閉点

1 ⇒ 2：$x\in X$ とする。各 $y\neq x$ に対し、1 により $y$ を含み $x$ を含まない開集合 $U_y$ がある（1 で $x$ と $y$ の役割を入れ替える）。すると $X\setminus\{x\}=\bigcup_{y\neq x}U_y$ は開集合であり、$\{x\}$ は閉集合である。
2 ⇒ 3：有限部分集合は有限個の一点集合の和集合であり、閉集合の有限和は閉集合である。
3 ⇒ 1：$x\neq y$ とすると、$\{y\}$ は閉集合なので $X\setminus\{y\}$ は $x$ を含み $y$ を含まない開集合である。$\square$

$\{x\}$ が $X$ の閉集合なら、相対位相の定義により $\{x\}=\{x\}\cap U$ は $U$ の閉集合である。逆が成り立たない例は ex-closed-point-spec の 3 で挙げた。離散付値環のスペクトルの一般点 $(0)$ は、開集合 $\{(0)\}$ の中では閉点であるが、全体では閉点でない。$\square$

$V(\mathfrak{p})$ は閉集合で $\mathfrak{p}$ を含む。$\mathfrak{p}$ を含む任意の閉集合 $V(I)$ について、$\mathfrak{p}\in V(I)$ は $I\subset\mathfrak{p}$ を意味し、このとき $\mathfrak{q}\supset\mathfrak{p}$ なら $\mathfrak{q}\supset I$ なので $V(\mathfrak{p})\subset V(I)$ である。よって $V(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ を含む最小の閉集合、すなわち $\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ である。したがって $\mathfrak{p}$ が閉点であることは $V(\mathfrak{p})=\{\mathfrak{p}\}$、すなわち $\mathfrak{p}$ を含む素イデアルが $\mathfrak{p}$ 自身に限ることと同値である。$\mathfrak{p}$ が極大イデアルならこの条件を満たす。逆にこの条件が成り立つとき、$\mathfrak{p}$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ が存在し（$A/\mathfrak{p}\neq0$ が極大イデアルを持つこと、AM69 Theorem 1.3・Corollary 1.4。選択公理を用いる）、$\mathfrak{m}$ は素イデアルなので $\mathfrak{m}=\mathfrak{p}$ となり $\mathfrak{p}$ は極大である。$\square$

$X$ を空でない準コンパクトな $T_0$ 空間とし、$X$ の空でない閉集合全体 $\mathcal{F}$ を包含関係の逆で順序づける。$\mathcal{F}$ の鎖（全順序部分集合）$\mathcal{C}$ をとると、$\mathcal{C}$ の有限個の成員の共通部分はそのうち最小の成員に等しく空でないので、閉集合族 $\mathcal{C}$ は有限交叉性を持ち、準コンパクト性により $\bigcap\mathcal{C}\neq\emptyset$ である（開被覆 $\{X\setminus F\mid F\in\mathcal{C}\}$ が $X$ を覆えば有限部分被覆があり、対応する有限個の $F$ の共通部分が空になって矛盾する）。$\bigcap\mathcal{C}$ は $\mathcal{C}$ のすべての成員に含まれる空でない閉集合なので、鎖 $\mathcal{C}$ は $\mathcal{F}$ に上界を持つ（$\mathcal{C}=\emptyset$ のときは $X\in\mathcal{F}$ が上界である）。Zornの補題（選択公理と同値）により、$\mathcal{F}$ は包含に関して極小な元（極小元）$Z$ を持つ。$x\in Z$ をとると $\overline{\{x\}}$ は $Z$ に含まれる空でない閉集合なので、極小性から $\overline{\{x\}}=Z$ である。$Z$ が二点 $x\neq y$ を含むとすると、$T_0$ 性により一方だけを含む開集合 $U$ があり、$x\in U$ としてよい。すると $Z\setminus U$ は $y$ を含む空でない閉集合で $Z$ に真に含まれ、極小性に反する。よって $Z=\{x\}$ であり、$x$ は閉点である。$\square$

prop-closed-point-existence により、スキームの底空間が $T_0$ であることを示せばよい。まず $\operatorname{Spec}A$ は $T_0$ である。実際、$\mathfrak{p}\neq\mathfrak{q}$ なら $\mathfrak{p}\not\subset\mathfrak{q}$ または $\mathfrak{q}\not\subset\mathfrak{p}$ であり、たとえば $f\in\mathfrak{p}\setminus\mathfrak{q}$ をとると、開集合 $D(f):=\operatorname{Spec}A\setminus V((f))$ は $\mathfrak{q}$ を含み $\mathfrak{p}$ を含まない。次に $X$ をスキーム、$x\neq y$ をその点とする。$x$ を含むアフィン開集合（アフィンスキームと同型な開部分スキーム）$U\cong\operatorname{Spec}A$ をとる。$y\notin U$ なら $U$ が $x$ だけを含む開集合である。$y\in U$ なら、$U$ が $T_0$ なので $U$ の開集合で一方だけを含むものがあり、それは $X$ の開集合でもある。よって $X$ は $T_0$ である。$\operatorname{Spec}A$ は準コンパクトであり（AM69 Chapter 1, Exercise 17）、$A\neq0$ なら空でないので閉点を持つ。この場合の閉点は prop-closed-point-spec により極大イデアルであり、その存在は AM69 Theorem 1.3 でも直接示される。$\square$