Jordan–von Neumannの定理

$a\in\mathbb K$ について、内積の性質から
$$ \|x+ay\|^2=\|x\|^2+2\operatorname{Re}\bigl(\bar a\langle x,y\rangle\bigr)+|a|^2\|y\|^2 $$
である。$a=\pm1$ の 2 式を足すと平行四辺形の等式、引くと $\|x+y\|^2-\|x-y\|^2=4\operatorname{Re}\langle x,y\rangle$ を得る。実数の場合はこれが 1 である。複素数の場合は $a=\pm i$ の 2 式を引いて $\|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2=4\operatorname{Re}\bigl(-i\langle x,y\rangle\bigr)=4\operatorname{Im}\langle x,y\rangle$ を得るので、$\langle x,y\rangle=\operatorname{Re}\langle x,y\rangle+i\operatorname{Im}\langle x,y\rangle$ に代入すると 2 になる。最後の主張は、1・2 の右辺がノルムだけで決まることによる。$\square$

1 ⇒ 2 は prop-jvn-polarization である。2 ⇒ 3、2 ⇒ 4 は明らかである。
3 ⇒ 2：3 を $x+y$ と $x-y$ に当てはめると $\|2x\|^2+\|2y\|^2\le2\|x+y\|^2+2\|x-y\|^2$、すなわち $2\|x\|^2+2\|y\|^2\le\|x+y\|^2+\|x-y\|^2$ を得る。3 と合わせて等号が成り立つ。4 ⇒ 2 も同じである。
2 ⇒ 1（実数の場合）：$\mathbb K=\mathbb R$ とし、
$$ b(x,y)=\frac14\bigl(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\bigr)\qquad(x,y\in X) $$
とおく。$\|-z\|=\|z\|$ から、$b(y,x)=b(x,y)$、$b(-x,y)=-b(x,y)$、$b(0,y)=0$、$b(x,x)=\frac14\|2x\|^2=\|x\|^2$ である。
段 1：すべての $x,y,z$ について $b(x+z,y)+b(x-z,y)=2b(x,y)$ である。実際、平行四辺形の等式を $x+y$ と $z$ の組、$x-y$ と $z$ の組に使うと
$$ \|x+y+z\|^2+\|x+y-z\|^2=2\|x+y\|^2+2\|z\|^2,\qquad\|x-y+z\|^2+\|x-y-z\|^2=2\|x-y\|^2+2\|z\|^2 $$
である。上の式から下の式を引いて 4 で割ると、左辺は $b(x+z,y)+b(x-z,y)$、右辺は $2b(x,y)$ になる。
段 2（加法性）：段 1 で $z=x$ とすると $b(2x,y)=2b(x,y)$ である。$u,v\in X$ について、段 1 を $x=\frac{u+v}2$、$z=\frac{u-v}2$ に使うと
$$ b(u,y)+b(v,y)=2b\Bigl(\frac{u+v}2,y\Bigr)=b(u+v,y) $$
である。
段 3（斉次性）：段 2 と $b(-x,y)=-b(x,y)$ から、整数 $n$ について $b(nx,y)=nb(x,y)$ である。整数 $m$ と正の整数 $n$ について $nb(\frac mnx,y)=b(mx,y)=mb(x,y)$ なので、有理数 $q$ について $b(qx,y)=qb(x,y)$ である。ノルムは連続なので、$t\mapsto b(tx,y)$ は $\mathbb R$ 上の連続関数である。有理数 $q_k\to t$ をとって極限をとると、すべての実数 $t$ で $b(tx,y)=tb(x,y)$ である。
以上で $b$ は対称な双線形形式で、$x\ne0$ なら $b(x,x)=\|x\|^2>0$ である。よって $b$ は内積で、ノルムはこの内積から来る。
2 ⇒ 1（複素数の場合）：$\mathbb K=\mathbb C$ とする。$X$ をスカラーを実数に制限した実ノルム空間とみても平行四辺形の等式は成り立つので、実数の場合の $b$ は実内積で $b(x,x)=\|x\|^2$ である。$\|ix\pm iy\|=\|x\pm y\|$ から $b(ix,iy)=b(x,y)$ であり、これを使うと
$$ b(ix,y)=b(i\cdot ix,iy)=b(-x,iy)=-b(x,iy) $$
である。そこで $\langle x,y\rangle=b(x,y)+ib(x,iy)$ とおく。$\langle\cdot,\cdot\rangle$ は第 1 変数について実線形で、
$$ \langle ix,y\rangle=b(ix,y)+ib(ix,iy)=-b(x,iy)+ib(x,y)=i\langle x,y\rangle $$
なので第 1 変数について複素線形である。$b$ の対称性と上の式から $b(y,ix)=b(ix,y)=-b(x,iy)$ なので、$\langle y,x\rangle=b(x,y)-ib(x,iy)=\overline{\langle x,y\rangle}$ である。とくに第 2 変数については共役線形になる。上の式で $y=x$ とすると $b(x,ix)=b(ix,x)=-b(x,ix)$ なので $b(x,ix)=0$ であり、$\langle x,x\rangle=b(x,x)=\|x\|^2$ である。よって $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は内積で、ノルムはこの内積から来る。$b(x,iy)$ を定義に戻して書くと、$\langle x,y\rangle$ は prop-jvn-polarization の 2 の右辺に一致する。
一意性は prop-jvn-polarization の最後の主張である。$\square$

1 ⇒ 2 は内積を部分空間に制限すればよい。2 ⇒ 1：$x,y\in X$ をとり、$x,y$ を含む次元 2 以下の部分空間 $W$ を選ぶ。2 と prop-jvn-polarization から $W$ の中で平行四辺形の等式が成り立ち、とくに $x,y$ について成り立つ。$x,y$ は任意なので、thm-jvn-main から $X$ のノルムは内積から来る。$\square$

$p<\infty$ のとき、$f=\mu(A)^{-1/p}1_A$、$g=\mu(B)^{-1/p}1_B$ とおく。$\|f\|_p=\|g\|_p=1$ であり、$A,B$ が互いに素なので
$$ \|f\pm g\|_p^p=\int_A\frac{d\mu}{\mu(A)}+\int_B\frac{d\mu}{\mu(B)}=2,\qquad\|f\pm g\|_p=2^{1/p} $$
である。平行四辺形の等式の左辺は $2\cdot2^{2/p}=2^{1+2/p}$、右辺は $4=2^2$ で、これらが等しいのは $1+\frac2p=2$、すなわち $p=2$ のときだけである。
$p=\infty$ のとき、$f=1_A$、$g=1_B$ とおくと、$\mu(A),\mu(B)>0$ と $A\cap B=\emptyset$ から $\|f\|_\infty=\|g\|_\infty=\|f\pm g\|_\infty=1$ である。左辺は $2$、右辺は $4$ である。$\square$