から
$$ \int\widehat\varphi(\xi)\psi(\xi)\,d\xi=(2\pi)^{-n/2}\iint e^{-ix\cdot\xi}\varphi(x)\psi(\xi)\,dx\,d\xi=\int\varphi(x)\widehat\psi(x)\,dx $$
である。この計算は $\psi\in L^1$ なら成り立つ。
1 の反転公式。 $x$ を固定し、$\varepsilon>0$ について $\psi_\varepsilon(\xi):=(2\pi)^{-n/2}e^{ix\cdot\xi}g(\varepsilon\xi)\in L^1$ とおく。$\eta=\varepsilon\xi$ と変数変換して Gauss 関数の結果を使うと
$$ \widehat{\psi_\varepsilon}(y)=(2\pi)^{-n/2}\varepsilon^{-n}\,\widehat g\Bigl(\frac{y-x}\varepsilon\Bigr)=(2\pi)^{-n/2}\varepsilon^{-n}\,g\Bigl(\frac{y-x}\varepsilon\Bigr) $$
である。乗法公式に当てて $y=x+\varepsilon z$ と置くと
$$ (2\pi)^{-n/2}\int e^{ix\cdot\xi}\,g(\varepsilon\xi)\,\widehat\varphi(\xi)\,d\xi=(2\pi)^{-n/2}\int\varphi(x+\varepsilon z)\,g(z)\,dz $$
を得る。$\varepsilon\to0$ とする。左辺は $|\widehat\varphi|\in L^1$ で押さえられるので、優収束定理 により $\mathcal F^{-1}\widehat\varphi(x)$ に収束する。右辺は $\|\varphi\|_\infty g\in L^1$ で押さえられ、$\varphi$ は連続なので、$(2\pi)^{-n/2}\varphi(x)\int g=\varphi(x)$ に収束する。よって $\mathcal F^{-1}\mathcal F\varphi=\varphi$ である。
$R\varphi(x):=\varphi(-x)$ とおくと $\mathcal F^{-1}=R\mathcal F=\mathcal FR$ である（変数を $-x$ に換える）。$\mathcal F^{-1}\mathcal F=\mathrm{id}$ は $R\mathcal F^2=\mathrm{id}$、すなわち $\mathcal F^2=R$ を意味し、$\mathcal F\mathcal F^{-1}=\mathcal F^2R=R^2=\mathrm{id}$、$\mathcal F^4=R^2=\mathrm{id}$ である。よって $\mathcal F$ は全単射で、逆写像 $\mathcal F^{-1}$ も連続である。
2 の Parseval の等式。 共役をとると $\widehat{\overline{\widehat\psi}}(x)=\overline{\mathcal F^{-1}\widehat\psi(x)}=\overline{\psi(x)}$ なので、乗法公式を $\overline{\widehat\psi}$ に当てれば $\int\widehat\varphi\,\overline{\widehat\psi}=\int\varphi\,\overline\psi$ である。
3。 thm-sch-algebra により $\varphi*\psi\in\mathcal S$ であり、Fubini の定理と $x=y+z$ の変数変換から
$$ \widehat{\varphi*\psi}(\xi)=(2\pi)^{-n/2}\iint e^{-i(y+z)\cdot\xi}\varphi(z)\psi(y)\,dz\,dy=(2\pi)^{n/2}\widehat\varphi(\xi)\widehat\psi(\xi) $$
である。同じ計算で $\mathcal F^{-1}(f*h)=(2\pi)^{n/2}\mathcal F^{-1}f\cdot\mathcal F^{-1}h$（$f,h\in\mathcal S$）であり、$f=\widehat\varphi$、$h=\widehat\psi$ とおいて 1 を使うと $\mathcal F^{-1}(\widehat\varphi*\widehat\psi)=(2\pi)^{n/2}\varphi\psi$、すなわち $\widehat{\varphi\psi}=(2\pi)^{-n/2}\widehat\varphi*\widehat\psi$ である。$\square$