非特異射影曲線と関数体の圏同値
概要
非特異射影曲線と関数体の圏同値（equivalence between nonsingular projective curves and function fields）とは、体 $k$ 上の非特異な射影曲線と支配的な射のなす圏が、曲線にその関数体を対応させる関手によって、$k$ 上有限生成で超越次数 $1$ の拡大体と $k$ 準同型のなす圏の反対圏と圏同値になるという定理である。射の対応は非特異な曲線からの射の延長定理から従い、どの関数体も実現されることは、関数体の素点（$k$ を含む離散付値環）を有限個の正規なアフィン曲線で覆い、射影空間の積の中で閉包をとって示される。帰結として、双有理同値な非特異射影曲線は同型であり、どの曲線も同型を除いて一意な非特異射影モデルをもつ。
体 $k$ 上の非特異な射影曲線は、その関数体だけで同型を除いて決まり、曲線の間の定数でない射は、関数体の間の $k$ 準同型と向きを逆にして 1 対 1 に対応する。しかも、$k$ 上有限生成で超越次数 $1$ の拡大体は、どれもある非特異な射影曲線の関数体として現れる。つまり、非特異な射影曲線の幾何と 1 変数の代数関数体の代数とは、同じものを 2 通りに見たものである。この記事では、この圏同値を任意の体 $k$ の上で証明する。
証明の柱は 2 つある。1 つは、非特異な曲線からの射は射影空間へ延びるという延長定理で、これが射の対応を与える。もう 1 つは、関数体 $K$ から曲線を作る構成である。非特異な射影曲線の閉点は、$k$ を含む $K$ の離散付値環（素点）と 1 対 1 に対応する（prop-ccff-points）。そこで、$K$ の素点の全体を有限個の正規なアフィン曲線で覆い、それらを射影空間の積に並べて閉包をとり、素点の全体をちょうど閉点にもつ曲線を作る。
定義
以下、$k$ を体とし、代数曲線 の定義に従って、$k$ 上の曲線とは、$k$ 上分離的かつ有限型な 1 次元の整スキームをいう。曲線 $C$ の関数体を $K(C)$ と書き、各点 $P$ の局所環 $\mathcal{O}_{C,P}$ を $K(C)$ の部分環とみなす（関数体 の命題「局所環と切断の関数体への埋め込み」）。曲線 $C$ が非特異であるとは、すべての閉点 $P$ で $\mathcal{O}_{C,P}$ が離散付値環であることをいい（代数曲線 の定義「非特異な点と特異点」）、射影的であるとは、ある $n$ について $k$ 上の閉埋め込み $C\to\mathbb{P}^n_k$ が存在することをいう。射はすべて $k$ 上の射とする。
これは 代数関数体 の定義「素点と位数」と同じものである。素点 $R$ は体でないので $R\neq K$ であり、$R$ は $K$ の中で整閉である（付値環 の命題「付値環は整閉」）。また $f\in K^\times$ について、$f\in R$ と $f^{-1}\in\mathfrak{m}_R$ のちょうど一方が成り立つ。
- $\mathcal{C}_k$ を、$k$ 上の非特異な射影曲線を対象とし、支配的な（像が稠密な）$k$ 射を射とする圏とする。
- $\mathcal{F}_k$ を、$k$ 上有限生成で超越次数 $1$ の拡大体を対象とし、$k$ 代数の準同型を射とする圏とする。
曲線 $C$ の関数体 $K(C)$ は $\mathcal{F}_k$ の対象である（関数体 の定理「次元と超越次数」）。支配的な射 $f\colon C\to C'$ は $k$ 代数の準同型 $f^*\colon K(C')\to K(C)$ を誘導し、$(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$ が成り立つ（双有理写像 の定理「関数体と支配的有理写像」の 1）。したがって $C\mapsto K(C)$、$f\mapsto f^*$ は関手 $\mathcal{C}_k\to\mathcal{F}_k^{\mathrm{op}}$（反対圏への関手）を定める。$\mathcal{F}_k$ の射は体の準同型なのでつねに単射である。
$\mathcal{C}_k$ の射は、全射と言っても定数でないと言っても同じである。
$C$ を $k$ 上の射影曲線、$C'$ を $k$ 上の曲線、$f\colon C\to C'$ を $k$ 射とする。像 $f(C)$ は 1 つの閉点か $C'$ 全体である。とくに、$f$ が支配的であること、全射であること、像が 1 点でないことは同値である。
次の補題は、射の行き先を閉部分スキームへ絞るときに何度も使う。
要点：$F^{-1}(Z)$ は台が $X$ 全体の閉部分スキームで、$X$ は被約なので $X$ に等しい。
詳しい証明を開く
閉埋め込みの底変換 $X\times_PZ\to X$ は閉埋め込みで、その台は $F^{-1}(Z)=X$ である。台が $X$ 全体の閉部分スキームは、アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上ではイデアル $I$ で $V(I)=\operatorname{Spec}A$ となるもの、すなわち $I\subset\sqrt{0}$ で定まり、$X$ は被約なので $I=0$ である。よって $X\times_PZ\to X$ は同型であり、$F$ は $Z$ を経由する。$\square$
点と素点
非特異な射影曲線の閉点は、関数体の素点そのものである。その鍵は、分離性から出る次の補題である。
$X$ を $k$ 上分離的かつ有限型な整スキーム、$K=K(X)$ とし、$P,Q\in X$ とする。$\mathcal{O}_{X,P}$ が離散付値環で、$K$ の中で $\mathcal{O}_{X,Q}\subset\mathcal{O}_{X,P}$ かつ $\mathfrak{m}_P\cap\mathcal{O}_{X,Q}=\mathfrak{m}_Q$ であるならば（$\mathcal{O}_{X,P}$ が $\mathcal{O}_{X,Q}$ を支配するならば）、$P=Q$ である。
要点：$R:=\mathcal{O}_{X,P}$ のスペクトルから $X$ への射を、$P$ を経由するものと $Q$ を経由するものの 2 通り作ると、両者は生成点で一致するので、分離性により一致する。
詳しい証明を開く
$\operatorname{Spec}R$ は閉点 $\mathfrak{m}_P$ と生成点 $(0)$ の 2 点からなり、$\pi$ を一意化元とすると $\{(0)\}=D(\pi)$ は開集合で、$D(\pi)=\operatorname{Spec}K$ である。$a\colon\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,P}\to X$ を点 $P$ の標準的な射（$P$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B$ について $B\to B_{\mathfrak{p}}$ が定める射）とし、$b$ を包含 $\mathcal{O}_{X,Q}\subset R$ が定める射 $\operatorname{Spec}R\to\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,Q}$ と点 $Q$ の標準的な射の合成とする。どちらも $k$ 射である。
$a$ と $b$ を $D(\pi)=\operatorname{Spec}K$ に制限すると、どちらも $X$ の生成点 $\eta$ に値をとり、剰余体の写像が恒等写像 $\kappa(\eta)=K\to K$ である射になる（$P$、$Q$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B$、$\operatorname{Spec}B'$ の上で、$B\to B_{\mathfrak{p}}\to K$ も $B'\to B'_{\mathfrak{q}}\to K$ も $K$ への包含である）。体のスペクトルからの射は、像の点と剰余体の準同型で決まる（スキーム の命題「体からの射と点」）ので、$a$ と $b$ は $D(\pi)$ の上で一致する。$\operatorname{Spec}R$ は被約で、$D(\pi)$ は稠密な開集合であり、$X$ は $k$ 上分離的なので、双有理写像 の補題「稠密な開集合で一致する射は一致する」により $a=b$ である。
閉点 $\mathfrak{m}_P$ の像を比べる。$a(\mathfrak{m}_P)=P$ である。一方、包含 $\mathcal{O}_{X,Q}\subset R$ による $\mathfrak{m}_P$ の逆像は $\mathfrak{m}_P\cap\mathcal{O}_{X,Q}=\mathfrak{m}_Q$ なので、$b(\mathfrak{m}_P)$ は $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,Q}$ の閉点の像 $Q$ である。よって $P=Q$ である。$\square$
$C$ を $k$ 上の非特異な射影曲線、$K=K(C)$ とする。閉点 $P$ に局所環 $\mathcal{O}_{C,P}$ を対応させる写像は、$C$ の閉点の全体から $\Sigma_K$ への全単射である。
閉点 $P$ の局所環は離散付値環で、$k$ を含み、商体は $K$ なので $\Sigma_K$ に属する。単射性は、$\mathcal{O}_{C,P}=\mathcal{O}_{C,Q}$ なら lem-ccff-dominated により $P=Q$ となることによる。
全射性は、固有性の付値判定法で $\operatorname{Spec}R\to C$ を作り、閉点の像の局所環が $R$ に支配されることから従う。
全射性の詳しい証明を開く
$R\in\Sigma_K$ とし、$u\colon\operatorname{Spec}K\to C$ を生成点の標準的な射、$s\colon\operatorname{Spec}R\to\operatorname{Spec}k$ を $k\subset R$ が定める射とすると、$(u,s)$ は構造射 $C\to\operatorname{Spec}k$ に対する付値環の図式である。$C$ は射影的なので $k$ 上固有であり、付値判定法 の定理「固有性の付値判定法」により、持ち上げ $t\colon\operatorname{Spec}R\to C$ がある。$P:=t(\mathfrak{m}_R)$ とおくと、$t$ は局所準同型 $t^\sharp\colon\mathcal{O}_{C,P}\to R$ を誘導する。局所環の写像は生成点への特殊化と両立し、$t$ は生成点で $u$ に一致するので、$t^\sharp$ は $K$ の中の包含 $\mathcal{O}_{C,P}\subset R$ であり、局所的であることは $\mathfrak{m}_R\cap\mathcal{O}_{C,P}=\mathfrak{m}_P$ を意味する。$P$ が生成点なら $\mathcal{O}_{C,P}=K\subset R$ となって $R\neq K$ に反するので、$P$ は閉点で、$\mathcal{O}_{C,P}$ は離散付値環である。離散付値環はそれを支配する $K$ の局所環と一致する（代数関数体 の補題「離散付値環の極大性」）ので、$R=\mathcal{O}_{C,P}$ である。$\square$
$k$ が代数閉体なら、閉点の剰余体はすべて $k$ である。一般の $k$ では、素点 $R$ の剰余体は $k$ の有限次拡大体で、それが閉点 $P$ の剰余体 $\kappa(P)$ である。
主定理
$k$ を体とする。
- $C,C'$ を $k$ 上の非特異な射影曲線とすると、$f\mapsto f^*$ は、支配的な $k$ 射 $C\to C'$ の全体から、$k$ 代数の準同型 $K(C')\to K(C)$ の全体への全単射である。
- $k$ 上有限生成で超越次数 $1$ の拡大体 $K$ に対し、$k$ 上の非特異な射影曲線 $C$ で $K(C)\cong K$（$k$ 代数として）となるものが存在する。
したがって、$C\mapsto K(C)$ は圏同値 $\mathcal{C}_k\simeq\mathcal{F}_k^{\mathrm{op}}$ を与える。
最後の主張は、1 が関手の充満忠実性を、2 が本質的全射性を述べていることから、圏同値 の命題「圏同値の十分条件」により従う。
$\theta\colon K(C')\to K(C)$ を $k$ 代数の準同型とする。双有理写像 の定理「関数体と支配的有理写像」の 1 により、支配的な有理写像 $g\colon C\dashrightarrow C'$ で $g^*=\theta$ となるものがただ 1 つある。その代表 $(W,g_W)$ をとり、閉埋め込み $C'\subset\mathbb{P}^n_k$ を 1 つ固定する。$C$ は非特異な曲線なので、射 $W\to C'\subset\mathbb{P}^n_k$ は射 $F\colon C\to\mathbb{P}^n_k$ に延びる（代数曲線 の系「非特異な曲線からの射の延長」）。$F^{-1}(C')$ は閉集合で、$C$ の稠密な開集合 $W$ を含むので $C$ 全体であり、lem-ccff-factor により $F$ は射 $f\colon C\to C'$ を与える。$(C,f)$ は $(W,g_W)$ と同値な代表なので、$f$ は支配的で $f^*=g^*=\theta$ である。
単射性：支配的な射 $f_1,f_2\colon C\to C'$ が $f_1^*=f_2^*$ をみたせば、同じ定理の 1 により $f_1$ と $f_2$ は有理写像として等しく、空でない開集合の上で一致する。$C$ は被約、$C'$ は分離的なので、双有理写像 の補題「稠密な開集合で一致する射は一致する」により $f_1=f_2$ である。$\square$
2 の証明には 2 つの補題を使う。以下 $K$ を $k$ 上有限生成で超越次数 $1$ の拡大体とする。
$A\subset K$ を $k$ 上有限生成な部分 $k$ 代数で、$k$ 上超越的な元を含むものとし、$\tilde{A}$ を $A$ の $K$ における整閉包とする。
- $\tilde{A}$ は有限 $A$ 加群で、商体は $K$ であり、$U:=\operatorname{Spec}\tilde{A}$ は $k$ 上の非特異なアフィン曲線で $K(U)=K$ である。
- $R\in\Sigma_K$ が $A\subset R$ をみたせば、$\mathfrak{n}:=\mathfrak{m}_R\cap\tilde{A}$ は $\tilde{A}$ の極大イデアルで、$R=\tilde{A}_{\mathfrak{n}}$ である。すなわち $R$ は $U$ の閉点の局所環である。
- $A$ の任意の極大イデアル $\mathfrak{q}$ について、$A_{\mathfrak{q}}$ を支配する $R\in\Sigma_K$ がある。
要点：整閉包の有限性から $\tilde{A}$ は 1 次元の Noether 正規整域になり、その極大イデアルでの局所化は離散付値環になる。2 は付値環が整閉であることと離散付値環の極大性から、3 は lying over から従う。
詳しい証明を開く
1．$F:=\operatorname{Frac}A$ は $k$ 上超越的な元を含むので $\operatorname{trdeg}_kF=1$ であり、$K$ は $F$ 上有限生成かつ代数的なので $[K:F]<\infty$ である。整閉包 の定理「整閉包の有限性」の 2 により $\tilde{A}$ は有限 $A$ 加群であり、したがって $k$ 上有限生成な整域である。$\alpha\in K$ の $F$ 上の最小多項式の分母を払う $0\neq c\in A$ をとると $c\alpha$ は $A$ 上整なので、$\operatorname{Frac}\tilde{A}=K$ である。Krull次元 の定理「体上有限生成な環の次元」により $\dim\tilde{A}=\operatorname{trdeg}_kK=1$ なので、$U$ は $k$ 上の曲線である。閉点 $\mathfrak{n}$ の局所環 $\tilde{A}_{\mathfrak{n}}$ は次元 $1$ の Noether 局所整域（代数曲線 の命題「曲線の点と閉集合」の 2）で、整閉整域の局所化なので整閉である（整閉包 の命題「整閉整域の局所判定」）。よって離散付値環であり（離散付値環 の定理「整閉性による特徴づけ」）、$U$ は非特異である。
2．$R$ は $K$ の中で整閉なので $\tilde{A}\subset R$ である。$\mathfrak{n}=0$ なら $\tilde{A}$ の $0$ でない元はすべて $R$ の単元で、$K=\operatorname{Frac}\tilde{A}\subset R$ となり $R\neq K$ に反する。よって $\mathfrak{n}$ は $0$ でない素イデアルで、$\dim\tilde{A}=1$ から極大である。$\tilde{A}\setminus\mathfrak{n}$ の元は $R$ の単元なので $\tilde{A}_{\mathfrak{n}}\subset R$ で、$\mathfrak{m}_R\cap\tilde{A}_{\mathfrak{n}}=\mathfrak{n}\tilde{A}_{\mathfrak{n}}$ である。離散付値環 $\tilde{A}_{\mathfrak{n}}$ は $R$ に支配されるので、代数関数体 の補題「離散付値環の極大性」により $R=\tilde{A}_{\mathfrak{n}}$ である。
3．$A\subset\tilde{A}$ は整拡大なので、$\mathfrak{n}\cap A=\mathfrak{q}$ となる素イデアル $\mathfrak{n}\subset\tilde{A}$ があり（整拡大 の定理「lying over と going up」の 1）、$\mathfrak{n}$ は極大である（同じ記事の系「極大イデアルの縮約」）。1 により $R:=\tilde{A}_{\mathfrak{n}}$ は $\Sigma_K$ に属する。$A\setminus\mathfrak{q}\subset\tilde{A}\setminus\mathfrak{n}$ なので $A_{\mathfrak{q}}\subset R$ であり、$\mathfrak{m}_R\cap A=\mathfrak{n}\cap A=\mathfrak{q}$ から $\mathfrak{m}_R\cap A_{\mathfrak{q}}=\mathfrak{q}A_{\mathfrak{q}}$ である。$\square$
$f\in K^\times$ とする。$f\notin R$ となる $R\in\Sigma_K$ は有限個である。
要点：$f$ が $k$ 上代数的なら、どの素点にも属する。そうでなければ $y=f^{-1}$ の零点である素点が、$k[y]$ の整閉包の $y$ を含む極大イデアルに対応し、それは有限次元 $k$ 代数の極大イデアルなので有限個である。
詳しい証明を開く
$f$ が $k$ 上代数的なら、$f$ は $k\subset R$ 上整で $R$ は整閉なので、すべての $R\in\Sigma_K$ について $f\in R$ である。そうでないとき $y:=f^{-1}$ は $k$ 上超越的で、$f\notin R$ は $y\in\mathfrak{m}_R$ と同値である。このとき $k[y]\subset R$ なので、lem-ccff-affine の 2（$A=k[y]$）により $R=B_{\mathfrak{n}}$、$\mathfrak{n}=\mathfrak{m}_R\cap B\ni y$ である。ここで $B$ は $k[y]$ の $K$ における整閉包である。$R$ が異なれば $\mathfrak{n}$ も異なる。$y$ を含む $B$ の極大イデアルは $B/yB$ の極大イデアルと 1 対 1 に対応し、$B$ は有限 $k[y]$ 加群なので $B/yB$ は有限次元 $k$ 代数である。相異なる極大イデアル $\mathfrak{n}_1,\dots,\mathfrak{n}_r$ について、中国剰余定理により $B/yB\to\prod_iB/\mathfrak{n}_i$ は全射で、各 $B/\mathfrak{n}_i$ は $0$ でない $k$ ベクトル空間なので、$r\le\dim_kB/yB$ である。$\square$
段 1（有限個のアフィン模型）．$K=k(\alpha_1,\dots,\alpha_m)$（$\alpha_i\neq0$）と書く。$K$ は $k$ 上代数的でないので、ある $\alpha_i$ は $k$ 上超越的である。lem-ccff-finite により、ある $\alpha_i$ を含まない素点は有限個で、それを $R_1,\dots,R_s$ とする。$A_0:=k[\alpha_1,\dots,\alpha_m]$ とし、$j=1,\dots,s$ について、$A_j$ を $\alpha_i\in R_j$ なら $\alpha_i$、そうでなければ $\alpha_i^{-1}$（これは $\mathfrak{m}_{R_j}$ に入る）を $i=1,\dots,m$ について集めて生成した $k$ 代数とする。$A_j\subset R_j$ で、$A_j$ は $k$ 上超越的な元を含む。$U_j:=\operatorname{Spec}\tilde{A}_j$（$j=0,\dots,s$）は lem-ccff-affine の 1 により非特異なアフィン曲線で $K(U_j)=K$ である。素点 $R$ がすべての $\alpha_i$ を含めば $A_0\subset R$、そうでなければ $R=R_j$ で $A_j\subset R$ なので、lem-ccff-affine の 2 により、すべての $R\in\Sigma_K$ は、ある $U_j$ のある閉点の局所環である。
段 2（射影閉包）．$\tilde{A}_j$ の $k$ 代数としての生成元を選んで閉埋め込み $U_j\to\mathbb{A}^{n_j}_k$ を作り、$\mathbb{A}^{n_j}_k=D_+(x_0)\subset\mathbb{P}^{n_j}_k$ とみて、像の閉包に被約な構造を入れたものを $Y_j$ とする。$U_j$ は $D_+(x_0)$ の閉部分スキームなので $Y_j\cap D_+(x_0)$ と台が等しく、どちらも被約なので $U_j$ は $Y_j$ の開部分スキームであり、$Y_j$ は $K(Y_j)=K$ の射影曲線である。
段 3（積の中の閉包）．双有理写像 の定理「関数体と支配的有理写像」により、$K$ の恒等写像に対応する支配的な有理写像 $h_j\colon U_0\dashrightarrow U_j$ がある（$h_0$ は恒等写像）。それぞれの定義域の共通部分を $V\subset U_0$ とし（空でない開集合）、$\iota\colon V\to T:=Y_0\times_k\cdots\times_kY_s$ を成分 $h_j|_V$ の射とする。射影的なスキームの積は射影的である（Segre 埋め込み、Vak25 §10.6）。$\iota(V)$ の $T$ における閉包に被約な構造を入れたものを $Y$ とすると、$Y$ は既約かつ被約な射影的スキームで、lem-ccff-factor により $\iota$ は $Y$ を経由する。$p_j\colon Y\to Y_j$ を射影とすると $p_j\circ\iota=h_j|_V$ である。$\iota\colon V\to Y$ は支配的なので $\iota^*\colon K(Y)\to K$ が定まり、$p_0\circ\iota$ は包含 $V\subset Y_0$ なので $\iota^*\circ p_0^*=\mathrm{id}_K$ である。よって $\iota^*$ は全射で、体の準同型なので同型である。以下 $\iota^*$ で $K(Y)=K$ と同一視すると、$p_j^*=h_j^*=\mathrm{id}_K$ であり、$\dim Y=\operatorname{trdeg}_kK=1$ なので $Y$ は射影曲線である。
段 4（各模型から $Y$ への射）．$K$ の恒等写像に対応する支配的な有理写像 $U_j\dashrightarrow Y$ は、$U_j$ が非特異なので、1 の証明と同じく射 $\varphi_j\colon U_j\to Y$ に延び、$\varphi_j^*=\mathrm{id}_K$ である。$p_j\circ\varphi_j$ と包含 $U_j\subset Y_j$ は、引き戻しがともに $\mathrm{id}_K$ の支配的な射なので、1 の単射性の議論により一致する。
段 5（局所環の計算）．$R\in\Sigma_K$ を $U_j$ の閉点 $P$ の局所環とし、$Q':=\varphi_j(P)$ とする。引き戻しが $\mathrm{id}_K$ の支配的な射は、局所環の間に $K$ の中の包含を誘導する。$\varphi_j$ から $\mathcal{O}_{Y,Q'}\subset\mathcal{O}_{U_j,P}=R$、$p_j$（$p_j(Q')=P$）から $R=\mathcal{O}_{Y_j,P}\subset\mathcal{O}_{Y,Q'}$ を得るので、$\mathcal{O}_{Y,Q'}=R$ である。
段 6（$Y$ は非特異）．$Q$ を $Y$ の閉点とし、$Q$ を含むアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ をとる。$A$ は $k$ 上有限生成で商体が $K$ なので、lem-ccff-affine の 3 により $\mathcal{O}_{Y,Q}$ を支配する $R\in\Sigma_K$ がある。段 1 により $R$ はある $U_j$ の閉点 $P$ の局所環で、段 5 により $Q'=\varphi_j(P)$ について $\mathcal{O}_{Y,Q'}=R$ である。$\mathcal{O}_{Y,Q'}$ は離散付値環で $\mathcal{O}_{Y,Q}$ を支配するので、lem-ccff-dominated により $Q=Q'$ であり、$\mathcal{O}_{Y,Q}=R$ は離散付値環である。よって $Y$ は非特異な射影曲線で、$K(Y)\cong K$ である。$\square$
段 5・6 は、$Y$ の閉点がちょうど $\Sigma_K$ の元に対応していることも示している。これは prop-ccff-points と整合する。
- $k$ 上の非特異な射影曲線 $C,C'$ について、$C\cong C'$ であること、$C$ と $C'$ が双有理同値であること、$K(C)\cong K(C')$（$k$ 代数として）であることは同値である。
- $f\mapsto f^*$ は群の反同型 $\operatorname{Aut}_k(C)\to\operatorname{Aut}_k(K(C))$ を与える。
- $k$ 上の任意の曲線 $X$ は、ある非特異な射影曲線と双有理同値であり、そのような曲線は同型を除いて一意である。これを $X$ の非特異射影モデルという。
1．同型なら双有理同値であり、双有理同値なら関数体は同型である（双有理写像 の定理「関数体と支配的有理写像」の 3）。$\theta\colon K(C')\to K(C)$ が同型なら、thm-ccff-main の 1 により $\theta=f^*$、$\theta^{-1}=g^*$ となる $f\colon C\to C'$、$g\colon C'\to C$ があり、$(g\circ f)^*=f^*\circ g^*=\mathrm{id}$ なので同じ 1 の単射性から $g\circ f=\mathrm{id}_C$、同様に $f\circ g=\mathrm{id}_{C'}$ である。2 は 1 の $C'=C$ の場合で、$(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$ による。3．$K(X)$ は $\mathcal{F}_k$ の対象なので、thm-ccff-main の 2 により $K(C)\cong K(X)$ となる $C$ があり、$X$ と $C$ は双有理同値である（双有理写像 の同じ定理の 3）。一意性は 1 による。$\square$
例
$\mathbb{P}^1_k$ の関数体は有理関数体 $k(t)$ である。$\Sigma_{k(t)}$ は、モニックな既約多項式 $\pi\in k[t]$ ごとの $k[t]_{(\pi)}$ と、無限遠の $k[1/t]_{(1/t)}$ からなり（代数関数体 の命題「有理関数体の素点」）、これは prop-ccff-points のとおり $\mathbb{P}^1_k$ の閉点に対応する。cor-ccff-consequences の 1 により、$K(C)\cong k(t)$ となる非特異な射影曲線 $C$ は $\mathbb{P}^1_k$ と同型である。また同じ系の 2 と 有理関数体 の系「有理関数体の $K$ 上の自己同型」により $\operatorname{Aut}_k(\mathbb{P}^1_k)\cong PGL_2(k)$ であり、$\mathbb{P}^1_k$ の自己同型はすべて 1 次分数変換 $t\mapsto(at+b)/(ct+d)$ で与えられる。
$\mathbb{P}^1_k$ の斉次座標を $[x_0:x_1]$、$t:=x_1/x_0$ とする。射 $f\colon\mathbb{P}^1_k\to\mathbb{P}^1_k$、$[x_0:x_1]\mapsto[x_0^2:x_1^2]$ は支配的で、$f^*\colon k(t)\to k(t)$ は $t\mapsto t^2$ であり、その像は部分体 $k(t^2)$ である。一般に、支配的な射 $f\colon C\to C'$ は $k$ を含む部分体 $f^*K(C')\subset K(C)$ を定める。逆に、$k$ を含み $k$ 上超越的な元 $x$ をもつ部分体 $L\subset K(C)$ は、$k(x)\subset L\subset K(C)$ から $L/k(x)$ が有限次なので $\mathcal{F}_k$ の対象であり、thm-ccff-main によりある非特異な射影曲線への射から来る。有理関数体 の定理「Lürothの定理」により、$k\subsetneq L\subset k(t)$ なら $L=k(u)$ は有理関数体と同型なので、支配的な射 $\mathbb{P}^1_k\to C$ をもつ非特異な射影曲線 $C$ は $\mathbb{P}^1_k$ と同型である（$k$ は任意の体）。
$k=\mathbb{R}$ とし、$K_Q:=\operatorname{Frac}\bigl(\mathbb{R}[a,b]/(a^2+b^2+1)\bigr)$ を、実点をもたない 2 次曲線 $V_+(x^2+y^2+z^2)$ の関数体とする（代数曲線 の例「反例：実点をもたない 2 次曲線」）。$K_Q$ の素点 $V$ の剰余体 $\kappa$ は $\mathbb{R}$ と同型でない。実際、$a,b\in V$ なら $\kappa$ の中で $\bar{a}^2+\bar{b}^2=-1$ である。$a\notin V$ なら $c:=1/a\in\mathfrak{m}_V$ で、$d:=b/a$ は $d^2=-1-c^2\in V$ をみたすので $V$ 上整、したがって $d\in V$ であり、$\kappa$ の中で $\bar{d}^2=-1$ となる。$b\notin V$ の場合も同じである。どの場合も $\kappa$ では $-1$ が平方の和になる。一方 $\mathbb{R}(t)$ には剰余体が $\mathbb{R}$ の素点 $\mathbb{R}[t]_{(t)}$ があるので、$K_Q$ は超越次数 $1$ なのに $\mathbb{R}(t)$ と同型でない。prop-ccff-points により、これは「$K_Q$ の非特異射影モデルは $\mathbb{R}$ 有理点（剰余体が $\mathbb{R}$ の閉点）をもたず、したがって $\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$ と同型でない」ことの体の側の言い換えである。
尖点 3 次曲線 $C_1:=V_+(y^2z-x^3)$ の関数体は $t=y/x$ で生成される $k(t)$ であり（$z=1$ のとき $x=t^2$、$y=t^3$）、結節点 3 次曲線 $C_2:=V_+(y^2z-x^2(x+z))$ の関数体も $t=y/x$ で $k(t)$ である（$x=t^2-1$、$y=t(t^2-1)$）。どちらの非特異射影モデルも $\mathbb{P}^1_k$ であり、モデルへの双有理写像は正規化 $\mathbb{P}^1_k\to C_i$ の逆である（正規化）。
反例
thm-ccff-main と cor-ccff-consequences の 1 の仮定を 1 つずつ外すと、次のように崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 非特異 | 尖点 3 次曲線 $C_1$ と $\mathbb{P}^1_k$ | 関数体がともに $k(t)$ なのに同型でない |
| 射影的 | $\mathbb{A}^1_k$ と $\mathbb{P}^1_k$ | 関数体がともに $k(t)$ なのに同型でない |
| 次元が $1$ | $\mathbb{P}^2_k$ と $\mathbb{P}^1_k\times_k\mathbb{P}^1_k$ | 関数体がともに $k(s,t)$ なのに同型でない |
| 射が支配的 | 定数射 $\mathbb{P}^1_k\to\mathbb{P}^1_k$ | 関数体の準同型を誘導しない（1 の対応の外にある） |
4 行の確かめを開く
1 行目：$C_1$ の原点の局所環は離散付値環でない（離散付値環 の例「反例：尖点の局所環」）が、$\mathbb{P}^1_k$ の閉点の局所環はすべて離散付値環なので、同型でない。2 行目：大域切断は $\Gamma(\mathbb{A}^1_k,\mathcal{O})=k[t]$、$\Gamma(\mathbb{P}^1_k,\mathcal{O})=k$ で異なる。3 行目：双有理写像 の例「反例：射影直線の積と射影平面」。この場合は射の対応も崩れ、関数体の自己同型 $(s,t)\mapsto(1/s,1/t)$ に対応する $\mathbb{P}^2_k$ の双有理写像は射に延びない（Cremona変換）。4 行目：像が 1 点 $P$ の射 $c$ について、$P$ を含まない開集合 $V$ の逆像 $c^{-1}(V)$ は空なので、$P$ で正則でない関数（たとえば $P$ で極をもつ関数）は引き戻せない。$k(t)$ の $k$ 準同型はすべて支配的な射から来る（1）ので、$c$ に対応する準同型はない。
注意
- 抽象非特異曲線．Har77 I §6 は、$k$ を代数閉体として、$\Sigma_K$ に「有限集合と全体を閉集合とする位相」と、開集合 $U$ に $\bigcap_{R\in U}R$ を対応させる関数の層を入れた空間（抽象非特異曲線）を作り、それが非特異な射影曲線と同型であることを示している（同 Theorem 6.9、p. 44）。この記事の段 1〜6 はその証明と同じ筋を、スキームの言葉で任意の体の上に移したものである。Vak25 Theorem 16.3.1・16.3.3（pp. 465–468）は、$\mathbb{P}^1_k$ の $K$ における正規化を射影的に作る別の道筋をとる。$k$ が代数閉体のとき、その正規化は 代数関数体 の定理「代数関数体と非特異射影曲線」の曲線 $C_K$ である。
- 非特異と滑らか．$k$ が完全体でないとき、非特異（各局所環が正則）な曲線は $k$ 上滑らかとは限らない（代数曲線 の節「非特異な点」）。この圏同値は非特異（正則）な曲線についてのものである。
- 高次元．次元 $2$ 以上では、非特異な射影多様体が双有理同値でも同型とは限らず、双有理写像は射に延びるとも限らない。その典型がCremona変換であり、関数体だけで決まるのは双有理同値類までである（双有理幾何学）。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
