有理数

任意の $(a,b)\in S$ について $ab=ba$ だから反射律が成り立つ。$ad=bc$ なら $cb=da$ なので対称律も成り立つ。
次に $(a,b)\sim(c,d)$ かつ $(c,d)\sim(e,f)$ とする。すなわち
$$ ad=bc,\qquad cf=de $$
である。第1式に $f$ を掛け、第2式に $b$ を掛けると
$$ adf=bcf=bde $$
を得る。$d\neq0$ であり整数環では零因子がないから $af=be$ である。従って $(a,b)\sim(e,f)$ であり、推移律も成り立つ。

仮定は
$$ ab'=a'b,\qquad cd'=c'd $$
を意味する。和について交差積を計算すると
$$ \begin{aligned} (ad+bc)b'd' &=adb'd'+bcb'd'\\ &=a'd'bd+b'c'bd\\ &=(a'd'+b'c')bd \end{aligned} $$
となる。第2行では第1項に $ab'=a'b$、第2項に $cd'=c'd$ を用いた。従って二つの和は同じ同値類を表す。
積についても
$$ (ac)b'd'=(ab')(cd')=(a'b)(c'd)=a'c'bd $$
なので同じ同値類を表す。符号を反転した等式は $(-a)b'=(-a')b$ である。さらに $a/b=a'/b'\neq0$ なら $a,a'\neq0$ であり、$ab'=a'b$ は $ba'=b'a$ とも書けるから $b/a=b'/a'$ である。

代表元独立性は直前の命題で示した。結合律、交換律、分配律は整数のそれぞれの法則から分母を通分して従う。例えば
$$ \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f} =\frac{adf+bcf+bde}{bdf} =\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right) $$
である。$a/b+(-a)/b=0/1$ であり、$a\neq0$ なら
$$ \frac{a}{b}\frac{b}{a}=\frac{1}{1} $$
だから、加法逆元と0でない元の乗法逆元が存在する。従って体の公理がすべて成り立つ。
写像 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$、$n\mapsto n/1$ は加法と乗法を保つ。また $n/1=m/1$ なら $n=m$ なので単射である。

$x=a/b$ とする。必要なら分子と分母の符号を同時に変えて $b>0$ とする。$g=\gcd(|a|,b)$ とおき、$a=gm$, $b=gn$ と書けば
$$ \frac{a}{b}=\frac{m}{n},\qquad n>0,\qquad \gcd(|m|,n)=1 $$
となる。$a=0$ なら $g=b$ として $m=0,n=1$ を得る。
一意性を示すため、$m/n=r/s$ が二つの標準形であるとする。すると $ms=rn$ である。$m$ と $n$ が互いに素だから、Euclidの補題により $n$ は $s$ を割る。同様に $r$ と $s$ が互いに素だから $s$ は $n$ を割る。$n,s>0$ より $n=s$、従って $m=r$ である。

$a/b=a'/b'$ とし、$b,b'>0$ とする。$ab'=a'b$ なので、任意の $c/d$、$d>0$ に対して
$$ ad< bc \quad\Longleftrightarrow\quad adb'< bcb' \quad\Longleftrightarrow\quad a'db< bcb' \quad\Longleftrightarrow\quad a'd< b'c $$
である。従って左側の代表元を替えても大小は変わらない。右側も同様である。
整数の三分律から、二つの有理数にはちょうど一つの $x< y$、$x=y$、$y< x$ が成り立つ。さらに $x< y$ なら共通の正分母で分子を比較できるため $x+z< y+z$ である。$0< x$ かつ $0< y$ なら正の分子・分母をもつ表示を選べるので $0< xy$ である。従って順序体の公理が成り立つ。

順序体は標数0である。実際、$1_F>0$ なので任意の正整数 $n$ について
$n1_F=1_F+\cdots+1_F>0$ であり、$n1_F\neq0$ である。そこで
$$ \iota\left(\frac{a}{b}\right):=(a1_F)(b1_F)^{-1} $$
と定められる。$a/b=c/d$ なら $ad=bc$ だから、$F$ 内でも
$(a1_F)(d1_F)=(b1_F)(c1_F)$ となり、$\iota$ は代表元によらない。定義から加法・乗法・順序を保つ。核は体 $\mathbb{Q}$ のイデアルであり、$1$ を0へ送らないから核は0、従って単射である。
一方、体準同型は $1$ を $1_F$ へ送るので、整数 $a$ を $a1_F$ へ、逆元 $1/b$ を $(b1_F)^{-1}$ へ送らなければならない。従って上の式以外の選択肢はなく、一意である。

分母を正にした整数の組 $(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$、$b>0$ を、高さ $|a|+b$ の小さい順に並べる。同じ高さをもつ組は有限個しかなく、任意の組は有限の高さをもつので、この手順ですべての組を列挙できる。各組を有理数 $a/b$ へ送れば $\mathbb{Q}$ の全射的な列挙を得る。重複を初出以外取り除けば $\mathbb{Q}$ を列として並べられるので高々可算である。
また整数の埋め込み $n\mapsto n/1$ は単射であり、$\mathbb{Q}$ は無限集合である。従って $\mathbb{Q}$ は可算無限である。

$x< y$ なら $y-x>0$ である。従って
$$ \frac{x+y}{2}-x=\frac{y-x}{2}>0, \qquad y-\frac{x+y}{2}=\frac{y-x}{2}>0 $$
である。同じ操作を得られた小区間に繰り返せば、互いに異なる有理数をいくらでも得られる。

実数のArchimedes性により、$n(y-x)>1$ を満たす正整数 $n$ を選べる。$nx$ より大きい最小の整数を $m$ とすると
$$ m-1\leq nx< m $$
である。従って $x< m/n$ であり、また
$$ m\leq nx+1< ny $$
だから $m/n< y$ である。よって $q=m/n$ とすればよい。

小数点以下 $n$ 桁で終わる小数は、ある整数 $A$ を用いて $A/10^n$ と書けるので有理数である。
$k$ 桁の数字列が循環する $0.\overline{d_1\cdots d_k}$ を $x$ とし、その数字列を整数 $D$ と読むと
$$ 10^k x-x=D $$
だから $x=D/(10^k-1)$ である。整数部分や循環しない有限の先頭部分があっても、有理数との和と $10$ の冪による積で表せるので有理数である。
逆に $a/b$ の筆算では、各段階の余りは $0,1,\ldots,|b|-1$ のいずれかである。余り0が現れれば小数表示はそこで終わる。余り0が現れなければ有限個の余りのどれかが再び現れ、その後の計算は同じ状態から繰り返されるので数字列が循環する。

もし $x^2=2$ を満たす有理数があれば、符号を除いて標準形 $x=m/n$、$n>0$、$\gcd(|m|,n)=1$ に書ける。すると
$$ m^2=2n^2 $$
であるから $m^2$ は偶数であり、$m$ も偶数である。$m=2r$ とおくと
$$ 4r^2=2n^2, \qquad n^2=2r^2 $$
となり、$n$ も偶数である。これは $m,n$ が互いに素であることに反する。

実数 $\sqrt2$ の小数第 $n$ 位以下を切り捨てた数を
$$ q_n:=\frac{\lfloor10^n\sqrt2\rfloor}{10^n} $$
とおく。$q_n$ は有理数であり
$$ 0\leq\sqrt2-q_n<10^{-n} $$
を満たす。$m,n\geq N$ なら
$$ |q_m-q_n| \leq|q_m-\sqrt2|+|\sqrt2-q_n| <2\cdot10^{-N} $$
だから $(q_n)$ はCauchy列である。
もしこの列が $\mathbb{Q}$ 内で有理数 $q$ に収束したなら、$\mathbb{R}$ 内でも $q_n\to q$ である。一方、上の評価から $q_n\to\sqrt2$ でもある。実数の極限は一意なので $q=\sqrt2$ となるが、直前の命題に反する。従って $(q_n)$ は $\mathbb{Q}$ 内で極限をもたない。