Macaulayの非混合性定理

前提知識: Cohen–Macaulay環, 正則列, 素イデアルの高さ, 随伴素イデアル, 正則元による次元の低下

ネーター環で $r$ 個の方程式が切り出す図形は、どの成分も余次元が $r$ 以下である（Krullの高さ定理：$r$ 個の元で生成されるイデアルを含む極小な素イデアルの高さは $r$ 以下）。余次元がちょうど $r$ のとき、つまり方程式の数がちょうど「足りている」とき、図形はさらに良い形をしているだろうか。一般のネーター環ではそうとは限らず、余次元 $r$ の成分の中に、もっと小さい「埋め込まれた」成分が隠れることがある。Macaulayの非混合性定理は、Cohen–Macaulay 環ではこれが起こらないと主張する（thm-unm-main）。

ネーター環 $A$ がCohen–Macaulay環なら、$r$ 個の元で生成され高さが $r$ のイデアル $I$ は非混合である。すなわち $A/I$ の随伴素イデアルはどれも $I$ を含む極小な素イデアルで、高さはすべて $r$ である。逆に、すべての $r\ge0$ についてこの性質が成り立つネーター環は Cohen–Macaulay 環である。
局所環ではこの定理は次の判定（thm-unm-height-regular）と表裏一体である。Cohen–Macaulay 局所環 $R$ の極大イデアルの元 $f_1,\ldots,f_r$ がこの順に $R$ 正則列であることと、$\operatorname{ht}(f_1,\ldots,f_r)=r$ であることは同値である。列が正則かどうかが、生成するイデアルの高さという順序によらない量だけで決まる。
体上の多項式環の場合は Macaulay が 1916 年に、正則局所環の場合は I. S. Cohen が 1946 年に証明した。Cohen–Macaulay 環という名前はこの定理に由来する（Mat89 §17、p. 137）。

定義と記号

環は単位元をもつ可換環、局所環は零環でないものとする。ネーター環 $A$ の真のイデアル $I$ について、$A$ 加群 $A/I$ の随伴素イデアルの集合 $\operatorname{Ass}_A(A/I)$ を $I$ の随伴素イデアルと呼び、そのうち $I$ を含む素イデアルの中で極小でないものを埋込随伴素と呼ぶ（埋込随伴素）。

$I=(a_1,\ldots,a_r)$ で $\operatorname{ht}I=r$ のとき、$I$ を含む極小な素イデアル $P$ は、高さの定義から $\operatorname{ht}P\ge\operatorname{ht}I=r$、Krullの高さ定理 の定理「Krullの一般高さ定理」から $\operatorname{ht}P\le r$ をみたし、高さはちょうど $r$ である。埋込随伴素 $Q$ はある極小な $P$ を真に含むので $\operatorname{ht}Q>r$ である。したがってこの場合、$I$ が非混合であることと、$I$ が埋込随伴素をもたないことは同値である。
Cohen–Macaulay（以下 CM と書く）について、Cohen–Macaulay環 の定義と結果を次の形で使う。ネーター局所環 $(R,\mathfrak m)$ が CM であるとは $\operatorname{depth}R=\dim R$ であることをいい、ネーター環 $A$ が CM であるとは、すべての素イデアル $P$ で $A_P$ が CM 局所環であることをいう。有限 $R$ 加群 $M\neq0$ が CM であるとは $\operatorname{depth}M=\dim M$ であることをいう。

• (C1) CM 局所環 $R$ のすべての素イデアル $P$ について $\dim R=\dim R_P+\dim R/P$ が成り立つ（Cohen–Macaulay環 の定理「埋込素がなく、局所的に等次元」）。
• (C2) $x\in\mathfrak m$ が有限 $R$ 加群 $M\neq0$ 上の非零因子なら、$M$ が CM であることと $M/xM$ が CM であることは同値である（同じ記事の補題「正則元による深さ降下と CM 商」）。
• (C3) CM 加群 $M$ の随伴素イデアル $P$ はすべて $\dim R/P=\dim M$ をみたし、$\operatorname{Supp}M$ の極小元である（Ischebeckの補題 の系「Cohen–Macaulay 加群の随伴素」）。
  イデアル $I$ による商 $R/I$ は、$R$ 加群としても環としても次元と深さが同じなので（台は $V(I)$ と $\operatorname{Spec}R/I$ で対応し、$\mathfrak m$ の元は $R/I$ に像を通して作用する）、$R$ 加群として CM であることと CM 局所環であることは同じである。$\operatorname{ht}P=\dim A_P$ であること（素イデアルの高さ の定理「高さと局所次元」）も断らずに使う。

CM局所環の高さの公式

CM でないネーター局所環では、一般には $\operatorname{ht}I+\dim R/I\le\dim R$ しか成り立たない（たとえば下の反例の節の 2 行目の環 $R=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,yz)$ と極小素イデアル $P=(x,y)$ では $\operatorname{ht}P+\dim R/P=0+1<2=\dim R$ である）。局所環であることも外せない（下の反例の節）。

高さによる正則列の判定

並べ替えについては、ネーター局所環の極大イデアルの元からなる正則列はどう並べ替えても正則列であることが、CM を仮定せずに知られている（正則列 の定理「局所環での置換」）。CM 性が本当に効くのは 2・3 ⇒ 1 の向き、すなわち高さや次元という数だけから正則性が出る点である。CM を外すとこれは崩れる（下の反例の節）。

これは Mat89 Theorem 17.4 (i)（p. 135）の前半にあたり、thm-unm-height-regular は同じ定理の (iii)（pp. 135–136）にあたる。

非混合性定理

証明の両方向で、高さが 1 ずつ上がる元の列を選ぶ次の補題を使う。CM 性は使わない。

この定理は Mat89 Theorem 17.6（pp. 136–137）である。局所環 $(R,\mathfrak m)$ で 2 ⇒ 1 を使うときは $P=\mathfrak m$ だけを見ればよく、パラメータ系を高さが一つずつ上がるように選んで、非混合性からそれが正則列になることを確かめる議論になっている。
加群の場合。 $M$ が CM 加群なら、(C3) により $M$ の随伴素イデアルはすべて台の極小元で、$\dim R/P=\dim M$ をみたす。これは $r=0$ の非混合性の加群版にあたる。

例

反例

1 行目。 $\sqrt{(x^2,xy)}=(x)$ なので $B$ の素イデアルは $(x)$ と $\mathfrak m=(x,y)$ で、$\dim B=1$ である。$(y)$ を含む素イデアルは $\mathfrak m$ だけなので $\operatorname{ht}(y)=\dim B_{\mathfrak m}=1$ である。しかし $y\cdot x=0$ で、ex-unm-embedded と同じ計算から $x\neq0$ なので、$y$ は零因子であり長さ 1 の正則列ではない。$\mathfrak m$ のどの元も $x$ を零にするので $\operatorname{depth}B=0<1=\dim B$ で、$B$ は CM でない。
2 行目。 $(xz,yz)=(z)\cap(x,y)$ なので $R$ は被約で、極小素イデアルは $(z)$ と $(x,y)$、$\dim R=2$ である（Cohen–Macaulay環 の例「平面と直線の和はCMでない」）。$x+z$ の像は $R/(z)\cong k[x,y]_{(x,y)}$ では $x\neq0$、$R/(x,y)\cong k[z]_{(z)}$ では $z\neq0$ なので、$x+z$ はどの極小素イデアルにも属さない。被約なネーター環では零因子は極小素イデアルの和集合なので（同じ記事の命題「被約なネーター環には埋込素がない」）、$x+z$ は非零因子で、$\operatorname{ht}(x+z)=1$ である。ところが $z=-x$ を代入すると $R/(x+z)\cong k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy)$ となり、ex-unm-embedded によりその極大イデアルは埋込随伴素である。$R$ の極大イデアルの高さは 2 なので、$(x+z)$ は非混合でない。thm-unm-main の 2 ⇒ 1 の対偶としても、$R$ が CM でないことが分かる。
3 行目。 $k[x,y,z]$ は CM 環である（ex-unm-ci）。$(y(1-x),z(1-x),x)=(x,y,z)$ で（$x$ を法として $1-x\equiv1$）、鎖 $0\subsetneq(x)\subsetneq(x,y)\subsetneq(x,y,z)$ と一般高さ定理からその高さは 3 である。しかし $k[x,y,z]/(y(1-x))$ の上で $z(1-x)\cdot y=0$、$y\neq0$ なので、$z(1-x)$ は零因子であり、この順序では正則列でない。順序を $x,y(1-x),z(1-x)$ に変えると、$x$ で割った $k[y,z]$ の上で $y,z$ となり正則列である。極大イデアルの外の元 $1-x$ を因子にもつ元があるので、局所環の場合の議論が使えない。
4 行目。 $A=k\times k[t]$ はネーター環で、素イデアルは $\mathfrak p\times k[t]$ か $k\times\mathfrak q$ の形をしている。素イデアルでの局所化は $k$ か $k[t]$ の局所化で、どれも正則局所環だから $A$ は CM 環である。$P=0\times k[t]$ では $A/P\cong k$、$A_P\cong k$ なので $\operatorname{ht}P=0$、$\dim A/P=0$ だが、$\dim A=1$ である。局所でない CM 環では成分の次元がそろうとは限らず、prop-unm-height-formula は局所環の主張である。

関連項目

• 前提: Cohen–Macaulay環, 正則列, 素イデアルの高さ, 随伴素イデアル, 正則元による次元の低下
• 関連: Krullの高さ定理, 埋込随伴素, Ischebeckの補題, 深さ, パラメータ系
• 応用: 完全交叉局所環, 正則局所環