Fatouの補題

同義語：Fatou's lemma

概要

前提知識: Lebesgue積分, 上極限と下極限, 測度

関数列 $f_n$ が各点で $f$ に収束しても、積分 $\int f_n$ が $\int f$ に収束するとは限らない。$\mathbb{R}$ 上で $f_n=1_{[n,n+1]}$ とおくと、どの点でも十分先の $n$ で $f_n=0$ になるので極限は $0$ だが、$\int f_n=1$ はずっと変わらない。面積 $1$ の「かたまり」が右へ逃げていき、極限をとった瞬間に見えなくなるのである。$f_n=n\,1_{(0,1/n)}$ でも同じことが起きる。こちらはかたまりが原点のそばで高く細くなって消える。
どちらの例でも、極限の積分 $0$ は積分の極限 $1$ より小さい。逆に、非負の関数の列では、極限をとったときに面積が新しく湧いてくることはない。Fatou の補題はこの片側の不等式
$$ \int\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu $$
を、非負の可測関数の列について、収束も単調性も仮定せずに主張する。仮定が少ない分だけ結論は不等式にとどまるが、そのかわりどんな非負の列にも使える。優収束定理をはじめ、積分の極限についての多くの定理がこの補題から導かれる。

設定と主張

以下、$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする（測度の記事の定義「測度」）。可測関数・非負可測関数の積分・可積分性・「ほとんど至るところ」は Lebesgue積分の記事の定義に従い、$[0,\infty]$ の中では $0\cdot\infty=0$ と約束する。関数列の下極限・上極限は各点でとる：
$$ \Bigl(\liminf_{n\to\infty}f_n\Bigr)(x):=\sup_{k\ge1}\ \inf_{n\ge k}f_n(x),\qquad \Bigl(\limsup_{n\to\infty}f_n\Bigr)(x):=\inf_{k\ge1}\ \sup_{n\ge k}f_n(x). $$
値は $[-\infty,\infty]$ の中にあり、数列についての性質は上極限と下極限の記事のとおりである。$\inf_{n\ge k}f_n(x)$ は $k$ について増加するので、下極限は増加列の極限でもある。可測関数の列について、各 $k$ の $\inf_{n\ge k}f_n$ と $\sup_{n\ge k}f_n$、および $\liminf_nf_n$ と $\limsup_nf_n$ は可測である（上極限と下極限の記事の命題「可測関数列の上極限と下極限」とその証明）。

Fatouの補題

可測関数の列 $f_n\colon X\to[0,\infty]$（$n\ge1$）について
$$ \int\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu. $$
両辺の値は $[0,\infty]$ の中にあり、$\infty$ でもよい。

$k\ge1$ について $g_k:=\inf_{n\ge k}f_n$ とおく。$g_k$ は値が $[0,\infty]$ の可測関数であり、$g_1\le g_2\le\cdots$（下限をとる範囲が狭くなるので）、各点で $\lim_kg_k=\sup_kg_k=\liminf_nf_n$ である。
$n\ge k$ ならば $g_k\le f_n$ である。非負単関数 $s$ が $s\le g_k$ を満たせば $s\le f_n$ でもあるので、非負可測関数の積分の定義（Lebesgue積分の記事の定義「非負可測関数の積分」）から $\int g_k\,d\mu\le\int f_n\,d\mu$ である。これが $n\ge k$ のすべてで成り立つので
$$ \int g_k\,d\mu\le\inf_{n\ge k}\int f_n\,d\mu\qquad(k\ge1). $$
左辺は $k$ について増加し、右辺も $k$ について増加する。増加列は $[0,\infty]$ の中に極限をもつ（項に $\infty$ があればそれ以後は $\infty$ であり、そうでなければ単調収束定理の記事の命題「単調な数列はつねに極限をもつ」による）。$g_k$ は非負可測関数の増加列なので、Lebesgue積分の記事の定理「単調収束定理」により $\int\liminf_nf_n\,d\mu=\lim_k\int g_k\,d\mu$ である。上の不等式で $k\to\infty$ とすると
$$ \int\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu=\lim_{k\to\infty}\int g_k\,d\mu\le\lim_{k\to\infty}\ \inf_{n\ge k}\int f_n\,d\mu=\liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu.\qquad\square $$

証明の要点は、$\liminf f_n$ を下から増加して近づく列 $g_k$ で表し、増加列についての等式（単調収束定理）を、各 $g_k$ が $f_n$ たちより小さいという不等式と組み合わせることにある。不等号はこの「小さい」から来ており、等号にはならない。冒頭の 2 つの例では $\liminf f_n=0$ で、左辺は $0$、右辺は $1$ である。

単調収束定理との関係

逆に Fatou の補題から単調収束定理が出る。非負可測関数の増加列 $f_n\uparrow f$ では $\liminf_nf_n=f$ なので、thm-fatou-main から $\int f\le\liminf_n\int f_n$ であり、$f_n\le f$ から $\int f_n\le\int f$ なので、$\lim_n\int f_n=\int f$ となる。上の証明は単調収束定理を使ったので、2 つは「非負可測関数の積分の基本性質のもとで互いに導き合う」関係にある。どちらを先に示すかは流儀による。

ほとんど至るところでの形と下から押さえた形

零集合の上での値は積分に影響しない（Lebesgue積分の記事の補題「零集合と積分」の 3）ので、非負性はほとんど至るところで成り立てばよい。

ほとんど至るところ非負な列

可測関数 $f_n\colon X\to[-\infty,\infty]$ が、各 $n$ についてほとんど至るところ $f_n\ge0$ を満たすとする。このとき $\liminf_nf_n\ge0$ がほとんど至るところ成り立ち、
$$ \int\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu. $$
さらに $\sup_n\int f_n\,d\mu<\infty$ ならば、$\liminf_nf_n$ はほとんど至るところ有限で可積分である。

$N:=\bigcup_n\{f_n<0\}$ は零集合の可算個の和なので零集合である（測度の記事の命題「測度の基本性質」の 4）。$\tilde f_n:=f_n1_{X\setminus N}$ とおくと $\tilde f_n\colon X\to[0,\infty]$ は可測で、$N$ の外で $f_n$ に等しく、$\liminf_n\tilde f_n=(\liminf_nf_n)1_{X\setminus N}$ である。$f_n^-=\max(-f_n,0)$ は $N$ の外で $0$ なので $\int f_n^-\,d\mu=0$ であり、$\int f_n\,d\mu=\int f_n^+\,d\mu=\int\tilde f_n\,d\mu$ である（Lebesgue積分の記事の補題「零集合と積分」の 3）。同様に $\liminf_nf_n$ の負の部分は $N$ の外で $0$ なので、$\int\liminf_nf_n\,d\mu=\int\liminf_n\tilde f_n\,d\mu$ である。thm-fatou-main を $\tilde f_n$ に使えば不等式を得る。
$\sup_n\int f_n\,d\mu=:C<\infty$ なら、右辺は $C$ 以下なので $\int\liminf_n\tilde f_n\,d\mu\le C<\infty$ である。同じ補題の 2 により $\liminf_n\tilde f_n$ はほとんど至るところ有限であり、$\liminf_nf_n$ もほとんど至るところ有限で可積分である。$\square$

後半は「積分が一様に有界な非負の列の下極限は可積分である」という形で、極限関数の可積分性を示すときによく使う。
非負でない列でも、可積分な関数で下から押さえられていれば同じ不等式が成り立つ。符号を反転すると、上から押さえた列についての逆向きの不等式になる。

下から押さえた形と逆向きの形

$g\colon X\to[0,\infty]$ を $\int g\,d\mu<\infty$ を満たす可測関数とし、$f_n\colon X\to[-\infty,\infty]$ を可測関数とする。

各 $n$ でほとんど至るところ $f_n\ge-g$ ならば、$\int f_n\,d\mu$ と $\int\liminf_nf_n\,d\mu$ は $(-\infty,\infty]$ の値として定まり、$\displaystyle\int\liminf_{n\to\infty}f_n\,d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ である。
各 $n$ でほとんど至るところ $f_n\le g$ ならば、$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu\le\int\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu$ である。

1：$\int g<\infty$ なので $\{g=\infty\}$ は零集合である（Lebesgue積分の記事の補題「零集合と積分」の 2）。$N:=\{g=\infty\}\cup\bigcup_n\{f_n<-g\}$ は零集合である。$N$ の外では $f_n^-\le g<\infty$ なので $\int f_n^-\le\int g<\infty$ となり、$\int f_n=\int f_n^+-\int f_n^-$ は $(-\infty,\infty]$ の値として定まる。$u:=\liminf_nf_n$ も $N$ の外で $u\ge-g$ を満たすので、同様に $\int u$ が定まる。
$h_n:=(f_n+g)1_{X\setminus N}$ とおく。$N$ の外では $g$ が有限なので和は意味をもち、$h_n\colon X\to[0,\infty]$ は可測である。$N$ の外では $f_n=f_n^+-f_n^-$ で $f_n^-$ が有限なので、$[0,\infty]$ の中の等式
$$ h_n+f_n^-=f_n^++g $$
が成り立つ。非負可測関数の積分の加法性（Lebesgue積分の記事の定理「積分の線形性と単調性」の 1）と零集合の上の値を無視できることから $\int h_n+\int f_n^-=\int f_n^++\int g$ であり、$\int f_n^-$ と $\int g$ は有限なので $\int h_n=\int f_n+\int g$ である。$N$ の外で $\liminf_nh_n=u+g$ なので、同じ計算で $\int\liminf_nh_n=\int u+\int g$ である。thm-fatou-main を $h_n$ に使うと
$$ \int u\,d\mu+\int g\,d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\Bigl(\int f_n\,d\mu+\int g\,d\mu\Bigr)=\liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu+\int g\,d\mu $$
であり、有限の数 $\int g$ を両辺から引けばよい。
2：$-f_n\ge-g$（ほとんど至るところ）に 1 を使う。$\liminf_n(-f_n)=-\limsup_nf_n$、$\int(-f_n)=-\int f_n$ であり、$\liminf_n(-a_n)=-\limsup_na_n$ なので、両辺に $-1$ を掛ければ 2 を得る。$\square$

2 は「逆向きの Fatou の補題」と呼ばれることがある。1 と 2 を両方使える状況、すなわち $\lvert f_n\rvert\le g$ で $f_n$ が収束する状況では、$\int\liminf=\int\limsup$ となって両側から挟まれ、積分の極限が求まる。これが優収束定理の証明の骨組みである（同じ記事の定理「優収束定理」）。

応用

集合の列

指示関数に当てると、集合の列についての不等式になる。集合列の下極限・上極限は上極限と下極限の記事の定義「集合列の上極限と下極限」に従う。

集合の列についての Fatou の補題

$A_n\in\mathcal{F}$（$n\ge1$）とする。

$\mu\bigl(\liminf_nA_n\bigr)\le\liminf_n\mu(A_n)$。
$\mu(X)<\infty$ ならば $\limsup_n\mu(A_n)\le\mu\bigl(\limsup_nA_n\bigr)$。

上極限と下極限の記事の命題「所属回数による特徴づけ」により、$x\in\liminf_nA_n$ は「十分先のすべての $n$ で $x\in A_n$」と同値であり、これは $0$ と $1$ からなる数列 $1_{A_n}(x)$ の下極限が $1$ であることと同値である。よって $1_{\liminf_nA_n}=\liminf_n1_{A_n}$ であり、thm-fatou-main から 1 を得る。同様に $x\in\limsup_nA_n$ は「無限個の $n$ で $x\in A_n$」と同値なので $1_{\limsup_nA_n}=\limsup_n1_{A_n}$ である。$\mu(X)<\infty$ なら定数関数 $g=1$ は可積分で $1_{A_n}\le g$ なので、prop-fatou-bounded の 2 から 2 を得る。$\square$

2 の仮定 $\mu(X)<\infty$ は外せない（ex-fatou-counterexamples の 4）。確率空間では 2 がいつも使え、「確率が $\varepsilon$ 以上の事象 $A_n$ が無限個あれば、無限個の $A_n$ が起きる確率も $\varepsilon$ 以上」と読める。

$L^p$ ノルムの下半連続性

ほとんど至るところの極限をとっても、$L^p$ ノルムは増えない。$\|\cdot\|_p$ と本質的上限 $\|\cdot\|_\infty$ は Lp空間の記事の定義「$p$ ノルムと本質的上限」に従い、関数の値は実数でも複素数でもよい。

$L^p$ ノルムの下半連続性

可測関数 $f_n,f\colon X\to\mathbb{C}$ について、ほとんど至るところ $f_n\to f$ とする。このとき $0< p\le\infty$ について
$$ \|f\|_p\le\liminf_{n\to\infty}\|f_n\|_p $$
である。とくに $\sup_n\|f_n\|_p<\infty$ ならば $\|f\|_p<\infty$ である。

$0< p<\infty$ のとき：$t\mapsto\lvert t\rvert^p$ は連続なので、ほとんど至るところ $\lvert f_n\rvert^p\to\lvert f\rvert^p$ であり、$\liminf_n\lvert f_n\rvert^p=\lvert f\rvert^p$ がほとんど至るところ成り立つ。cor-fatou-ae を非負可測関数 $\lvert f_n\rvert^p$ に使うと $\int\lvert f\rvert^p\le\liminf_n\int\lvert f_n\rvert^p$ であり、両辺を $\frac1p$ 乗すればよい（$s\mapsto s^{1/p}$ は $[0,\infty]$ 上で増加かつ連続なので、下極限と交換できる）。
$p=\infty$ のとき：$L:=\liminf_n\|f_n\|_\infty$ とし、$L<\infty$ としてよい。$t>L$ を任意にとると、$\|f_n\|_\infty< t$ となる $n$ が無限個あり、それを $n_1< n_2<\cdots$ とする。Lp空間の記事の補題「本質的上限は達成される」により、各 $j$ について零集合 $N_j$ の外で $\lvert f_{n_j}\rvert\le\|f_{n_j}\|_\infty< t$ である。$f_n\to f$ が成り立たない点の零集合を $N_0$ とすると、$N_0\cup\bigcup_jN_j$ は零集合で、その外では $\lvert f(x)\rvert=\lim_j\lvert f_{n_j}(x)\rvert\le t$ である。よって $\|f\|_\infty\le t$ であり、$t\downarrow L$ として結論を得る。$\square$

この命題は、$L^p$ で有界な列がほとんど至るところ収束すれば極限も $L^p$ に属することを、極限の積分を計算せずに保証する。Riesz–Fischerの定理（$L^p$ の完備性）の証明でも、極限関数が $L^p$ に入ることを確かめる場面がある。等号は一般には成り立たない。冒頭の $n\,1_{(0,1/n)}$ は $\|f_n\|_1=1$ で、極限 $0$ のノルムは $0$ である。

積分の収束から $L^1$ 収束へ

非負の関数の列では、各点の収束に「積分の値の収束」を付け加えるだけで、積分の意味での収束（$L^1$ 収束）が得られる。この主張は Scheffé の定理（Scheffé の補題）と呼ばれる（確率密度関数の場合が Dur19 §3.2 にある）。

積分の収束と $L^1$ 収束

可測関数 $f_n,f\colon X\to[0,\infty)$ について、$\int f\,d\mu<\infty$、ほとんど至るところ $f_n\to f$、かつ $\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu$ とする。このとき
$$ \lim_{n\to\infty}\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu=0. $$

$\int f_n\to\int f<\infty$ なので、有限個の $n$ を除いて $\int f_n<\infty$ であり、それらを除いてすべての $f_n$ が可積分としてよい。実数 $a,b$ について $\lvert a-b\rvert=a+b-2\min(a,b)$ であるから、
$$ \lvert f_n-f\rvert=f_n+f-2\min(f_n,f). $$
右辺の 3 つの関数は実数値で可積分である（$0\le\min(f_n,f)\le f$）。積分の線形性（Lebesgue積分の記事の定理「積分の線形性と単調性」の 2）により
$$ \int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu=\int f_n\,d\mu+\int f\,d\mu-2\int\min(f_n,f)\,d\mu $$
である。$\min(f_n,f)$ は非負で、ほとんど至るところ $f$ に収束するので、cor-fatou-ae から $\int f\le\liminf_n\int\min(f_n,f)$ である。一方 $\min(f_n,f)\le f$ から $\int\min(f_n,f)\le\int f$ である。よって $\int\min(f_n,f)\to\int f$ であり、上の等式の右辺は $\int f+\int f-2\int f=0$ に収束する。$\square$

とくに、確率密度関数の列 $f_n$ がほとんど至るところ確率密度関数 $f$ に収束すれば（全体の積分はどれも $1$）、$\int\lvert f_n-f\rvert\to0$ であり、すべての可測集合 $E$ について $\bigl\lvert\int_Ef_n-\int_Ef\bigr\rvert\le\int\lvert f_n-f\rvert$ が一様に $0$ に近づく。

例

不等号が真の不等号になる列

以下は $\mathbb{R}$ 上の Lebesgue 測度についての例である。

$f_n=1_{[n,n+1]}$：どの $x$ でも $n>x$ なら $f_n(x)=0$ なので $\liminf_nf_n=0$。左辺は $0$、右辺は $\liminf_n1=1$。
$f_n=n\,1_{(0,1/n)}$：$x\le0$ では常に $0$、$x>0$ では $n\ge1/x$ で $0$ なので $\liminf_nf_n=0$。$\int f_n=n\cdot\frac1n=1$。
$f_n=1_{[0,1]}$（$n$ が偶数）、$f_n=1_{(1,2]}$（$n$ が奇数）：各点で $\liminf_nf_n=0$ であり（どの点も $f_n=0$ となる $n$ を無限個もつ）、左辺は $0$。$\int f_n=1$ なので右辺は $1$。
1 では質量が無限遠へ逃げ、2 では一点に集中し、3 では収束せずに行き来する。どの場合も「積分の極限」のほうが大きい。

級数の形

$\mathbb{N}$ 上の数え上げ測度では積分は和になる（Lebesgue積分の記事の例「数え上げ測度による積分と級数」）。したがって $a_{n,k}\ge0$ について
$$ \sum_{k}\liminf_{n\to\infty}a_{n,k}\le\liminf_{n\to\infty}\sum_ka_{n,k} $$
である。$a_{n,k}=\frac1n$（$1\le k\le n$）、$a_{n,k}=0$（$k>n$）とすると、各項は $\frac1n\to0$ なので左辺は $0$ だが、各行の和は $n\cdot\frac1n=1$ である。個々の項が一様に小さくなっても、項の数が増えれば和は小さくならない。

極限関数の可積分性と積分の評価

$[0,\infty)$ 上で $f_n(x):=(1+\frac xn)^{-n}$（$n\ge2$）とおく。$(1+\frac xn)^n\to e^x$ なので各点で $f_n\to e^{-x}$ である。$f_n$ は連続で、Lebesgue積分の記事の命題「非負関数の広義積分との一致」により
$$ \int_{[0,\infty)}f_n\,d\lambda=\lim_{R\to\infty}\Bigl[-\frac{n}{n-1}\Bigl(1+\frac xn\Bigr)^{-(n-1)}\Bigr]_0^R=\frac{n}{n-1}\le2 $$
である。cor-fatou-ae により、$e^{-x}$ を直接積分しなくても、$e^{-x}$ が可積分で $\int_{[0,\infty)}e^{-x}\,d\lambda\le\liminf_n\frac n{n-1}=1$ であることが分かる（実際の値は $1$ で、この場合は等号が成り立つ）。

反例：条件を外すと何が崩れるか

thm-fatou-main と prop-fatou-bounded、prop-fatou-sets、thm-fatou-scheffe の条件を 1 つずつ外す。測度はすべて Lebesgue 測度である。

外す条件	反例	成り立たなくなること
非負性（可積分な関数による下からの押さえ）	$\mathbb{R}$ 上の $f_n=-1_{[n,n+1]}$	$\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n$
下極限であること（上極限に替える）	$\mathbb{R}$ 上で $1_{[0,1]}$ と $1_{(1,2]}$ を交互にとる列	$\int\limsup f_n\le\liminf\int f_n$
逆向きの不等式での上からの可積分な押さえ	$(0,1)$ 上の $f_n=n\,1_{(0,1/n)}$	$\limsup\int f_n\le\int\limsup f_n$
集合の形の 2 での測度の有限性	$\mathbb{R}$ 上の $A_n=[n,n+1]$	$\limsup\mu(A_n)\le\mu(\limsup A_n)$
積分の値の収束	$(0,1)$ 上の $f_n=n\,1_{(0,1/n)}$、$f=0$	$\int\lvert f_n-f\rvert\to0$

反例の確認

$f_n=-1_{[n,n+1]}$ は可測で、各点で十分先の $n$ では $0$ なので $\liminf_nf_n=0$、左辺は $0$ である。$\int f_n=-1$ なので右辺は $-1$ であり、$0\le-1$ は成り立たない。すべての $n$ でほとんど至るところ $f_n\ge-g$ となる $g\ge0$ は、ほとんど至るところ $g\ge1_{[1,\infty)}$ を満たすので可積分でない。外れているのは下からの可積分な押さえだけである。
ex-fatou-strict の 3 の列である。非負で可測であり、$\limsup_nf_n=1_{[0,2]}$（$[0,2]$ のどの点も無限回 $1$ をとる）なので $\int\limsup_nf_n=2$、一方 $\int f_n=1$ なので $\liminf_n\int f_n=1$ である。$2\le1$ は成り立たない。$\liminf$ のままなら ex-fatou-strict の 3 のとおり成り立つ。
$f_n\ge0$ で、各点で $f_n\to0$ だから $\int\limsup_nf_n=0$、一方 $\int f_n=1$ なので $1\le0$ は成り立たない。$f_n$ を押さえる関数は $(0,1)$ 上で $\sup_nf_n\ge\frac1{2x}$ を満たし（$x\in[\frac1{n+1},\frac1n)$ で $f_n(x)=n\ge\frac1{2x}$）、可積分でない。
どの $x$ も $[n,n+1]$ に属するのは高々 2 つの $n$ なので、$\limsup_nA_n=\emptyset$ であり右辺は $0$、左辺は $1$ である。$\mu(\mathbb{R})=\infty$ だけが prop-fatou-sets の 2 の仮定から外れている（1 は $\liminf_nA_n=\emptyset$ で $0\le1$ となり成り立つ）。
非負で各点で $0$ に収束し、$f=0$ は可積分だが、$\int f_n=1\not\to0=\int f$ である。$\int\lvert f_n-f\rvert=1$ なので $L^1$ では収束しない。

補足

文献

Bre11 Lemma 4.1（p. 90）は、$L^1$ の関数の列で各 $n$ でほとんど至るところ $f_n\ge0$、$\sup_n\int f_n<\infty$ のとき、$\liminf_nf_n$ が可積分で $\int\liminf_nf_n\le\liminf_n\int f_n$ となる、という cor-fatou-ae の後半の形で述べている。同書の第 4 章は σ-有限な測度空間と実数値の関数を前提にしているが、この記事の証明は σ-有限性を使わない。同じ頁には単調収束定理（Theorem 4.1）と優収束定理（Theorem 4.2）も並べられている。