Bianchi分類

まず完全反対称テンソル $\epsilon_{ijk}(=\epsilon_{[ijk]})$ を用いて、
$$ \begin{align} \tilde{C}^{ij}&=\frac{1}{2}\sum_{a,b}C^i_{ab}\epsilon^{jab},\\ \tilde{C}&=\begin{pmatrix}C^1_{23} & C^1_{31} & C^1_{12} \\ C^2_{23} & C^2_{31} & C^2_{12} \\ C^3_{23} & C^3_{31} & C^3_{12}\end{pmatrix}, \end{align} $$
を定義する。
次に $\tilde{C}$ を対称部分と反対称部分へ分解する。
$$ \begin{align} \tilde{C}&=S(\tilde{C})+A(\tilde{C}),\\ S(\tilde{C})&=\frac{1}{2}(\tilde{C}+{}^t\tilde{C}),\\ A(\tilde{C})&=\frac{1}{2}(\tilde{C}-{}^t\tilde{C}). \end{align} $$
$N:=S(\tilde{C})$ と置くと、
$$ \begin{align} N^{ij}=\tilde{C}^{(ij)}=\sum_{a,b}\frac{1}{4}(C^i_{ab}\epsilon^{jab}+C^j_{ab}\epsilon^{iab}) \end{align} $$
である。
また
$$ \begin{align} A(\tilde{C})=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & C^1_{31}+C^2_{32} & -C^1_{21}-C^3_{23}\\ -C^1_{31}-C^2_{32} & 0 &C^2_{12}+C^3_{13}\\ C^1_{21}+C^3_{23} & -C^2_{12}-C^3_{13} & 0 \end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & \sum_aC^a_{3a} & -\sum_aC^a_{2a}\\ -\sum_aC^a_{3a} & 0 & \sum_aC^a_{1a}\\ \sum_aC^a_{2a} & -\sum_aC^a_{1a} & 0 \end{pmatrix} \end{align} $$
であるから、$a_i=\frac{1}{2}\sum_aC^a_{ia}$ と置くと
$$ \begin{align} A(\tilde{C})=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & a_3 & -a_2\\ -a_3 & 0 & a_1\\ a_2 & -a_1 & 0 \end{pmatrix} \end{align} $$
と書ける。
従って、
$$ \begin{align} \tilde{C}^{ij}&=N^{ij}+\sum_k\epsilon^{ijk}a_k,\\ \frac{1}{2}\sum_{k,l}C^i_{kl}\epsilon^{jkl}&=N^{ij}+\sum_k\epsilon^{ijk}a_k,\\ \therefore\ C^i_{jk}&=\sum_lN^{il}\epsilon_{ljk}+\sum_{l,m}\epsilon^{ilm}a_m\epsilon_{ljk},\\ &=\sum_lN^{il}\epsilon_{ljk}+\sum_{m}(\delta^i_j\delta^m_k-\delta^i_k\delta^m_j)a_m,\\ &=\sum_lN^{il}\epsilon_{ljk}+a_j\delta^i_k-a_k\delta^i_j \end{align} $$
となる。

さらにJacobi恒等式は
$$ \begin{align} \sum_l(C^l_{jk}C^m_{il}+C^l_{ki}C^m_{jl}+C^l_{ij}C^m_{kl})=0 \end{align} $$
と同値である。
以下の少し長いをすると、
$$ \begin{align} \sum_lC^l_{jk}C^m_{il}&=(N^{la}\epsilon_{ajk}+a_j\delta^l_k-a_k\delta^l_j)(N^{ma}\epsilon_{ail}+a_i\delta^m_l-a_l\delta^m_i),\\ &=N^{la}\epsilon_{ajk}N^{mb}\epsilon_{bil}+N^{la}\epsilon_{ajk}a_i\delta^m_l-N^{la}\epsilon_{ajk}a_l\delta^m_i\\ &+a_j\delta^l_kN^{ma}\epsilon_{ail}+a_j\delta^l_ka_i\delta^m_l-a_j\delta^l_ka_l\delta^m_i\\ &-a_k\delta^l_jN^{ma}\epsilon_{ail}-a_k\delta^l_ja_i\delta^m_l+a_k\delta^l_ja_l\delta^m_i\\ &=(N^{la}\epsilon_{ajk}+a_j\delta^l_k-a_k\delta^l_j)(N^{ma}\epsilon_{ail}+a_i\delta^m_l-a_l\delta^m_i),\\ &=N^{ma}\epsilon_{ajk}a_i-N^{la}\epsilon_{ajk}a_l\delta^m_i\\ &+a_jN^{ma}\epsilon_{aik}-a_kN^{ma}\epsilon_{aij},\\ \sum_lC^l_{ki}C^m_{jl}&=N^{la}\epsilon_{aki}a_j-N^{la}\epsilon_{aki}a_l\delta^m_j\\ &+a_jN^{ma}\epsilon_{aji}-a_kN^{ma}\epsilon_{ajk},\\ \sum_lC^l_{ij}C^m_{kl}&=N^{ma}\epsilon_{aij}a_k-N^{la}\epsilon_{aij}a_l\delta^m_k\\ &+a_iN^{ma}\epsilon_{akj}-a_jN^{ma}\epsilon_{aki},\\ \sum_l(C^l_{jk}C^m_{il}+C^l_{ki}C^m_{jl}+C^l_{ij}C^m_{kl}) &=a_jN^{ma}\epsilon_{aik}+a_kN^{ma}\epsilon_{aji}+a_iN^{ma}\epsilon_{akj}-a_lN^{la}(\epsilon_{ajk}\delta^m_i+\epsilon_{aki}\delta^m_j+\epsilon_{aij}\delta^m_k) \end{align} $$
となる。
今、$i\ne j\ne k,\ m=i$ または、$i=k\ne j$ の2つの場合を考えれば十分である。
$i=k\ne j$ のときは、$\sum_l(C^l_{jk}C^m_{il}+C^l_{ki}C^m_{jl}+C^l_{ij}C^m_{kl})=0$ であり、$i\ne j\ne k,\ m=i$ のときは、 $\sum_l(C^l_{jk}C^m_{il}+C^l_{ki}C^m_{jl}+C^l_{ij}C^m_{kl})=-2\sum_la_lN^{il}\epsilon_{ijk}$ である。
よって、Jacobi恒等式は $\sum_jN^{ij}a_j=0$ である。

まず$||a||=0$のクラス $A$ と $||a||\ne0$ のクラス $B$ の2つの場合がある。

クラス $A$ について：

直交行列 $T_1\in O(3)$ により $N$ を対角化して、$N=(\det T_1){\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3),\ \lambda_i\in\mathbb{R}$ とできる。
さらに $T_2={\rm diag}(\alpha_2\alpha_3,\alpha_1\alpha_3,\alpha_1\alpha_2)$ により変換すると、$N=(\det T_1){\rm diag}(\alpha_1^2\lambda_1,\alpha_2^2\lambda_2,\alpha_3^2\lambda_3)$ とできるから、$\lambda_i=\pm1,0$ としてよい。
固有値の並びも直交行列による変換で入れ替わるので組み合わせと相対的な符号のみ意味がある。
従って、上記の表の結果を得る。

クラス $B$ について：

適当な $SO(3)$ の変換により、$a_1=||a||,a_2=a_3=0$ とできる。
さらに $Na=0$ であるから、2次対称行列 $n$ を用いて、
$$ \begin{align} N=\begin{pmatrix} 0 &0\\ 0& n \end{pmatrix} \end{align} $$
となっている。
さらに直交変換で対角化すると、$N={\rm diag}(0,\lambda_2,\lambda_3)$ となり、クラス $A$ と同様に $\lambda_2,\lambda_3=0,\pm1$ であり、順序は意味がなく、相対的な符号のみ意味がある。
従って、次のいずれかの場合に帰着される。

(i) $\lambda_2=\lambda_3=0$ のとき

$T=\alpha I_3$ の変換で $||a||=1$ とできるので、V型である。

(ii) $\lambda_2=0,\lambda_3=1$ のとき

$T={\rm diag}(\alpha,1,\alpha)$ の変換で $N$ は不変となり、 $||a||\rightarrow \alpha^2||a||$ となるので、$||a||=1$ とできる。
よってIV型である。

(iii) $\lambda_2=\pm1,\lambda_3=1$ のとき

このとき $||a||$ を規格化して $1$ にすることは常にできるわけではない。
なぜなら許される変換は以下のものであるためである。
許される変換は $a_2=a_3=0$ を保つ変換であるから、
$$ \begin{align} T=\begin{pmatrix} s & 0 \\ v & t \end{pmatrix}, \ (s\in\mathbb{R},v\in\mathbb{R}^2,t\in GL(2,\mathbb{R})) \end{align} $$
の形であり、このとき、$N$ は
$$ \begin{align} (\det T)T^{-1}N{}^tT^{-1}=s(\det t) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & t^{-1}n{}^tt^{-1} \end{pmatrix},\ \ n={\rm diag}(\lambda_2,\lambda_3), \end{align} $$
と変換する。
この変換で $n$ が不変、すなわち $s(\det t)t^{-1}n{}^tt^{-1}=n$ であるためには、両辺の $\det$ を取って、$s/\det t=1$ となるから、$(\det t)^2t^{-1}n{}^tt^{-1}=n$ でなければならない。
またこの変換で $a\rightarrow sa$ と変換するから、$a_1\rightarrow (\det t)a_1$ と変換する。

(iii-a) $\lambda_2=\lambda_3=1$ のとき、$t\in O(2)$ である。
$\det t=\pm1$ であるから、$||a||=\beta$ の大きさを変えることはできない。
$\beta=0$ のときは $VII_0$ 型であるから、$\beta>0$ として $VII_\beta$ 型を得る。

(iii-b) $-\lambda_2=\lambda_3=1$ のとき、$t\in O(1,1)$ である。
$\det t=\pm1$ であるから、$||a||=\beta$ の大きさを変えることはできない。
$\beta=1$ のときは $III$ 型であるから、$\beta>0,\ \beta\ne1$ として $VI_\beta$ 型を得る。