Cauchyの積分定理

1 は実区間上の積分の線形性による。
2. $I:=\int_\gamma f\,dz$ とおき、$I\neq0$ として $\theta:=\arg I$ をとると $|I|=e^{-i\theta}I=\int_\alpha^\beta\operatorname{Re}\bigl(e^{-i\theta}f(\gamma(t))\gamma'(t)\bigr)\,dt$（虚部は $|I|$ が実数なので $0$）であり、被積分関数は $|f(\gamma(t))||\gamma'(t)|\leq M|\gamma'(t)|$ 以下だから $|I|\leq ML(\gamma)$ である。
3. 2 を $f_n-f$ に適用すると $\bigl|\int_\gamma f_n\,dz-\int_\gamma f\,dz\bigr|\leq L(\gamma)\sup_{\gamma^*}|f_n-f|\to0$ である。
4. 各小区間 $[t_{j-1},t_j]$ 上で $\gamma$ は $C^1$ 級であり、$t\mapsto F(\gamma(t))$ は（正則関数 の記事の命題（正則関数の四則と合成）と同じ計算で）微分可能で導関数は $F'(\gamma(t))\gamma'(t)=f(\gamma(t))\gamma'(t)$、これは連続である。実部・虚部それぞれに実変数の微積分学の基本定理（実変数の微積分学の基本定理）を用いると $\int_{t_{j-1}}^{t_j}f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt=F(\gamma(t_j))-F(\gamma(t_{j-1}))$ であり、$j$ について足し合わせれば主張を得る。

まず $p\notin\Delta$ の場合、すなわち $f$ が $\Delta$ を含むある開集合上で正則である場合を示す。$I(\Delta):=\oint_{\partial\Delta}f\,dz$ とおき、$I(\Delta)\neq0$ と仮定して矛盾を導く。$\Delta$ の 3 辺の中点を結んで $\Delta$ を 4 つの合同な三角形 $\Delta^{(1)},\dots,\Delta^{(4)}$ に分けると、それぞれの境界を同じ向きに回る積分の和は、内側の辺が逆向きに 2 回ずつ通られて打ち消し合うので、$I(\Delta)=\sum_{k=1}^4I(\Delta^{(k)})$ である。したがって $|I(\Delta^{(k)})|\geq|I(\Delta)|/4$ となる $k$ があり、その三角形を $\Delta_1$ とおく。同じ操作を繰り返して、三角形の減少列 $\Delta\supset\Delta_1\supset\Delta_2\supset\cdots$ で
$$|I(\Delta_n)|\geq4^{-n}|I(\Delta)|,\qquad L(\partial\Delta_n)=2^{-n}L(\partial\Delta),\qquad\operatorname{diam}\Delta_n=2^{-n}\operatorname{diam}\Delta$$
を満たすものを得る。各 $\Delta_n$ は空でない コンパクト空間 で直径が $0$ に近づくから、共通部分 $\bigcap_n\Delta_n$ はちょうど 1 点 $z_0$ からなる（Cantor の共通部分定理。完備距離空間 $\mathbb{C}$ における閉集合の減少列で直径が $0$ に近づくものの共通部分は 1 点である）。$z_0\in\Delta$ で $f$ は $z_0$ で複素微分可能だから、任意の $\varepsilon>0$ に対し $\delta>0$ があって、$|z-z_0|<\delta$ ならば
$$|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|\leq\varepsilon|z-z_0|$$
である。$n$ を大きくとって $\Delta_n\subset B(z_0,\delta)$ とする。1 次式 $f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)$ は原始関数を持つので $\partial\Delta_n$ に沿う積分は $0$ であり（prop-cauchy-integral-theorem-basic）、
$$|I(\Delta_n)|=\Bigl|\oint_{\partial\Delta_n}\bigl(f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)\bigr)dz\Bigr|\leq\varepsilon\operatorname{diam}(\Delta_n)\,L(\partial\Delta_n)=\varepsilon4^{-n}\operatorname{diam}(\Delta)L(\partial\Delta)$$
である。よって $|I(\Delta)|\leq4^n|I(\Delta_n)|\leq\varepsilon\operatorname{diam}(\Delta)L(\partial\Delta)$ であり、$\varepsilon$ は任意だから $I(\Delta)=0$ となって仮定に反する。
次に $p$ が $\Delta$ の頂点である場合を考える。$\Delta=[p,b,c]$ とし、辺 $[p,b]$ 上の点 $b'$ と辺 $[p,c]$ 上の点 $c'$ を $p$ の近くにとる。$\Delta$ は 3 つの三角形 $[p,b',c']$、$[b',b,c]$、$[b',c,c']$ に分けられ、後の 2 つは $p$ を含まないので積分は $0$ である。ゆえに $I(\Delta)=I([p,b',c'])$ であり、$f$ は $\Delta$ 上で連続だから有界（$|f|\leq M$）で、$|I(\Delta)|\leq ML(\partial[p,b',c'])$ である。$b',c'\to p$ とすれば右辺は $0$ に近づくので $I(\Delta)=0$ である。
最後に $p$ が $\Delta$ の頂点でなく $\Delta$ に属する場合、$\Delta=[a,b,c]$ を $[a,b,p]$、$[b,c,p]$、$[c,a,p]$ に分ければ（$p$ が辺上にあるときは 1 つが退化するが、退化した三角形の境界に沿う積分は往復で打ち消して $0$ である）、それぞれ $p$ を頂点に持つので前段により積分は $0$ であり、和も $0$ である。

$z_0\in U$ を固定し、$B(z_0,\delta)\subset U$ となる $\delta>0$ をとる。$|h|<\delta$ とすると、円板 $B(z_0,\delta)$ は凸なので線分 $[z_0,z_0+h]$ は $U$ に含まれ、$U$ が $a$ に関して星型なので線分 $[a,z_0]$、$[a,z_0+h]$ も $U$ に含まれる。さらに三角形 $[a,z_0,z_0+h]$ の内部の点は、$[z_0,z_0+h]$ 上の点と $a$ を結ぶ線分上にあるので $U$ に含まれる。仮定により
$$0=\oint_{\partial[a,z_0,z_0+h]}f\,d\zeta=F(z_0+h)-F(z_0)-\int_{[z_0,z_0+h]}f(\zeta)\,d\zeta$$
である（$[z_0+h,a]$ に沿う積分は $-F(z_0+h)$ である）。$\int_{[z_0,z_0+h]}d\zeta=h$ だから
$$\frac{F(z_0+h)-F(z_0)}{h}-f(z_0)=\frac1h\int_{[z_0,z_0+h]}\bigl(f(\zeta)-f(z_0)\bigr)d\zeta$$
であり、prop-cauchy-integral-theorem-basic の評価により右辺の絶対値は $\sup_{\zeta\in[z_0,z_0+h]}|f(\zeta)-f(z_0)|$ 以下である。$f$ は $z_0$ で連続だから、$h\to0$ のときこれは $0$ に収束する。ゆえに $F'(z_0)=f(z_0)$ である。

$U$ が $a$ に関して星型であるとする。$a$ を頂点とし $U$ に含まれる任意の三角形について、thm-cauchy-integral-theorem-goursat により境界に沿う $f$ の積分は $0$ である。したがって lem-cauchy-integral-theorem-primitive-from-triangles により $F(z)=\int_{[a,z]}f\,d\zeta$ が原始関数である。

prop-cauchy-integral-theorem-primitive-on-disc により $f$ は $U$ 上に原始関数 $F$ を持つ。prop-cauchy-integral-theorem-basic の微積分学の基本定理により $\oint_\gamma f\,dz=F(\gamma(\beta))-F(\gamma(\alpha))=0$ である。

$H([0,1]^2)$ はコンパクトで $U$ に含まれるから、各点のまわりに閉包が $U$ に含まれる円板を選び、有限部分被覆をとる。$H$ の一様連続性により正方形を十分細かい格子に分ければ、各小正方形の像はこの有限被覆の一つの円板に含まれる。各小正方形の向き付けられた境界を $H$ で写した閉曲線はその円板内にあり、thm-cauchy-integral-theorem-disc により $f$ の積分は $0$ である。全小正方形について足すと、内部の格子辺は互いに逆向きに二度現れて打ち消し合う。外周の左右の辺は閉曲線の基点をたどる同じ曲線を逆向きに進むので打ち消し合い、上下の辺だけが残る。したがって $\oint_{\gamma_1}f\,dz-\oint_{\gamma_0}f\,dz=0$ である。単連結性から得られる連続な縮約の像はコンパクトで、その像と $\mathbb{C}\setminus U$ の距離は正である。格子を十分細かくしてホモトピーを各小三角形上の区分的アフィン写像で一様近似すると、近似像はなお $U$ に含まれ、格子辺上で区分的に $C^1$ 級になる。境界では元の区分的に $C^1$ 級曲線と近似曲線の間を十分短い線分で結ぶ帯を加えれば端点を固定できる。したがって上の特別なホモトピーを選べ、$\gamma_1$ を定数曲線にとれば前半を得る。$\square$

1. $a\in U$ を固定する。$U$ は連結な開集合だから、任意の $z\in U$ に対し $a$ から $z$ に至る $U$ 内の区分的に滑らかな曲線（折れ線）$\gamma_z$ がある。$\gamma_z$ と $\gamma_z'$ を 2 つの選び方とすると、$\gamma_z$ の後に $\gamma_z'$ を逆向きにたどった曲線は $U$ 内の閉曲線であり、thm-cauchy-integral-theorem-simply-connected によりそれに沿う $f$ の積分は $0$ である。ゆえに $F(z):=\int_{\gamma_z}f\,d\zeta$ は曲線の選び方によらずに定まる。$z_0\in U$ と $B(z_0,\delta)\subset U$ をとり、$|h|<\delta$ に対し $\gamma_{z_0+h}$ として $\gamma_{z_0}$ の後に線分 $[z_0,z_0+h]$ をつないだものをとれば $F(z_0+h)-F(z_0)=\int_{[z_0,z_0+h]}f\,d\zeta$ であり、lem-cauchy-integral-theorem-primitive-from-triangles の証明の最後の計算と同じく $F'(z_0)=f(z_0)$ を得る。2 つの原始関数の差は導関数が $0$ の正則関数だから、連結な $U$ 上で定数である（正則関数 の記事の命題（導関数が消える正則関数））。
2. $g'/g$ は $U$ 上の正則関数だから、1 により原始関数 $L_0$ を持つ。$(ge^{-L_0})'=g'e^{-L_0}-gL_0'e^{-L_0}=(g'-g\cdot g'/g)e^{-L_0}=0$ なので $ge^{-L_0}$ は $U$ 上で $0$ でない定数 $c$ であり、$c=e^{b}$ となる $b\in\mathbb{C}$ をとって $L:=L_0+b$ とおけば $e^{L}=g$ である。$L'=L_0'=g'/g$ である。$e^{L_1}=e^{L_2}=g$ ならば $e^{L_1-L_2}=1$ より $L_1-L_2$ は $2\pi i\mathbb{Z}$ に値をとる連続関数で、$U$ は連結だから定数である。最後の主張は $g(z)=z$ の場合である。
3. 2 の $L$ に対し $h:=e^{L/n}$ とおけば $h^n=e^{L}=g$ である。

まず $\Omega$ が点 $1$ に関して星型であることを確かめる。$z\in\Omega$ とし、線分 $[1,z]$ 上の点 $1+t(z-1)$（$0\leq t\leq1$）が負の実軸 $(-\infty,0]$ に乗ったとする。虚部を見ると $t\operatorname{Im}z=0$ であり、$t=0$ なら点は $1\in\Omega$ で矛盾、$t\neq0$ なら $\operatorname{Im}z=0$ で $z\in\Omega$ から $z>0$、するとその線分は正の実軸上にあり負の実軸と交わらず矛盾である。ゆえに $[1,z]\subset\Omega$ である。
$1/z$ は $\Omega$ 上で正則だから、prop-cauchy-integral-theorem-primitive-on-disc により原始関数 $F(z):=\int_{[1,z]}d\zeta/\zeta$ を持ち、$F(1)=0$ である。$(ze^{-F(z)})'=e^{-F}-z\cdot(1/z)e^{-F}=0$ だから $ze^{-F(z)}$ は連結な $\Omega$ 上で定数で、$z=1$ での値 $1$ に等しい。ゆえに $e^{F(z)}=z$ である。
次に $F=\operatorname{Log}$ を示す。$e^{F(z)}=z$ より $\operatorname{Re}F(z)=\log|z|$ であり、$\operatorname{Im}F(z)$ は $z$ の偏角の 1 つである。したがって $\operatorname{Im}F(z)-\theta(z)\in2\pi\mathbb{Z}$ である。ここで $\theta(z)\in(-\pi,\pi)$ は $z$ の偏角の主値であり、$\Omega$ 上で連続である。実際、$\operatorname{Re}z>0$ の範囲では $\theta=\arctan(\operatorname{Im}z/\operatorname{Re}z)$、$\operatorname{Im}z>0$ の範囲では $\theta=\pi/2-\arctan(\operatorname{Re}z/\operatorname{Im}z)$、$\operatorname{Im}z<0$ の範囲では $\theta=-\pi/2-\arctan(\operatorname{Re}z/\operatorname{Im}z)$ であって、これら 3 つの開集合は $\Omega$ を覆い、重なりでは一致する。$F$ は正則ゆえ連続だから $\operatorname{Im}F-\theta$ は連結な $\Omega$ 上の $2\pi\mathbb{Z}$ 値連続関数であり、定数である。$z=1$ で $\operatorname{Im}F(1)=0=\theta(1)$ だからこの定数は $0$ であり、$F(z)=\log|z|+i\theta(z)=\operatorname{Log}z$ である。
一意性：$L$ が連続で $e^{L}=z$、$L(1)=0$ なら、同じ議論で $L-\operatorname{Log}$ は $2\pi i\mathbb{Z}$ 値の連続関数で $1$ で $0$ だから恒等的に $0$ である。