pro-対象

$I$ が余フィルター圏であることと $I^{\mathrm{op}}$ がフィルター圏であることは同値であり、関手 $X\colon I\to\mathcal{C}$ を与えることと関手 $X^{\mathrm{op}}\colon I^{\mathrm{op}}\to\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ を与えることは同じである。したがって $\mathcal{C}$ の pro-対象と $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の Ind対象は同じデータである。射については、$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(Y_j,X_i)=\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X_i,Y_j)$ であるから、Ind対象の射の定義式
$$ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Ind}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}})}\bigl(Y^{\mathrm{op}},X^{\mathrm{op}}\bigr)=\varprojlim_{j\in J^{\mathrm{op}}}\ \varinjlim_{i\in I^{\mathrm{op}}}\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(Y_j,X_i)=\varprojlim_{j}\ \varinjlim_{i}\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X_i,Y_j) $$
の右辺は $\operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathcal{C})}(X,Y)$ に一致する。合成の定義も同じ代表の合成であるから、対象を対応させ射の向きを逆にする対応は圏の同型 $\operatorname{Pro}(\mathcal{C})\cong\operatorname{Ind}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}$ を与える。$\blacksquare$

関手圏の帰納極限は各対象ごとに $\mathbf{Set}$ で計算される（Mac98 V.3）ので、$h^{X}(T)=\varinjlim_i\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X_i,T)$ であり、$T$ についての関手性は後合成で与えられる。
$Y=(Y_j)_{j\in J}$ とする。$h^{Y}=\varinjlim_jh^{Y_j}$ は関手圏における帰納極限なので、帰納極限の普遍性により
$$ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}}\bigl(h^{Y},h^{X}\bigr)=\operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}}\Bigl(\varinjlim_jh^{Y_j},h^{X}\Bigr)\cong\varprojlim_j\operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}}\bigl(h^{Y_j},h^{X}\bigr) $$
である。各項には米田の補題（共変版：任意の関手 $F\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ に対し $\operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}}(h^{Z},F)\cong F(Z)$、自然変換 $\eta$ に $\eta_Z(\operatorname{id}_Z)$ を対応させる）を適用して
$$ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}}\bigl(h^{Y_j},h^{X}\bigr)\cong h^{X}(Y_j)=\varinjlim_i\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X_i,Y_j) $$
を得る。この同一視は $j$ について自然である。実際、$v\colon j\to j'$ に対し、$h^{Y_{j'}}\to h^{Y_j}$（$Y(v)$ との前合成）による引き戻しは、米田の同一視のもとで $h^{X}(Y(v))\colon h^{X}(Y_j)\to h^{X}(Y_{j'})$、すなわち $[f]\mapsto[Y(v)\circ f]$ に対応する。したがって
$$ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}}\bigl(h^{Y},h^{X}\bigr)\cong\varprojlim_j\ \varinjlim_i\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X_i,Y_j)=\operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathcal{C})}(X,Y) $$
である。この全単射は、$\varphi=(\varphi_j)_j$ に対して、$T\in\mathcal{C}$ と $[g\colon Y_j\to T]\in h^{Y}(T)$ に $[g\circ f]\in h^{X}(T)$（$f$ は $\varphi_j$ の代表）を対応させる自然変換 $h^{Y}\to h^{X}$ を与えるものであり、pro-対象の射の合成（代表の合成）が自然変換の合成に対応する。よって $X\mapsto h^{X}$ は関手 $\operatorname{Pro}(\mathcal{C})^{\mathrm{op}}\to\operatorname{Fun}(\mathcal{C},\mathbf{Set})$ であり、射の集合の上で全単射なので充満忠実である。$\blacksquare$

$c(0)$ が $\operatorname{Pro}(\mathbf{Ab})$ の零対象であることをまず確かめる。任意の pro-対象 $Y=(Y_j)_j$ に対し $\operatorname{Hom}(Y,c(0))=\varinjlim_j\operatorname{Hom}(Y_j,0)$ は一点集合の帰納極限で一点であり、$\operatorname{Hom}(c(0),Y)=\varprojlim_j\operatorname{Hom}(0,Y_j)$ も一点である。よって $c(0)$ は始対象かつ終対象である。
次に $\operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathbf{Ab})}(X,c(\mathbb{Z}))$ を計算する。定義により
$$ \operatorname{Hom}(X,c(\mathbb{Z}))=\varinjlim_n\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ab}}(p^n\mathbb{Z},\mathbb{Z}) $$
である。$p^n\mathbb{Z}$ は $p^n$ を生成元とする無限巡回群なので、$\operatorname{Hom}(p^n\mathbb{Z},\mathbb{Z})\to\mathbb{Z}$、$f\mapsto f(p^n)$ は群の同型である。推移写像は包含 $p^{n+1}\mathbb{Z}\hookrightarrow p^n\mathbb{Z}$ との前合成、すなわち制限 $f\mapsto f|_{p^{n+1}\mathbb{Z}}$ であり、$f(p^n)=a$ ならば $f(p^{n+1})=pf(p^n)=pa$ であるから、上の同一視のもとで推移写像は $p$ 倍写像 $\mathbb{Z}\xrightarrow{\ p\ }\mathbb{Z}$ である。ゆえに
$$ \operatorname{Hom}(X,c(\mathbb{Z}))\cong\varinjlim\bigl(\mathbb{Z}\xrightarrow{\ p\ }\mathbb{Z}\xrightarrow{\ p\ }\mathbb{Z}\xrightarrow{\ p\ }\cdots\bigr)\cong\mathbb{Z}[1/p] $$
であり（各段の $a$ を $a/p^n$ に送る写像が同型を与える。帰納極限の記事の「有理数と局所化」の例と同じ計算）、特に零でない。$X\cong c(0)$ ならば $\operatorname{Hom}(X,c(\mathbb{Z}))\cong\operatorname{Hom}(c(0),c(\mathbb{Z}))$ は一点集合でなければならないから、これは矛盾である。よって $X\not\cong c(0)$ である。$\blacksquare$

def-pro-object の式で $J=\{*\}$ とすると外側の射影極限は一点圏上の極限なので自明になり、第 1 の等式を得る。$I=\{*\}$ とすると内側の帰納極限が自明になり、第 2 の等式を得る。両方を一点圏にすると $\operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathcal{C})}(c(S),c(T))=\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(S,T)$ であり、この同一視のもとで $c$ が射に誘導する写像は恒等写像である。合成も代表の合成なので一致する。よって $c$ は射の集合の上で全単射、すなわち充満忠実である。$\blacksquare$

$u\colon i\to i'$ に対し $c(X(u))\circ\pi_i=[X(u)\circ\operatorname{id}_{X_i}]=[X(u)]$ であり、これは $[\operatorname{id}_{X_{i'}}\circ X(u)]=[\operatorname{id}_{X_{i'}}]=\pi_{i'}$ に等しい（類は推移射との前合成で不変）。よって $(\pi_i)_i$ は錐である。任意の pro-対象 $Y=(Y_j)_{j\in J}$ に対し、def-pro-object と prop-pro-object-fully-faithful により
$$ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathcal{C})}(Y,X)=\varprojlim_{i\in I}\ \varinjlim_{j\in J}\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y_j,X_i)=\varprojlim_{i\in I}\operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathcal{C})}(Y,c(X_i)) $$
であり、この同一視は $\varphi\mapsto(\pi_i\circ\varphi)_i$ で与えられる（$\pi_i\circ\varphi\colon Y\to c(X_i)$ の唯一の成分は、$\varphi_i$ の代表 $f$ に対して $[\operatorname{id}_{X_i}\circ f]=\varphi_i$ である）。すなわち、$Y$ から $X$ への射を与えることと、錐 $(Y\to c(X_i))_i$ を与えることは同じである。これは $X$ が極限であることの定義そのものである。$\blacksquare$

$\varphi\colon X\to Y=(Y_j)_{j\in J}$ を pro-対象の射とし、$p_i\colon\varprojlim X\to X_i$、$q_j\colon\varprojlim Y\to Y_j$ を射影とする。各 $j$ に対し $\varphi_j$ の代表 $f\colon X_i\to Y_j$ をとり、$g_j:=f\circ p_i\colon\varprojlim X\to Y_j$ とおく。別の代表 $f'\colon X_{i'}\to Y_j$ をとると、$u\colon k\to i$、$u'\colon k\to i'$ で $f\circ X(u)=f'\circ X(u')$ となるものがあり、$p_i=X(u)\circ p_k$、$p_{i'}=X(u')\circ p_k$ であるから $f\circ p_i=f\circ X(u)\circ p_k=f'\circ X(u')\circ p_k=f'\circ p_{i'}$ となり、$g_j$ は代表によらない。$v\colon j\to j'$ に対し $\varphi_{j'}=[Y(v)\circ f]$ なので $Y(v)\circ g_j=g_{j'}$ であり、$(g_j)_j$ は錐である。よって射影極限の普遍性からただ 1 つの射 $\varprojlim\varphi\colon\varprojlim X\to\varprojlim Y$ で $q_j\circ\varprojlim\varphi=g_j$ となるものが定まる。恒等射と合成を保つことは代表の合成の定義から明らかである。最後の同型は prop-pro-object-fully-faithful の第 2 の等式と射影極限の普遍性 $\varprojlim_i\operatorname{Hom}(T,X_i)=\operatorname{Hom}(T,\varprojlim_iX_i)$ から従う。$\blacksquare$

まず $\operatorname{Pro}(\mathcal{A})$ の射の集合はアーベル群である。実際 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X_i,Y_j)$ はアーベル群であり、アーベル群のフィルター帰納極限と射影極限は台集合の帰納極限・射影極限に群構造を入れたものである（帰納極限・射影極限の記事の加群の場合の構成）から、$\operatorname{Hom}_{\operatorname{Pro}(\mathcal{A})}(X,Y)$ はアーベル群であり、合成は双線型である。$c(0)$ が零対象であることは ex-pro-object-pnz の証明と同様である。$X\to c(0)\to X$ なる合成（零射）は、$i$ 成分が零射 $0\colon X_{i_0}\to X_i$ の類 $[0]$、すなわち群 $\varinjlim_k\operatorname{Hom}(X_k,X_i)$ の零元である族 $([0])_i$ である。
1 ⇒ 2：$X\cong c(0)$ ならば $\operatorname{id}_X$ は $X\to c(0)\to X$ に一致するので、各 $i$ について $[\operatorname{id}_{X_i}]=[0]$ が $\varinjlim_k\operatorname{Hom}(X_k,X_i)$ で成り立つ。類の定義により、ある $u\colon k\to i$、$u'\colon k\to i_0$ が存在して $\operatorname{id}_{X_i}\circ X(u)=0\circ X(u')=0$、すなわち $X(u)=0$ である。
2 ⇒ 1：各 $i$ に対し $u\colon k\to i$ で $X(u)=0$ となるものをとると、$[\operatorname{id}_{X_i}]=[\operatorname{id}_{X_i}\circ X(u)]=[X(u)]=[0]$ である。よって $\operatorname{id}_X=([\operatorname{id}_{X_i}])_i$ は零射 $X\to c(0)\to X$ に等しい。また $c(0)\to X\to c(0)$ は $c(0)$ の唯一の自己射 $\operatorname{id}_{c(0)}$ である。ゆえに $X\to c(0)$ は同型である。$\blacksquare$

$\varphi\colon(F_n)_n\to(G_n)_n$ を、$n$ 成分が包含写像 $F_{n+c}\hookrightarrow G_n$ の類 $\varphi_n:=[F_{n+c}\hookrightarrow G_n]$ である族と定める。$m\ge n$ に対し、推移射 $G_m\hookrightarrow G_n$ と $F_{m+c}\hookrightarrow G_m$ の合成は包含 $F_{m+c}\hookrightarrow G_n$ であり、これは $F_{n+c}\hookrightarrow G_n$ を推移射 $F_{m+c}\hookrightarrow F_{n+c}$ で前合成したものに等しいから、$[G_m\hookrightarrow G_n]\circ\varphi_m=\varphi_n$ となり、$\varphi$ は両立条件を満たす。同様に $\psi\colon(G_n)_n\to(F_n)_n$ を $\psi_n:=[G_{n+c}\hookrightarrow F_n]$ で定める。合成 $\psi\circ\varphi$ の $n$ 成分は、代表の合成 $F_{n+2c}\hookrightarrow G_{n+c}\hookrightarrow F_n$ の類であり、これは推移射 $F_{n+2c}\hookrightarrow F_n$ の類、すなわち $[\operatorname{id}_{F_n}]$ である。よって $\psi\circ\varphi=\operatorname{id}$ であり、同様に $\varphi\circ\psi=\operatorname{id}$ である。商についても、$F_{n+c}\subset G_n$ から誘導される全射 $M/F_{n+c}\to M/G_n$ と $G_{n+c}\subset F_n$ から誘導される全射 $M/G_{n+c}\to M/F_n$ で同じ議論を繰り返せばよい。合成 $M/F_{n+2c}\to M/G_{n+c}\to M/F_n$ は推移射 $M/F_{n+2c}\to M/F_n$ に等しいので、その類は恒等射の類である。$\blacksquare$

Artin–Reesの補題（AM69 Corollary 10.10）により、ある整数 $c\ge0$ が存在して、任意の $n\ge c$ で $N\cap I^nM=I^{n-c}(N\cap I^cM)$ が成り立つ。$F_n:=N\cap I^nM$、$G_n:=I^nN$ とおく。$G_n=I^nN\subset N\cap I^nM=F_n$ は明らかであり、特に $G_{n+c}\subset F_{n+c}\subset F_n$ である。他方 $F_{n+c}=I^{n}(N\cap I^cM)\subset I^nN=G_n$ である。よって lem-pro-object-interleaved の仮定が $M$ の代わりに $N$ をとって満たされ、2 つの同型を得る。最後の主張は prop-pro-object-limit-functor による。$\blacksquare$