パラメータ系

$\mathfrak m=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。1なら各 $u_i$ のある正冪 $u_i^{n_i}$ が $I$ に入る。$N=1+\sum_i(n_i-1)$ とすれば、次数 $N$ の各生成単項式はどれかの $u_i$ を $n_i$ 回以上含むため、$\mathfrak m^N\subset I$。$s=0$ では $\mathfrak m=0$ なので $N=1$ でよい。
2なら $A/I$ を $\mathfrak m$ の冪でフィルターする。各因子は $\mathfrak m$ により零化される有限生成加群だから、剰余体 $k=A/\mathfrak m$ 上の有限次元ベクトル空間である。因子は有限個なので、基底を一本ずつ加える列を合わせれば有限組成列となり、3を得る。
3なら全ての単純因子は $k$ である。実際、単純 $A$ 加群の非零元は全体を生成し、核は極大イデアルで、局所環ではそれは $\mathfrak m$ だけである。長さ $l$ の組成列に対して、$\mathfrak m$ を掛けると少なくとも一段下へ入るから $\mathfrak m^l(A/I)=0$。よって2へ戻る。
2から1は $I\subset\mathfrak m$ と $\sqrt{\mathfrak m^N}=\mathfrak m$ から従う。1なら $I$ を含む素イデアルは $\mathfrak m$ だけなので4。4なら商の唯一の極大イデアルの下に真の素イデアルを置けないので、唯一の素イデアルは $\mathfrak m/I$ である。根基はそれを含む素イデアルの交叉だから1となる。この根基の記述は次節で証明する。
最後に $ab\in I$ かつ $a\notin I$ とする。$b\notin\mathfrak m$ なら $b$ は単元なので $a\in I$ となり矛盾する。従って $b\in\mathfrak m=\sqrt I$ であり、$b$ のある冪が $I$ に入る。これが準素性である。$\square$

$a\notin\sqrt I$ とする。$I$ を含み積閉集合 $\{1,a,a^2,\ldots\}$ と交わらないイデアルを包含で並べる。鎖の和は再びこの条件を満たすので、Zornの補題で極大なもの $P$ がある。$uv\in P$、$u,v\notin P$ なら、$P+(u)$ と $P+(v)$ はそれぞれ積閉集合に交わる。等式 $a^i=p+cu$、$a^j=q+dv$ を掛けると $a^{i+j}\in P$ となり矛盾する。従って $P$ は素で、$I\subset P$、$a\notin P$。逆に $a$ の冪が $I$ に入れば、全ての該当素イデアルは $a$ を含む。これで交叉の等式を得る。
Noether環のスペクトルでは閉集合の下降列は停止する。閉集合 $V(J_n)$ の下降列は根基イデアルの上昇列に対応し、Noether条件で停止するからである。閉集合が有限個の既約閉集合の和として書けないと仮定し、そういう閉集合の極小なもの $Z$ を取る。$Z$ が既約なら既に一個で書ける。既約でなければ $Z=Z_1\cup Z_2$ と真の閉部分へ分かれ、極小性から両方は有限個で書けて矛盾する。
既約閉集合 $V(J)$ の根基は素である。$uv$ が根基に入ると $V(J)\subset V(u)\cup V(v)$、既約性により片方に含まれ、根基の交叉表示から $u$ または $v$ が根基に入る。逆に素イデアルの閉集合は、その素イデアル自身が属することを使うと既約である。従って $V(I)$ は有限個の素イデアル $P_i$ の閉集合の和となる。包含で冗長な成分を捨てれば、これらは $I$ 上の極小素に一致する。任意の点はこの和のどれかに属するので、最後の主張も得る。$\square$

ある $P_i$ が他の $P_j$ に含まれるとき、和集合では小さい方を除いてよい。従って互いに包含しない素イデアルだけを残す。各 $i$ について $b_i\in L\setminus P_i$ を選び、$j\ne i$ ごとに $a_{ij}\in P_j\setminus P_i$ を選ぶ。$c_i=b_i\prod_{j\ne i}a_{ij}$ は $L$ に入り、$P_i$ には入らず、他の全ての $P_j$ には入る。従って $c=\sum_i c_i$ は、$P_i$ を法として $c_i$ に等しく、どの $P_i$ にも入らない。$s=1$ の積は空積、$s=0$ の場合は回避条件が空なので零を選べる。$\square$

$\dim A/P>0$ である極小素 $P$ だけを取る。このような $P$ は $\mathfrak m$ と異なるため、$\mathfrak m$ はそのどれにも含まれない。前の回避補題で、これら全てを避ける $x\in\mathfrak m$ を選ぶ。
$x$ を含む素イデアルの鎖 $Q_0\subsetneq\cdots\subsetneq Q_l$ を取る。$Q_0$ の下に極小素 $P$ がある。$\dim A/P=0$ なら局所環では $P=\mathfrak m$ であり、鎖は長さ零である。正の次元の成分なら $x\notin P$、$x\in Q_0$ だから $P\subsetneq Q_0$。鎖の下へ $P$ を追加でき、$l+1\le d$、従って $l\le d-1$。$d>0$ なので零長さの枝もこの上界を満たす。全鎖について上界が成立し、結論を得る。$\square$

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ なら有限生成性は自明である。以下 $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。ここで $N=0$ なら $c=0$ とすれば結論は直ちに成立する。以下 $N\ne0$ とし、これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性が次の長さ評価の反復を可能にする。

$d$ に関して帰納する。$d=0$ では $R/\mathfrak m^n$ が剰余体に全射するので $\chi_R(n)\ge1$ である。
$d>0$ とし、鎖を $\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_d$ と書く。$R/\mathfrak p_0$ への全射は各極大イデアルの冪による商にも全射を与える。従って商の長さを下から評価すれば元の長さも下から評価される。そこで $C_0=R/\mathfrak p_0$ と置き、局所整域の場合へ移る。その極大イデアルを $\mathfrak n$ と書く。$\mathfrak p_1/\mathfrak p_0$ から非零元 $z$ を選ぶ。$D=C_0/(\mathfrak p_1/\mathfrak p_0)$ には長さ $d-1$ の鎖が残るので、帰納によりある $c_1>0$ について $\chi_D(n)\ge c_1n^{d-1}$ が十分大きい $n$ で成り立つ。
完全列による長さの加法性から
$$\chi_{C_0}(n)=\operatorname{length}C_0/(zC_0+\mathfrak n^n)+\operatorname{length}zC_0/(zC_0\cap\mathfrak n^n).$$
第一項の商は $D/\mathfrak m_D^n$ に全射するので $\chi_D(n)$ 以上である。第二項では固定部分加群 $zC_0\subset C_0$ にArtin–Reesを適用する。ある固定整数 $a\ge1$ について、すべての十分大きい $n$ で
$$zC_0\cap\mathfrak n^n\subset z\mathfrak n^{n-a}$$
となる。$z$ は整域の非零元だから消去でき、
$$(\mathfrak n^n:z)\subset\mathfrak n^{n-a}$$
を得る。従って第二項は $\chi_{C_0}(n-a)$ 以上である。以上より
$$\chi_{C_0}(n)\ge\chi_{C_0}(n-a)+c_1n^{d-1}$$
が十分大きい $n$ で成立する。
この不等式を $n,n-a,n-2a,\ldots$ について反復する。$n$ が十分大きければ、少なくとも $n/(3a)$ 個の項について引数は $n/2$ 以上に保てる。従って
$$\chi_{C_0}(n)\ge\frac{c_1}{3a\,2^{d-1}}n^d.$$
各帰納段階で用いた $a$ は $n$ に依存しない。これで帰納が閉じる。
この証明は実際に与えられた有限鎖から下界を得た。次元が有限であること、Hilbert多項式の次数が次元に等しいこと、主イデアル定理のいずれも仮定していない。

$\mathfrak m$ の有限生成元を $v_1,\ldots,v_s$ とする。各 $v_i$ の適当な正整数冪は $I$ に属する。十分高い次数の $v_i$ の単項式は、そのいずれかの冪を因子にもつので $I$ に入る。従ってある $h$ について $\mathfrak m^h\subset I$ である。$R/I$ は $R/\mathfrak m^h$ の商なので有限長である。
$I^j/I^{j+1}$ は、$u_1,\ldots,u_r$ の総次数 $j$ の単項式で生成される。その個数は $\binom{j+r-1}{r-1}$ である。また $I$ はこの商を零化するから、対応する個数の $R/I$ の直和から全射がある。従って
$$\operatorname{length}(I^j/I^{j+1})\le L\binom{j+r-1}{r-1}.$$
$R/I^n$ の有限フィルトレーションに長さの加法性を適用し、$j=0,\ldots,n-1$ について和を取ると
$$\operatorname{length}(R/I^n)\le L\binom{n+r-1}{r}.$$
$I^n\subset\mathfrak m^n$ なので $R/I^n$ は $R/\mathfrak m^n$ に全射する。これで主張を得る。

長さ $l$ の任意の厳密素鎖に対して、前の成長下界は $\ell(A/\mathfrak m^n)\ge Cn^l$ を十分大きい $n$ で与える。一方 $I^n\subset\mathfrak m^n$ なので $A/I^n\twoheadrightarrow A/\mathfrak m^n$。長さ上界は $r\ge1$ の場合 $\ell(A/I^n)\le L\binom{n+r-1}{r}=O(n^r)$ を与える。従って $l>r$ なら矛盾する。全鎖の長さは $r$ 以下である。$r=0$ では $I=0$ かつ $\sqrt0=\mathfrak m$ なので唯一の素は $\mathfrak m$、次元は零である。$\square$

$d=0$ なら唯一の素が極大イデアルなので $\sqrt0=\mathfrak m$、空列がパラメータ系である。$d>0$ では次元切断の補題で $x_1$ を選ぶ。商の次元 $e$ は $d-1$ 以下であり、帰納法で商の $e$ 元のパラメータ系を選び、元の極大イデアルへ持ち上げる。この $e+1$ 元のイデアルの根基は $\mathfrak m$ となる。
局所次元上界より $d\le e+1$。先の $e\le d-1$ と合わせると $e=d-1$ であり、ちょうど $d$ 元が得られる。さらに任意の極大根基イデアルの生成元数 $s$ には $d\le s$ が成り立ち、今得た系は $d$ 元なので最小値は $d$。この証明は、上界を得る前に次元切断の等号を仮定していない。$\square$

$e=\dim A/J$ とする。商はNoether局所環で次元は有限なので、存在定理により $e$ 元のパラメータ系を持つ。それを持ち上げた $y_1,\ldots,y_e$ と $x_1,\ldots,x_r$ を合わせたイデアルは、商で極大根基であることから元環でも根基が $\mathfrak m$ になる。局所次元上界を適用して $\dim A\le r+e$。これが求める不等式である。$\square$

1なら商は次元 $d-r$ のNoether局所環であり、存在定理でそのパラメータ系を取って持ち上げれば2となる。
2とし、$B=A/(x_1,\ldots,x_r)$ とする。追加の $d-r$ 個の元が $B$ の極大イデアルを根基にもつので、局所次元上界より $\dim B\le d-r$。反対の不等式は直前の次元下界であり、等号を得る。初期部分にはこの2が成立するので1も成立する。
並べ替えは全生成イデアルを変えない。正冪への取替えについて、$\sqrt{(x_1^{n_1},\ldots,x_d^{n_d})}=\sqrt{(x_1,\ldots,x_d)}$ である。各正冪が元のイデアルに入る包含と、各 $x_i$ の冪が新イデアルに入る反対包含から従う。よって全系の性質は保たれる。正則列の非局所の並べ替え問題と、この根基による主張とは別である。$\square$

局所化前の環の元は一意に $f(Y)+cX$ と書ける。$X^2$ と $XY$ を零にする関係によりこの形へ整理でき、残る単項式 $1,Y,Y^2,\ldots,X$ は商の $k$ 基底なので一意である。従って $X\ne0$。極大イデアルの外の多項式 $g(Y)+cX$ の $X$ への積は $g(0)X$ であり、$g(0)\ne0$ なので $X$ は局所化でも消えない。関係 $yx=0$ から $y$ は零因子である。
全ての素イデアルは冪零元 $x$ を含み、これを殺した環は $k[Y]_{(Y)}$ である。この一変数局所環の素は零と $(Y)$ だけである。$k[Y]$ の非零素は既約多項式による主イデアルで、$(Y)$ に含まれるものは $(Y)$ 自身だけだからである。従って $\dim A=1$。
$A/yA\cong k[X]/(X^2)$ は $k$ 基底 $1,x$ をもち、局所化しても変わらない。その長さは二で、根基は $\mathfrak m$ となる。よって一元列 $(y)$ は一次元のパラメータ系だが正則でない。さらに任意の $a\in\mathfrak m$ は $x$ を殺すので非零因子はなく、この環の深さは零である。$\square$