Chebotarevの密度定理

前提知識: Frobenius元, Dedekindゼータ関数, 分解群と惰性群, 大域類体論

代数体の Galois 拡大 $L/K$ で分岐しない素イデアル $\mathfrak{p}$ には、Galois 群 $G$ の共役類として Frobenius元 の類 $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}$ が定まる。Chebotarevの密度定理（Chebotarev density theorem）は、$G$ の各共役類 $C$ について、$\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}=C$ となる素イデアルが「割合 $\lvert C\rvert/\lvert G\rvert$ で」現れることを主張する。割合は Dirichlet 密度 で測る。$K=\mathbb{Q}$、$L=\mathbb{Q}(\zeta_m)$ の場合が Dirichlet の算術級数定理（$a$ と $m$ が互いに素なら、$a\bmod m$ の素数の割合は $1/\varphi(m)$）であり、Chebotarev の定理はそれを非アーベル拡大にまで広げたものである。
この記事では、Dirichlet 密度を定義し、完全分解する素イデアルの密度が $1/[L:K]$ であることを Dedekindゼータ関数 の極だけから証明する。そのあと、アーベル拡大の場合を大域類体論の Artin 相互法則と $L$ 関数の性質に帰着させ、一般の場合を巡回部分群に移す議論で証明する。

定義

以下 $K$ を 代数体 とし、「素イデアル」は $\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアルを指す。素イデアル $\mathfrak{p}$ のノルムを $N\mathfrak{p}:=\lvert\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}\rvert$ と書き、$s$ は実数とする。

lem-cheb-primes により、分母を「すべての素イデアルにわたる和 $\sum_{\mathfrak{p}}N\mathfrak{p}^{-s}$」に替えても極限は変わらない（NSW20 Definition (9.1.2), p. 524 はこの形で定義している）。和 $\sum_{\mathfrak{p}\in M}N\mathfrak{p}^{-s}$ は $s>1$ で収束する（Dedekindゼータ関数 の記事の定理「収束と Euler 積」）。
$L/K$ を有限次 Galois 拡大、$G:=\operatorname{Gal}(L/K)$ とする。$L$ で分岐しない $\mathfrak{p}$ について、その上の素イデアル $\mathfrak{P}$ の Frobenius 元 $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$ の全体は $G$ の 1 つの共役類 $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}$ である（Frobenius元 の記事の命題「Frobenius元の基本性質」の 2）。$G$ の共役類 $C$ について
$$ P_{L/K}(C):=\{\mathfrak{p}\mid\mathfrak{p}\text{ は }L\text{ で分岐せず、}\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}=C\} $$
とおく。$C=\{1\}$ のとき、これは $L$ で完全分解する素イデアルのうち分岐しないものの集合で、分岐するものは有限個なので（代数体における素イデアルの分解 の記事の系「分岐する素イデアルは有限個」）、以下では完全分解する素イデアル全体 $\operatorname{Spl}(L/K)$ と区別しない。

直感

$\mathfrak{p}$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ ごとに Frobenius 元が 1 つずつ決まる。$L$ の素イデアル全体を見ると、「$\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}=\sigma$」となる $\mathfrak{P}$ の割合は $G$ のどの元 $\sigma$ についても等しく $1/\lvert G\rvert$ であろう、というのが定理の内容である。$\mathfrak{p}$ ごとに数えると共役類 $C$ の元の個数だけ重みが付くので $\lvert C\rvert/\lvert G\rvert$ になる。
$\sigma=1$ の場合（完全分解）は、$\zeta_L$ と $\zeta_K$ の極の比較だけで分かる（prop-cheb-split）。$G$ がアーベル群なら、Artin 相互法則により Frobenius 元はイデアルの類で決まるので、素イデアルがイデアル類に均等に分布すること（$L$ 関数の性質）に帰着する。一般の $\sigma$ では、$\sigma$ が生成する巡回部分群の固定体 $E$ に移ると $L/E$ はアーベル拡大になり、そこでの結果を $K$ に引き戻せばよい。

Dirichlet 密度の基本性質

$K$ の拡大体 $E$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ について、$\mathfrak{p}:=\mathfrak{q}\cap\mathcal{O}_K$ 上の剰余次数を $f(\mathfrak{q}\mid\mathfrak{p})$ と書く。

完全分解する素イデアル

主定理の証明

使う事実

法 $\mathfrak{m}$、$I_K^{\mathfrak{m}}$、$P_{K,\mathfrak{m}}$ は 大域類体論 の記事の節「Artin 相互法則」のとおりとする。

(B2) の証明は、CF67 Chapter VIII, Theorem 2 では Hadamard の不等式 $3+4\cos\omega+\cos2\omega\ge0$ と Landau の定理（$L(s,\chi)$ の全平面への解析接続を使う）により、Neu99 Chapter VII, Lemma (13.3) では射類体の存在（大域類体論）と $\zeta$ 関数の $L$ 関数への分解により零点を排除するもので、類体論の第二不等式 の証明が使った解析的な入力より一段深い。

一般化された Dirichlet の密度定理

アーベル拡大の場合

一般の場合

thm-cheb-main の証明。$\sigma\in C$ を 1 つとり、$f$ を $\sigma$ の位数、$E:=L^{\langle\sigma\rangle}$ とする。$L/E$ は Galois 群 $\langle\sigma\rangle$ の巡回拡大である。$Z(\sigma):=\{\tau\in G\mid\tau\sigma=\sigma\tau\}$ を中心化群とすると、$\lvert C\rvert=\lvert G\rvert/\lvert Z(\sigma)\rvert$ である。
段 1（$E$ の側の集合）。$E$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ で、$\mathfrak{p}:=\mathfrak{q}\cap\mathcal{O}_K$ が $L/K$ で分岐せず、$f(\mathfrak{q}\mid\mathfrak{p})=1$ で、$\operatorname{Frob}_{\mathfrak{q}}(L/E)=\sigma$ となるものの集合を $T$ とする。prop-cheb-abelian を $L/E$ に使うと $d_E(P_{L/E}(\{\sigma\}))=1/f$ である。$T$ はこの集合から、$L/K$ で分岐する素イデアルの上にあるもの（有限個）と $f(\mathfrak{q}\mid\mathfrak{p})\ge2$ のもの（prop-cheb-basic の 3 により密度 $0$）を除いたものなので、$d_E(T)=1/f$ である。
段 2（$L$ の素イデアルとの対応）。$\mathfrak{p}\in P_{L/K}(C)$ とし、$\mathfrak{p}$ の上の $L$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ で $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(L/K)=\sigma$ となるものの集合を $A_{\mathfrak{p}}$ とする。写像 $\mathfrak{P}\mapsto\mathfrak{P}\cap E$ は、$A_{\mathfrak{p}}$ から「$T$ の元で $\mathfrak{p}$ の上にあるもの」への全単射であり、この $\mathfrak{q}$ について $N\mathfrak{q}=N\mathfrak{p}$ である。

• $\mathfrak{P}\in A_{\mathfrak{p}}$ なら、分解群 $D_{\mathfrak{P}}(L/K)=\langle\sigma\rangle=\operatorname{Gal}(L/E)$（Frobenius元 の記事の命題「Frobenius元の基本性質」の 1）なので、$L/E$ での分解群も $\langle\sigma\rangle$ で、$f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{q})=f=f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$、よって $f(\mathfrak{q}\mid\mathfrak{p})=1$、$N\mathfrak{q}=N\mathfrak{p}$ である。$\sigma$ は剰余体に $x\mapsto x^{N\mathfrak{p}}=x^{N\mathfrak{q}}$ を引き起こすので $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(L/E)=\sigma$ であり、$\mathfrak{q}\in T$ である。
• 逆に $\mathfrak{q}\in T$ が $\mathfrak{p}$ の上にあり $\mathfrak{P}\mid\mathfrak{q}$ なら、$\sigma=\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(L/E)$ は剰余体に $x\mapsto x^{N\mathfrak{q}}=x^{N\mathfrak{p}}$ を引き起こすので $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(L/K)=\sigma$、$\mathfrak{P}\in A_{\mathfrak{p}}$ である。さらに $\mathfrak{q}$ の $L/E$ での分解群は $\langle\sigma\rangle=\operatorname{Gal}(L/E)$ 全体なので、$\mathfrak{q}$ の上の $L$ の素イデアルは $\mathfrak{P}$ だけである。よって写像は全射かつ単射である。

段 3（$A_{\mathfrak{p}}$ の個数）。$\mathfrak{P}_0\in A_{\mathfrak{p}}$ を 1 つとる（$\mathfrak{p}\in P_{L/K}(C)$ なので存在する）。$\mathfrak{p}$ の上の素イデアルは $\tau(\mathfrak{P}_0)$（$\tau\in G$）の形で、$\operatorname{Frob}_{\tau(\mathfrak{P}_0)}=\tau\sigma\tau^{-1}$ なので、$\tau(\mathfrak{P}_0)\in A_{\mathfrak{p}}$ は $\tau\in Z(\sigma)$ と同値である。$\tau(\mathfrak{P}_0)=\tau'(\mathfrak{P}_0)$ は $\tau^{-1}\tau'\in D_{\mathfrak{P}_0}=\langle\sigma\rangle\subset Z(\sigma)$ と同値なので、$\lvert A_{\mathfrak{p}}\rvert=\lvert Z(\sigma)\rvert/f$ である。
段 4（密度の計算）。段 2・段 3 から、$T$ の元はちょうど $P_{L/K}(C)$ の元の上にあり、各 $\mathfrak{p}$ の上に $\lvert Z(\sigma)\rvert/f$ 個ずつ、ノルム $N\mathfrak{p}$ で並ぶ。よって
$$ \sum_{\mathfrak{q}\in T}N\mathfrak{q}^{-s}=\frac{\lvert Z(\sigma)\rvert}{f}\sum_{\mathfrak{p}\in P_{L/K}(C)}N\mathfrak{p}^{-s} $$
である。段 1 から左辺を $\log\frac1{s-1}$ で割ったものは $1/f$ に収束するので、$P_{L/K}(C)$ は密度をもち
$$ d\bigl(P_{L/K}(C)\bigr)=\frac{f}{\lvert Z(\sigma)\rvert}\cdot\frac1f=\frac1{\lvert Z(\sigma)\rvert}=\frac{\lvert C\rvert}{\lvert G\rvert} $$
である。密度が正なので $P_{L/K}(C)$ は無限集合である（prop-cheb-basic の 1）。$\square$
段 1 でアーベル拡大の場合を使うのは巡回拡大 $L/E$ だけである。基礎体を $K$ から $E$ に取り替えるので、$E$ についての Artin 相互法則と $L$ 関数の性質が必要になる。

例

反例

補足

関連項目

• 前提: Frobenius元, Dedekindゼータ関数, 分解群と惰性群
• 比較: 類体論の第二不等式, Dirichletの算術級数定理
• 直後に読む: 大域類体論
• 発展: 類体論, Kronecker–Weberの定理