Archimedesの螺旋

極座標 $(r,\theta)$ の点の直交座標は $(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ である。$r=\theta$ なので、点は $(\theta\cos\theta,\ \theta\sin\theta)$ になる。
(1) $\theta=\dfrac\pi2$：$r=\dfrac\pi2$、点 $\left(0,\dfrac\pi2\right)$。
(2) $\theta=\pi$：$r=\pi$、点 $(-\pi,0)$。
(3) $\theta=\dfrac{3\pi}2$：$r=\dfrac{3\pi}2$、点 $\left(0,-\dfrac{3\pi}2\right)$。
(4) $\theta=2\pi$：$r=2\pi$、点 $(2\pi,0)$。$\theta=4\pi$：点 $(4\pi,0)$。
同じ方向（たとえば始線の方向）にもどるたびに、原点からの距離は $2\pi$ ずつ増える。曲線は一定の間隔で巻く渦巻きになる（図 1）。

$r=\theta$ の $0\le\theta\le2\pi$ の部分と、始線の上の線分（原点から $(2\pi,0)$ まで）で囲まれた部分（図 1 の青い部分）の面積は、極座標で表された図形の面積 の公式 $\dfrac12\displaystyle\int r^2\,d\theta$ で
$$ \frac12\int_0^{2\pi}\theta^2\,d\theta=\frac12\cdot\frac{(2\pi)^3}3=\frac{4\pi^3}3 $$
である（同記事の例「螺旋の 1 周目が掃く部分」と同じ計算）。1 周目の終わりの点 $(2\pi,0)$ までの距離 $2\pi$ を半径とする円の面積は $\pi(2\pi)^2=4\pi^3$ なので、面積の比は
$$ \frac{4\pi^3}3\mathbin{÷}4\pi^3=\frac13 $$
である。

$a=1$ とする。(1) 半径 $\pi$ の円と 1 周目の交点は $\theta=\pi$ の点 $(-\pi,0)$ だけである。(2) 始線から $\dfrac\pi2$ の方向（$y$ 軸の正の部分）と 1 周目の原点以外の交点は、原点から距離 $\dfrac\pi2$ の点 $\left(0,\dfrac\pi2\right)$ である。

$\dfrac{L_n}C$ と $\dfrac{U_n}C$ を、$n=6$、$12$、$24$、$100$、$1000$ で計算する。

たとえば $n=6$ では $L_6=\dfrac C{216}(0^2+1^2+\cdots+5^2)=\dfrac{55}{216}C$、$U_6=\dfrac C{216}(1^2+\cdots+6^2)=\dfrac{91}{216}C$ である。どの $n$ でも $\dfrac13=0.3333\ldots$ は 2 つの値の間にある。

$a=1$ とする。$m$ 周目（$2\pi(m-1)\le\theta\le2\pi m$）の点と原点を結ぶ線分が通る部分を $D^{(m)}$ とする。$D^{(1)}=D$ である。$D^{(m)}$ は、向き $\varphi=\theta-2\pi(m-1)$ の半直線の上で、原点から距離 $\theta$ までの線分を集めたものなので、極座標で表された図形の面積 の公式（1 周以内なので使える）により
$$ D^{(m)}\text{ の面積}=\frac12\int_{2\pi(m-1)}^{2\pi m}\theta^2\,d\theta=\frac{(2\pi)^3}6\bigl\{m^3-(m-1)^3\bigr\}=\frac{4\pi^3}3\bigl(3m^2-3m+1\bigr) $$
である。$m=1,2,3$ で $\dfrac{4\pi^3}3$、$\dfrac{28\pi^3}3$、$\dfrac{76\pi^3}3$。
各方向で $m$ 周目の線分は $m-1$ 周目の線分を含む（長さ $\varphi+2\pi(m-1)>\varphi+2\pi(m-2)$）ので、$D^{(m-1)}$ は $D^{(m)}$ に含まれる。$m-1$ 周目と $m$ 周目の間の部分は $D^{(m)}$ から $D^{(m-1)}$ を除いたもので、その面積は（$m\ge2$）
$$ \frac{4\pi^3}3\Bigl\{\bigl(3m^2-3m+1\bigr)-\bigl(3(m-1)^2-3(m-1)+1\bigr)\Bigr\}=\frac{4\pi^3}3\cdot6(m-1)=8\pi^3(m-1) $$
である。1 周目と 2 周目の間は $8\pi^3$ で、1 周目が囲む部分 $\dfrac{4\pi^3}3$ の $6$ 倍、2 周目と 3 周目の間は $16\pi^3$ で 1 周目と 2 周目の間の $2$ 倍、3 周目と 4 周目の間は $24\pi^3$ で $3$ 倍になる（図 4）。
$D^{(1)}$ と $D^{(2)}$ を合わせた面積を $\dfrac12\displaystyle\int_0^{4\pi}\theta^2\,d\theta$ で求めると、重なっている $D^{(1)}$ を 2 回数えてしまう。これは 極座標で表された図形の面積 の反例「螺旋を 2 周させる」で扱われている。

$a=1$、$\alpha=\dfrac\pi3$（$60^\circ$）とする（図 5）。
(1) 始線から $60^\circ$ の半直線と 1 周目の原点以外の交点は $P\left(\dfrac\pi3\cos\dfrac\pi3,\ \dfrac\pi3\sin\dfrac\pi3\right)=\left(\dfrac\pi6,\ \dfrac{\sqrt3\,\pi}6\right)\approx(0.5236,\ 0.9069)$ で、$OP=\dfrac\pi3$。
(2) $m=1$、$n=2$ として、$OQ':Q'P=1:2$ の点 $Q'$ をとる。$OQ'=\dfrac13\cdot\dfrac\pi3=\dfrac\pi9$。
(3) 半径 $\dfrac\pi9$ の円と 1 周目の交点は $\theta=\dfrac\pi9$（$20^\circ$）の点 $Q\left(\dfrac\pi9\cos\dfrac\pi9,\ \dfrac\pi9\sin\dfrac\pi9\right)\approx(0.3280,\ 0.1194)$ である。半直線 $OQ$ は始線と $20^\circ$ をなす。
(4) もう 1 本は、$m=2$、$n=1$ として半径 $\dfrac{2\pi}9$ の円をとれば、$\theta=\dfrac{2\pi}9$（$40^\circ$）の点が得られる。$0^\circ$、$20^\circ$、$40^\circ$、$60^\circ$ の 4 本の半直線で、角は 3 等分される。

$270^\circ$ の角を $2:3$ に分けると、$108^\circ$ と $162^\circ$ になる。

$a=1$ とする。$OP_{2\pi}=2\pi$、$OT=4\pi^2$ で、直角三角形 $OP_{2\pi}T$ の面積は
$$ \frac12\cdot2\pi\cdot4\pi^2=4\pi^3 $$
である。基準の円の面積 $\pi(2\pi)^2=4\pi^3$ に等しい（図 6）。一般に、半径 $\rho$ の円の面積 $\pi\rho^2$ は、直角をはさむ辺が $\rho$ と $2\pi\rho$（円周の長さ）の直角三角形の面積 $\dfrac12\rho\cdot2\pi\rho$ に等しい。thm-asp-area とあわせると、1 周目が囲む部分の面積 $\dfrac{4\pi^3}3$ は、この三角形の $\dfrac13$ である。

$r=\theta$ で $\theta$ を $-2\pi\le\theta\le2\pi$ まで動かす（$r<0$ の点は、向き $\theta$ と反対の方向に距離 $\lvert\theta\rvert$ の点と約束する）。$\theta=-t$（$t>0$）の点は
$$ (-t\cos(-t),\ -t\sin(-t))=(-t\cos t,\ t\sin t) $$
で、$\theta=t$ の点 $(t\cos t,\ t\sin t)$ を $y$ 軸で折り返した点である。曲線は $y$ 軸について対称な 2 本の枝からなる（図 7）。
ex-asp-trisect と同じく半径 $\dfrac\pi9$ の円をとると、曲線との交点は $\theta=\dfrac\pi9$ の点 $(0.3280,\ 0.1194)$ と、$\theta=-\dfrac\pi9$ の点 $(-0.3280,\ 0.1194)$ の 2 つになる。後者は始線から $160^\circ$ の方向にあり、これを選ぶと $60^\circ$ の角の 3 等分にならない。$\theta\ge0$ の約束が、lem-asp-mono の「ただ 1 点で交わる」を保証していた。
満たす性質：$r$ は $\theta$ に比例。満たさない性質：$\theta\ge0$。成り立たなくなること：lem-asp-mono の (1) と、それを使う thm-asp-divide の手順（交点が 1 つに決まらない）。

$r=\theta^2$（$0\le\theta\le2\pi$）でも、半径は $\theta$ について増加するので、1 周目が囲む部分が同じように定まる。
(1) 面積。極座標で表された図形の面積 の公式で、面積は $\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\theta^4\,d\theta=\dfrac{(2\pi)^5}{10}=\dfrac{16\pi^5}5$。1 周目の終わりの点までの距離 $(2\pi)^2=4\pi^2$ を半径とする円の面積は $\pi(4\pi^2)^2=16\pi^5$ なので、比は $\dfrac15$ で、$\dfrac13$ にならない（図 8）。
(2) 角の分割。$60^\circ$ の方向の点は距離 $\left(\dfrac\pi3\right)^2$ にある。この距離を $\dfrac13$ にした半径 $\dfrac13\left(\dfrac\pi3\right)^2$ の円と曲線の交点は、$\theta^2=\dfrac13\left(\dfrac\pi3\right)^2$ より $\theta=\dfrac1{\sqrt3}\cdot\dfrac\pi3$、すなわち約 $34.64^\circ$ の方向で、$20^\circ$ にならない。距離が角の 2 乗に比例するので、距離の $\dfrac13$ は角の $\dfrac1{\sqrt3}$ に移る。
満たす性質：$\theta\ge0$、半径は $\theta$ について増加。満たさない性質：半径が $\theta$ に比例。成り立たなくなること：thm-asp-area の比 $\dfrac13$ と、thm-asp-divide の分割の比。