主要部分の層

1. 局所化はテンソル積と交換するので、$T\otimes T:=\{t\otimes t'\}$ を積閉集合として $B'\otimes_AB'=(T\otimes T)^{-1}(B\otimes_AB)$ である。局所化は完全なので $B'\otimes_AB'\to B'$ の核は $(T\otimes T)^{-1}I$ で、$P^n_{B'/A}=(T\otimes T)^{-1}P^n_{B/A}$ となる。$t\in T$ について、$P^n_{B/A}$ の中で $1\otimes t=t\otimes1+\delta t$ であり $(\delta t)^{n+1}=0$ である。よって $t\otimes1$ を可逆にした環 $T^{-1}P^n_{B/A}$ の中で $1\otimes t=(t\otimes1)(1+u)$、$u:=(t\otimes1)^{-1}\delta t$ は冪零なので、$1\otimes t$ はすでに可逆である。したがって $(T\otimes T)^{-1}P^n_{B/A}=T^{-1}P^n_{B/A}$ である。

2. $V:=U\times_{\operatorname{Spec}A}U=\operatorname{Spec}(B\otimes_AB)$ は $X\times_SX$ の開集合で、$\Delta(U)$ は $V$ の中で $I$ が定める閉集合である。よって $\Delta^{(n)}\cap V=\operatorname{Spec}P^n_{B/A}$ である。$t\in B$ について $\Delta(D(t))=\Delta(U)\cap D(t\otimes1)$ なので、$D(t)$ 上の切断は $(P^n_{B/A})_{t\otimes1}$、すなわち左構造での局所化である。したがって $\mathcal{P}^n_{X/S}|_U$ は左 $B$ 加群 $P^n_{B/A}$ に対応する準連接層であり、1 によりこれは $D(t)$ ごとに $P^n_{B_t/A}$ と一致する。$\mathcal{P}^n_{X/S}(\mathcal{M})$ については、$p_2^*\mathcal{M}$ が $\operatorname{Spec}P^n_{B/A}$ 上で $P^n_{B/A}\otimes_BM$（右構造）に対応し、$p_1\colon\operatorname{Spec}P^n_{B/A}\to U$ が affine 射なので、その押し出しは左 $B$ 加群 $P^n_{B/A}(M)$ に対応する準連接層である。

1. $B\otimes_AB$ の元は $\sum_i(b_i\otimes1)(1\otimes b_i')$ と書けるので、$P^n_{B/A}(M)$ の元は $\sum_ib_i\cdot\bigl((1\otimes b_i')\otimes m_i\bigr)=\sum_ib_i\cdot d^n_M(b_i'm_i)$ の形の和である。

2. 完全性は $I^{n+1}\subset I^n$ から明らかである。$\xi\in I^n$ なら $(1\otimes b)\xi-(b\otimes1)\xi=\delta b\cdot\xi\in I^{n+1}$ なので、$I^n/I^{n+1}$ の上で左右の構造は一致し、$B\otimes_AB$ はそこに $(B\otimes_AB)/I=B$ を通して作用する。$I$ は $\delta b$ たちで生成されるので、$I^n/I^{n+1}$ は $B$ 加群として積 $\delta b_1\cdots\delta b_n$ の類で生成される。積写像 $(I/I^2)^{\otimes n}\to I^n/I^{n+1}$ は環が可換なので対称であり、$\operatorname{Sym}^n_B(I/I^2)\to I^n/I^{n+1}$ が全射になる。Kähler微分 の命題「対角線のイデアルによる構成」により $\delta b\mapsto db$ は同型 $I/I^2\cong\Omega_{B/A}$ を与える。

3. 2 で $n=1$ とすると $0\to\Omega_{B/A}\to P^1_{B/A}\xrightarrow{\mu}B\to0$ であり、$b\mapsto b\otimes1$ が左 $B$ 線形な切断を与える。$d^1(b)=b\otimes1+\delta b$ は $(b,db)$ に対応する。

4. $B=A[b_1,\dots,b_r]$ なら $\Omega_{B/A}$ は $db_1,\dots,db_r$ で生成され、$\operatorname{Sym}^n_B\Omega_{B/A}$ も有限生成である。2 の完全列と $n$ についての帰納法により $P^n_{B/A}$ は左構造で有限生成である。$b\otimes b'\mapsto b'\otimes b$ は $B\otimes_AB$ の自己同型で $I$ を保ち、左右の構造を入れ替えるので、右構造でも有限生成である。

テンソル積の右完全性により $B\otimes_AB=(C\otimes_AC)/(J\otimes C+C\otimes J)$ である。thm-principal-parts-polynomial の同一視 $C\otimes_AC=C[\xi]$ のもとで、$J\otimes C$ は $f_j(x)$ で、$C\otimes J$ は $f_j(y)=f_j(x+\xi)$ で生成される。よって $B\otimes_AB=B[\xi]/(f_j(x+\xi))_j$ であり、$\mu$ は $\xi\mapsto0$ なので $I$ は $(\xi)$ の像である。$I^{n+1}$ で割れば主張の式を得る。$\Lambda$ が有限なら、$B[\xi]/(\xi)^{n+1}$ は有限階数の自由 $B$ 加群で、割る部分加群は $\xi^\alpha f_j(x+\xi)$（$|\alpha|\le n$、$j\in\Lambda$）の有限個で生成される。

$B'\otimes_{A'}B'=(B\otimes_AB)\otimes_AA'$ であり、乗法写像は $\mu\otimes\mathrm{id}_{A'}$ である。$B'$ は $A'$ 加群として $b\otimes a'$ の形の元で生成され、$\delta(b\otimes a')=a'\,(\delta b\otimes1)$ なので、乗法写像の核 $I'$ は $I\otimes_AA'$ の像で生成されるイデアルであり、$I'^{n+1}$ は $I^{n+1}\otimes_AA'$ の像で生成される。テンソル積の右完全性により $(B\otimes_AB/I^{n+1})\otimes_AA'=(B'\otimes_{A'}B')/I'^{n+1}$ である。スキームの主張は、affine 開集合の上のこの同型が局所化と両立することから貼り合わせて得られる（EGA4 16.4.5、p. 19）。

$x$ の affine 近傍 $\operatorname{Spec}B$ をとり、$\mathfrak{n}\subset B$ を評価写像 $\mathrm{ev}\colon B\to k$ の核とする。左構造で $k\otimes_B(B\otimes_kB)\cong B$、$1\otimes(b\otimes b')\mapsto\mathrm{ev}(b)\,b'$ である。この同型で $\delta b$ は $b-\mathrm{ev}(b)\in\mathfrak{n}$ に写り、$\mathfrak{n}$ の元 $c$ は $c=c-\mathrm{ev}(c)$ と書けるので、$I$ の像は $\mathfrak{n}$、$I^{n+1}$ の像は $\mathfrak{n}^{n+1}$ である。右完全性により $k\otimes_BP^n_{B/k}\cong B/\mathfrak{n}^{n+1}$ であり、残る $B$ 加群構造は右構造から来たもので $B/\mathfrak{n}^{n+1}$ の自然な構造である。これに $\otimes_BM$ を施せば $M/\mathfrak{n}^{n+1}M$ を得る。$B/\mathfrak{n}^{n+1}$ は局所環なので $B_{\mathfrak{n}}/\mathfrak{n}^{n+1}B_{\mathfrak{n}}$ に等しく、$M/\mathfrak{n}^{n+1}M=\mathcal{M}_x/\mathfrak{m}^{n+1}\mathcal{M}_x$ である。

記号を軽くするため affine の場合に $P^1:=P^1_{B/A}$ と $B$ 加群 $M$ で書くが、以下の議論は右構造での分裂と $\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{M}$ しか使わないので、層 $\mathcal{P}^1_{X/S}$ と任意の $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{M}$ についてそのまま通る。prop-principal-parts-basic の 2 の完全列 $0\to I/I^2\to P^1\xrightarrow{\mu}B\to0$ は、右構造の構造射 $b\mapsto1\otimes b$ によって右 $B$ 加群として分裂する。分裂完全列は右構造での $\otimes_BM$ で完全なままなので、$0\to(I/I^2)\otimes_BM\to P^1(M)\to M\to0$ は完全である。$I/I^2$ の上では左右の構造が一致し $I/I^2=\Omega_{B/A}$ なので、核は $\Omega_{B/A}\otimes_BM$ である。$\pi=\mu\otimes\mathrm{id}$ は左 $B$ 線形で、$\pi(d^1_M(m))=m$ である。また$$d^1_M(bm)=(1\otimes b)\otimes m=(b\otimes1+\delta b)\otimes m=b\,d^1_M(m)+db\otimes m$$である。

2. $\sigma$ が左 $B$ 線形な切断なら、$\nabla:=d^1_M-\sigma$ は $\pi\circ\nabla=0$ より $\Omega_{B/A}\otimes M$ に値をもち、1 の式から $\nabla(bm)=b\nabla(m)+db\otimes m$ をみたすので接続である。逆に接続 $\nabla$ について $\sigma:=d^1_M-\nabla$ は $\sigma(bm)=b\,\sigma(m)$ をみたし、$\pi\circ\sigma=\mathrm{id}$ である。2 つの対応は互いに逆である。