絶対近傍レトラクト

$Y$ を距離化可能空間、$A\subset Y$ を閉集合、$f\colon A\to\mathbb{R}^n$ を連続写像とし、$f=(f_1,\dots,f_n)$ と成分表示する。距離化可能空間は正規空間である（Mun00 Theorem 32.2）から、Tietze の拡張定理（Mun00 Theorem 35.1）により各 $f_i\colon A\to\mathbb{R}$ は連続写像 $F_i\colon Y\to\mathbb{R}$ に拡張できる。$F:=(F_1,\dots,F_n)\colon Y\to\mathbb{R}^n$ は各成分が連続なので連続であり、$F|_A=f$ である。よって $\mathbb{R}^n$ は AE である。AE が AR であることは prop-anr-extensor-implies-retract による。$n=0$ のとき $\mathbb{R}^0$ は一点空間であり、定値写像が拡張を与える。$\square$

$h\colon X\to Y$ を距離化可能空間 $Y$ への閉埋め込みとし、$A:=h(X)$ とおく。$f:=h^{-1}\colon A\to X$ は連続である。$X$ が AE なら $f$ は $F\colon Y\to X$ に拡張でき、$h\circ F\colon Y\to A$ は $A$ 上で $h\circ h^{-1}=\operatorname{id}_A$ なのでレトラクションである。ANE なら拡張 $F\colon U\to X$ が $A$ を含む開集合 $U$ 上で得られ、$h\circ F\colon U\to A$ がレトラクションとなるので $A$ は近傍レトラクトである。AR $\Rightarrow$ ANR は、レトラクトが近傍レトラクトであることから明らかである。$\square$

ANE $\Rightarrow$ ANR と AE $\Rightarrow$ AR は prop-anr-extensor-implies-retract である。
ANR $\Rightarrow$ ANE：thm-anr-embedding により、$X$ をノルム空間の凸集合 $K$ の閉集合とみなす。$K$ は距離化可能なので、$X$ が ANR であることから、$X$ を含む $K$ の開集合 $W$ とレトラクション $r\colon W\to X$ がある。いま $Y$ を距離化可能空間、$A\subset Y$ を閉集合、$f\colon A\to X$ を連続写像とする。$f$ を $K$ への写像とみなすと、thm-anr-dugundji により拡張 $G\colon Y\to K$ が存在する。$U:=G^{-1}(W)$ は $Y$ の開集合で、$G(A)=f(A)\subset X\subset W$ なので $A\subset U$ である。$F:=r\circ G|_U\colon U\to X$ は連続で、$a\in A$ に対し $F(a)=r(f(a))=f(a)$ である。よって $X$ は ANE である。
AR $\Rightarrow$ AE：上と同じ議論で $W=K$、$U=Y$ ととれる。$\square$

$X$ を ANR とし、prop-anr-extensor-characterization により ANE として扱う。以下 $Y$ は距離化可能空間、$A\subset Y$ は閉集合とする。$X$ の部分空間は距離化可能である。
(1) $V\subset X$ を開集合、$f\colon A\to V$ を連続写像とする。$f$ を $X$ への写像とみなすと、$A$ を含む開集合 $U\subset Y$ と拡張 $F\colon U\to X$ がある。$U':=F^{-1}(V)$ は $U$ の、したがって $Y$ の開集合で $A$ を含み、$F|_{U'}\colon U'\to V$ は $f$ の拡張である。よって $V$ は ANE、すなわち ANR である。
(2) $B\subset X$ を近傍レトラクト、$V\supset B$ を開集合、$r\colon V\to B$ をレトラクションとする。$f\colon A\to B$ に対し、(1) の $U'$ と $F|_{U'}\colon U'\to V$ をとり、$r\circ F|_{U'}\colon U'\to B$ とすれば、$a\in A$ で $r(F(a))=r(f(a))=f(a)$ である。よって $B$ は ANE である。
(3) $X$ を AR（したがって AE）、$B$ を $X$ のレトラクト、$r\colon X\to B$ をレトラクションとする。$f\colon A\to B\subset X$ の拡張 $F\colon Y\to X$ をとれば、$r\circ F\colon Y\to B$ が $f$ の拡張である。よって $B$ は AE、すなわち AR である。$\square$

$Y$ を距離化可能空間、$A\subset Y$ を閉集合とする。
(1) $X_1,\dots,X_n$ を ANR とする。有限個の距離化可能空間の直積は距離化可能である。$f=(f_1,\dots,f_n)\colon A\to X_1\times\cdots\times X_n$ に対し、各 $i$ について $A$ を含む開集合 $U_i$ と拡張 $F_i\colon U_i\to X_i$ をとる。$U:=U_1\cap\cdots\cap U_n$ は $A$ を含む開集合で、$F:=(F_1|_U,\dots,F_n|_U)$ は各成分が連続なので連続であり、$f$ を拡張する。よって直積は ANE、すなわち ANR である。
(2) $X_1,X_2,\dots$ を AR とする。可算個の距離化可能空間の直積は距離化可能である（Eng89 Theorem 4.2.2、距離化可能空間）。$f=(f_i)_i\colon A\to\prod_iX_i$ に対し、各 $f_i$ の拡張 $F_i\colon Y\to X_i$ をとり $F:=(F_i)_i$ とすれば、直積位相の普遍性により $F$ は連続で $f$ を拡張する。よって直積は AE、すなわち AR である。$\square$

AR $\Rightarrow$ 可縮な ANR：AR は ANR である（prop-anr-extensor-implies-retract）。thm-anr-embedding により $X$ をノルム空間の凸集合 $K$ の閉集合とみなし、レトラクション $r\colon K\to X$ をとる。$X$ が AR なら、一点空間への閉埋め込みを考えることにより $X\neq\emptyset$ でなければならない（空集合は空でない空間のレトラクトでない）。点 $k_0\in K$ をとると $G(k,t):=(1-t)k+tk_0$ は $K$ の凸性により $K$ に値をとり、ノルム空間の演算の連続性により連続である。$H(x,t):=r(G(x,t))$ は $X\times[0,1]\to X$ の連続写像で、$H(x,0)=r(x)=x$、$H(x,1)=r(k_0)$ は $x$ によらない。よって $X$ は可縮である。
可縮な ANR $\Rightarrow$ AR：$X$ を空でない可縮な ANR、$K\colon X\times[0,1]\to X$ を $K(x,0)=x$、$K(x,1)=x_0$ を満たす収縮とする。prop-anr-extensor-characterization により $X$ が AE であることを示せばよい。$Y$ を距離化可能空間、$A\subset Y$ を閉集合、$f\colon A\to X$ を連続写像とする。$X$ は ANE なので、$A$ を含む開集合 $V\subset Y$ と拡張 $F\colon V\to X$ がある。$A$ と $Y\setminus V$ は $Y$ の交わらない閉集合であり、$Y$ は正規空間なので、Urysohnの補題（Mun00 Theorem 33.1）により連続関数 $\varphi\colon Y\to[0,1]$ で $\varphi|_A=1$、$\varphi|_{Y\setminus V}=0$ となるものがある（$V=Y$ なら $\varphi\equiv1$ でよい）。$\psi:=\max(0,2\varphi-1)$ とおき、閉集合 $C_1:=\varphi^{-1}([0,\tfrac12])$、$C_2:=\varphi^{-1}([\tfrac12,1])$ を考える。$C_2\subset\varphi^{-1}((0,1])\subset V$ なので $C_2$ 上で $F$ が定義されている。
$$ G(y):=\begin{cases}x_0 & (y\in C_1),\\ K\bigl(F(y),\,1-\psi(y)\bigr) & (y\in C_2)\end{cases} $$
とおく。$C_1\cap C_2=\varphi^{-1}(\tfrac12)$ 上では $\psi=0$ なので第 2 式は $K(F(y),1)=x_0$ となり第 1 式と一致する。$C_1,C_2$ は $Y$ を覆う有限個の閉集合なので、貼り合わせの補題により $G\colon Y\to X$ は連続である。$a\in A$ では $\varphi(a)=1$、$\psi(a)=1$ なので $G(a)=K(F(a),0)=F(a)=f(a)$ である。よって $G$ は $f$ の $Y$ 全体への拡張であり、$X$ は AE、すなわち AR である。$\square$