微分係数と導関数の定義（高校数学）

$f(x)=x^2$ で、$x$ が $1$ から $1+h$ まで変わるときの平均変化率を求める（$h\ne0$）。
$$ \frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}=\frac{(1+2h+h^2)-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h $$
である。最後の約分は $h\ne0$ だから行える。$h$ にいくつかの値を入れると次のようになる。

$h$ を正の側からも負の側からも $0$ に近づけると、平均変化率は $2$ に近づく。この $2$ を、$f$ の $x=1$ における微分係数といい、$f'(1)=2$ と書く（図1）。

物体を静かに落とすと、$t$ 秒間に落ちる距離はおよそ $s(t)=4.9t^2$（メートル）である。$t=2$ から $t=2+h$ までの平均の速さは
$$ \frac{s(2+h)-s(2)}{h}=\frac{4.9(4+4h+h^2)-4.9\cdot4}{h}=\frac{4.9(4h+h^2)}{h}=19.6+4.9h $$
である（$h\ne0$）。$h=0.1$ なら $20.09$、$h=0.01$ なら $19.649$ で、$h\to0$ とすると $19.6$ に近づく。$t=2$ の瞬間の速さは秒速 $19.6$ メートルであり、これは $s'(2)=19.6$ ということである。

1. $f(x)=x^2$ で、$x$ が $1$ から $3$ まで変わるときの平均変化率は $\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac82=4$ である。区間を $1$ から $1.5$ に縮めると $\dfrac{2.25-1}{0.5}=2.5$ である。どちらも ex-dfd-parabola の式 $2+h$ に $h=2$、$h=0.5$ を入れた値と一致する。
2. $g(x)=x^3$ で、$x$ が $0$ から $2$ まで変わるときの平均変化率は $\dfrac{8-0}{2-0}=4$ である。

1. $f(x)=x^2-4x$ の $x=3$ での微分係数。$f(3)=9-12=-3$ で、$h\ne0$ のとき
   $$ \frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(9+6h+h^2)-(12+4h)-(-3)}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h $$
   である。$h\to0$ として $f'(3)=2$ である。
2. $g(x)=\dfrac1x$ の $x=2$ での微分係数。$h\ne0$、$2+h\ne0$ のとき
   $$ \frac{g(2+h)-g(2)}{h}=\frac1h\Bigl(\frac1{2+h}-\frac12\Bigr)=\frac1h\cdot\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\frac{-1}{2(2+h)} $$
   である。$h\to0$ とすると分母は $4$ に近づくので $g'(2)=-\dfrac14$ である。数値では $h=0.1$ で $-0.2380\ldots$、$h=0.01$ で $-0.2487\ldots$ となり、$-0.25$ に近づく。

1. $f(x)=x^2$、$a=1$ では、平均変化率は $2+h$ なので、$h\to+0$ でも $h\to-0$ でも $2$ に近づく。右微分係数と左微分係数はともに $2$ で、等しい。
2. $f(x)=|x|$、$a=0$ では、平均変化率は $\dfrac{|h|-0}{h}=\dfrac{|h|}{h}$ である。$h>0$ なら $|h|=h$ なので値は $1$、$h<0$ なら $|h|=-h$ なので値は $-1$ である。右微分係数は $1$、左微分係数は $-1$ で、等しくない（図2 右）。詳しくは ex-dfd-abs で見る。

1. ex-dfd-derivative-at-point の 1 では、$f(x)=x^2-4x$、$f(3)=-3$、$f'(3)=2$ だった。$x=3$ での接線は
   $$ y=-3+2(x-3)=2x-9 $$
   である。
2. ex-dfd-parabola では、$f(x)=x^2$、$f(1)=1$、$f'(1)=2$ だった。$x=1$ での接線は $y=1+2(x-1)=2x-1$ で、図1 の赤い直線である。

1. $f(x)=x^2$ の導関数。$h\ne0$ のとき
   $$ \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h $$
   であり、$h\to0$ とすると $2x$ に近づく。よって $f'(x)=2x$ である。$x=1$ を代入すると $f'(1)=2$ で、ex-dfd-parabola と一致する。
2. $f(x)=x^3$ の導関数。$(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$ なので、$h\ne0$ のとき
   $$ \frac{(x+h)^3-x^3}{h}=\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=3x^2+3xh+h^2 $$
   である。$h\to0$ とすると $3xh\to0$、$h^2\to0$ なので、$f'(x)=3x^2$ である。たとえば $f'(2)=12$ で、$h=0.01$ のときの平均変化率は $12+0.06+0.0001=12.0601$ である。

1. $n=4$ のとき、公式は $(x^4)'=4x^3$ である。定義から計算すると、$h\ne0$ で
   $$ \frac{(x+h)^4-x^4}{h}=\frac{4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4}{h}=4x^3+6x^2h+4xh^2+h^3 $$
   で、$h\to0$ として $4x^3$ である。$x=1$ では $4$ で、$h=0.001$ の平均変化率は $\dfrac{1.001^4-1}{0.001}=4.006004001$ である。
2. $n=1$ のとき、公式は $(x)'=1\cdot x^0=1$ である。定義からは $\dfrac{(x+h)-x}{h}=1$ で、確かに $1$ である。

1. $f(x)=x^3-3x^2+2$。prop-dfd-linear と prop-dfd-power により
   $$ f'(x)=3x^2-3\cdot2x+0=3x^2-6x $$
   である。$f'(0)=0$、$f'(1)=-3$、$f'(2)=0$ である。この関数のグラフは 3次関数のグラフ で詳しく見る。
2. $g(x)=4.9x^2$（ex-dfd-falling の $s(t)$）。$g'(x)=4.9\cdot2x=9.8x$ で、$g'(2)=19.6$ は ex-dfd-falling の瞬間の速さと一致する。

$f(x)=\sqrt x$（$x\ge0$）を $x>0$ で微分する。$h\ne0$、$x+h>0$ のとき、分子を有理化する。
$$ \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h}=\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt x)(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}=\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt x} $$
である。$h\to0$ のとき $\sqrt{x+h}\to\sqrt x$ なので（$\sqrt{\ }$ は連続関数である）、
$$ (\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}\qquad(x>0) $$
である。$x=4$ では $\dfrac14=0.25$ で、$h=0.01$ の平均変化率は $\dfrac{\sqrt{4.01}-2}{0.01}=0.24984\ldots$ である。
$x=0$ では事情が違う。$f$ は $x\ge0$ でしか定義されていないので、$x=0$ は定義域の端であり、$0$ を含む開区間では定義されていない。したがって def-dfd-derivative の両側の極限はそもそも考えられない。そこで右微分係数（def-dfd-one-sided）を調べる。$h>0$ のとき
$$ \frac{\sqrt h-\sqrt0}{h}=\frac{1}{\sqrt h} $$
で、$h\to+0$ とするといくらでも大きくなる（$h=0.01$ で $10$、$h=0.0001$ で $100$）。極限は有限の値ではないので、$\sqrt x$ の $x=0$ での右微分係数は存在しない。$\sqrt x$ を区間 $x\ge0$ で考えるとき、端点 $x=0$ では右微分係数を使う（def-dfd-derivative-function の中の注意）ので、$\sqrt x$ は $x=0$ で（右側から）微分可能でない。グラフは原点で縦に立つ。

$H(x)=\begin{cases}1&(x\ge0)\\ 0&(x<0)\end{cases}$ とする。$h<0$ のとき $H(h)=0$ なので $\lim_{h\to-0}H(h)=0\ne1=H(0)$ で、$H$ は $x=0$ で連続でない。thm-dfd-continuous の対偶から、$H$ は $x=0$ で微分可能でない。
直接確かめると、$h<0$ のとき平均変化率は $\dfrac{H(h)-H(0)}{h}=\dfrac{0-1}{h}=-\dfrac1h$ で、$h=-0.1$ で $10$、$h=-0.01$ で $100$ となり、$h\to-0$ でいくらでも大きくなる。$h>0$ のときは $\dfrac{1-1}{h}=0$ である。左右で振る舞いが違い、極限は存在しない。

$f(x)=|x|$ とする。
連続であること：$|f(h)-f(0)|=|h|$ なので、$h\to0$ で $f(h)\to f(0)=0$ である。
微分できないこと：ex-dfd-one-sided の 2 で見たとおり、平均変化率 $\dfrac{|h|}{h}$ は $h>0$ で $1$、$h<0$ で $-1$ である。右微分係数 $1$ と左微分係数 $-1$ が等しくないので、$x=0$ で微分可能でない。グラフは原点で折れ曲がり、1 本の接線が決まらない。
$x\ne0$ では微分可能で、$x>0$ なら $f(x)=x$ なので $f'(x)=1$、$x<0$ なら $f(x)=-x$ なので $f'(x)=-1$ である（$x$ の近くでは $f$ の式が変わらないことを使った）。

$f(x)=\sqrt[3]{x}$ とする（負の $x$ にも実数の 3 乗根を考える。$\sqrt[3]{-8}=-2$ など）。
連続であること：$|\sqrt[3]{h}|=\sqrt[3]{|h|}$ であり、$\sqrt[3]{\ }$ は大小を保つので、$|h|<0.001$ なら $|\sqrt[3]{h}|<0.1$、$|h|<0.000001$ なら $|\sqrt[3]{h}|<0.01$ である。一般に、正の数 $\varepsilon$ に対して $|h|<\varepsilon^3$ なら $|\sqrt[3]{h}|<\varepsilon$ である。よって $h\to0$ で $f(h)\to0=f(0)$ である（この言い方は 極限とε-δ の定義そのものである）。
微分できないこと：$h\ne0$ のとき $\sqrt[3]{h}=t$ とおくと $h=t^3$ で、$t\ne0$ である。平均変化率は
$$ \frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}=\frac{t}{t^3}=\frac1{t^2} $$
である。$h\to0$ のとき $t\to0$ なので $\dfrac1{t^2}$ はいくらでも大きくなる。$h=0.001$ なら $t=0.1$ で平均変化率は $100$、$h=-0.001$ なら $t=-0.1$ で同じく $100$ である。極限は有限の値ではないので、微分可能でない。グラフは原点で $y$ 軸に接するように縦に立つ（図3 中央）。

$f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x&(x\ne0)\\ 0&(x=0)\end{cases}$ とする。
連続であること：$|\sin\theta|\le1$ なので、$h\ne0$ で $|f(h)-f(0)|=|h|\,\bigl|\sin\frac1h\bigr|\le|h|$ である。$h\to0$ で $|h|\to0$ なので、はさみうちの原理（はさみうちと評価の技法）により $f(h)\to0=f(0)$ である。
微分できないこと：$h\ne0$ のとき、平均変化率は
$$ \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h\sin\frac1h}{h}=\sin\frac1h $$
である。$h$ を 2 通りの数列で $0$ に近づける。

• $h_n=\dfrac1{n\pi}$（$n=1,2,3,\ldots$）では $\sin\dfrac1{h_n}=\sin n\pi=0$ である。
• $k_n=\dfrac1{2n\pi+\frac\pi2}$ では $\sin\dfrac1{k_n}=\sin\bigl(2n\pi+\frac\pi2\bigr)=1$ である。
  どちらの数列も $0$ に近づくのに、平均変化率は一方ではいつも $0$、他方ではいつも $1$ である。もし極限 $L$ が存在すれば、どちらの数列に沿っても $L$ に近づくはず（極限とε-δ の数列による特徴づけ）なので $L=0$ かつ $L=1$ となり、矛盾する。よって極限は存在せず、微分可能でない。グラフは原点の近くで、2 本の直線 $y=x$、$y=-x$ の間を無限回往復する（図3 右）。

$f(x)=x^2$、$a=1$ とする。$f(1+h)=1+2h+h^2$ である。

• 接線（傾き $m=2$）の誤差は $r_2(h)=(1+2h+h^2)-(1+2h)=h^2$ で、$\dfrac{r_2(h)}{h}=h$ である。
• 傾き $m=2.1$ の直線の誤差は $r_{2.1}(h)=(1+2h+h^2)-(1+2.1h)=h^2-0.1h$ で、$\dfrac{r_{2.1}(h)}{h}=h-0.1$ である。

  $h$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
  $r_2(h)=h^2$	$0.01$	$0.0001$	$0.000001$
  $r_2(h)/h$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
  $r_{2.1}(h)=h^2-0.1h$	$0$	$-0.0009$	$-0.000099$
  $r_{2.1}(h)/h$	$0$	$-0.09$	$-0.099$

  どちらの誤差も $0$ に近づくが、誤差を $h$ で割ると、接線では $0$ に近づき、傾き $2.1$ の直線では $-0.1$ に近づく。傾きを $2$ 以外のどの値にしても、$\dfrac{r_m(h)}{h}=h+(2-m)$ は $2-m\ne0$ に近づく。$h=0.1$ で $r_{2.1}$ がたまたま $0$ になるのは、直線がそこで曲線と交わるからで、$h$ をさらに小さくすると誤差は $-0.1h$ 程度の大きさに戻る。

1. $\sqrt{4.1}$ を見積もる（接線・法線と曲線の凹凸 の数値例と同じ関数・同じ点で、ここでは誤差を $h$ で割った値に注目する）。$f(x)=\sqrt x$、$a=4$、$h=0.1$ とする。ex-dfd-sqrt から $f'(4)=\dfrac14$ なので、1 次近似は
   $$ \sqrt{4.1}\approx f(4)+f'(4)\cdot0.1=2+\frac{0.1}{4}=2.025 $$
   である。実際は $\sqrt{4.1}=2.02484\ldots$ で、誤差は $r(0.1)=2.02484\ldots-2.025=-0.00015\ldots$、$\dfrac{r(0.1)}{0.1}=-0.0015\ldots$ である。$h=0.01$ では $\sqrt{4.01}\approx2.0025$、実際は $2.0024984\ldots$ で、$\dfrac{r(0.01)}{0.01}=-0.000156\ldots$ とさらに小さい。
2. $1.01^3$ を見積もる。$f(x)=x^3$、$a=1$、$h=0.01$ とする。$f'(1)=3$ なので
   $$ 1.01^3\approx1+3\cdot0.01=1.03 $$
   である。実際は $1.01^3=1.030301$ で、誤差は $0.000301$ である。展開 $(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3$ で、1 次近似が捨てたのは $3h^2+h^3$ の部分であり、$h=0.01$ では $0.0003+0.000001$ になる。

$f(x)=\begin{cases}x^2&(x\text{ が有理数})\\ 0&(x\text{ が無理数})\end{cases}$ とする。
$x=0$ では微分可能である：$h\ne0$ のとき、平均変化率 $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{f(h)}{h}$ は、$h$ が有理数なら $\dfrac{h^2}{h}=h$、無理数なら $0$ である。どちらの場合も絶対値は $|h|$ 以下なので、はさみうちの原理により $h\to0$ で $0$ に近づく。よって $f'(0)=0$ である。
$x=a\ne0$ では連続でない：どんな区間にも有理数と無理数がある（実数とは何か：無理数の証明 の稠密性）ので、$a$ に近づく無理数の列 $(x_n)$ と、$a$ に近づく有理数の列 $(y_n)$ がとれる（どちらも $a$ とは異なる項だけからなるようにとる）。無理数の列に沿っては $f(x_n)=0\to0$、有理数の列に沿っては $f(y_n)=y_n^2\to a^2$ で、$a\ne0$ なので $0\ne a^2$ である。$f(a)$ はこの 2 つの値の両方に等しくはなれないので、数列による特徴づけ（極限とε-δ）から $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ は成り立たない。よって、thm-dfd-continuous の対偶から $x=a$ で微分可能でない。
したがって、「1 点で微分可能」から「その近くで微分可能」や「その近くで連続」は出てこない。導関数を考えるには、区間のすべての点で微分可能であること（def-dfd-derivative-function）を仮定する必要がある。