境界値問題

同義語：boundary value problem

概要

前提知識: 線形微分方程式, Gaussの発散定理, 偏微分方程式

境界値問題（boundary value problem）は、領域の内部で微分方程式を課し、領域の境界の上で解の値や微分の値に条件（境界条件）を課して解を求める問題である。1 点での値と微分の値を与える初期値問題では、最高階の係数が $1$ で、ほかの係数と右辺が連続な線形の常微分方程式の解はつねにただ 1 つ存在する。これに対して境界値問題では、同じ方程式でも境界条件の置き方によって、解がただ 1 つのことも、存在しないことも、無数にあることもある。弦の両端を固定した振動、物体の表面の温度を指定した熱の釣り合い、静電ポテンシャルなどが典型的な例である。
この記事では、区間の 2 点境界値問題について解が存在してただ 1 つになるための条件と、そうでない場合に解けるための条件（二者択一）を示し、次に Laplace 作用素の Dirichlet・Neumann・Robin 境界値問題の解の一意性と、Neumann 問題の両立条件を示す。

定義

境界値問題

$\Omega$ を $\mathbb{R}^n$ の有界な開集合（$n=1$ なら有界な開区間）とする。$\Omega$ の上の微分方程式と、境界 $\partial\Omega$ の上で未知関数とその導関数が満たすべき条件（境界条件）を合わせたものを 境界値問題 という。方程式と境界条件がどちらも未知関数について線形なとき線形の境界値問題といい、方程式の右辺と境界条件の右辺がすべて $0$ のものを斉次の問題という。方程式と境界条件を満たし、現れる導関数が $\overline\Omega$ まで連続に延びる関数を 古典解 という。

$\partial\Omega$ の外向きの単位法線を $\nu$、法線方向の微分を $\partial_\nu u:=\nabla u\cdot\nu$ と書く（Gaussの発散定理の補題「外向きの単位法線」）。2 階の方程式でよく使う境界条件には次の名前がある。$g,\beta$ は $\partial\Omega$ の上の与えられた関数である。

名前	条件	物理的な意味の例（熱の釣り合い）
Dirichlet 条件	$u=g$	表面の温度を指定する
Neumann 条件	$\partial_\nu u=g$	表面を通る熱の流れを指定する（$g=0$ は断熱）
Robin 条件	$\partial_\nu u+\beta u=g$	表面から外気へ温度差に比例して熱が逃げる

区間 $[a,b]$ では境界は 2 点 $\{a,b\}$ で、境界値問題を 2 点境界値問題 という。左端の条件に右端の値が入らず、右端の条件に左端の値が入らない条件を 分離型 の境界条件という。$u(a)=u(b)$、$u'(a)=u'(b)$ のように両端を結ぶ条件（周期条件）は分離型ではない。

同じ方程式で解の個数が変わる

方程式 $u''+u=0$ の解は $u=c_1\cos x+c_2\sin x$ である（$\cos x,\sin x$ は解で、Wronski 行列式が $1$ なので、線形微分方程式の定理「基本解系の判定」により基本解系である）。

$u(0)=0$、$u(\pi/2)=1$：$c_1=0$、$c_2=1$ で、解は $u=\sin x$ ただ 1 つである。
$u(0)=0$、$u(\pi)=1$：$u(0)=0$ から $c_1=0$ で、$u(\pi)=c_2\sin\pi=0\ne1$ なので、解は存在しない。
$u(0)=0$、$u(\pi)=0$：$c_1=0$ で $c_2$ は任意なので、解 $c_2\sin x$ が無数にある。
初期値問題 $u(0)=0$、$u'(0)=1$ なら、解は $\sin x$ ただ 1 つである（線形微分方程式の定理「解の存在と解空間」）。境界値問題では、条件を課す 2 点の位置が解の個数を左右する。

解が存在し、ただ 1 つで、データに連続に依存する問題を適切（well-posed）な問題という。Laplace 方程式に、境界の一部で値と法線微分を両方与える問題が適切でないことは、偏微分方程式の例「Laplace 方程式の Cauchy 問題」（Hadamard の例）が示している。楕円型の方程式には、境界全体で 1 つの条件を課す境界値問題が自然に対応する。

主定理 1：2 点境界値問題の二者択一

この節では次の設定をとる。実数値の関数 $p\in C^1([a,b])$、$q\in C([a,b])$ で $[a,b]$ 上 $p>0$ とし、
$$ Lu:=-(pu')'+qu $$
とおく。実数 $(\alpha_a,\beta_a)\ne(0,0)$、$(\alpha_b,\beta_b)\ne(0,0)$ について、分離型の境界条件を
$$ B_au:=\alpha_au(a)+\beta_ap(a)u'(a),\qquad B_bu:=\alpha_bu(b)+\beta_bp(b)u'(b) $$
で表す（Sturm–Liouville問題の定義「正則 Sturm–Liouville 問題」と同じ形である）。関数はすべて実数値とし、解は $C^2([a,b])$ の関数とする。
$Lu=f$ は $u''+\frac{p'}pu'-\frac qpu=-\frac fp$ と書け、係数は $[a,b]$ で連続である。したがって線形微分方程式の定理「解の存在と解空間」（同記事の命題「同伴行列による書き換え」で 1 階の連立方程式にしたもの）により、次が成り立つ。(i) 任意の $c_0,c_1$ について $Lu=f$、$u(a)=c_0$、$u'(a)=c_1$ の解がただ 1 つある。(ii) $Lu=0$ の解の全体 $V$ は 2 次元の線形空間で、各点 $x_0\in[a,b]$ について $u\mapsto(u(x_0),u'(x_0))$ は同型 $V\to\mathbb{R}^2$ である。(iii) $Lu=f$ の解の全体は、1 つの解 $u_p$ を使って $u_p+V$ と書ける。

2 点境界値問題の二者択一

上の設定で、斉次問題 $Lu=0$、$B_au=B_bu=0$ について、次のどちらか一方だけが成り立つ。

斉次問題の解は $u=0$ だけである。このとき、すべての $f\in C([a,b])$ と実数 $\gamma_a,\gamma_b$ について、$Lu=f$、$B_au=\gamma_a$、$B_bu=\gamma_b$ の解がただ 1 つ存在する。
斉次問題は $0$ でない解 $\varphi$ をもつ。このとき斉次問題の解は $\varphi$ の定数倍に限り、$f\in C([a,b])$ について、$Lu=f$、$B_au=B_bu=0$ が解をもつのは
$$ \int_a^bf(x)\varphi(x)\,dx=0 $$
のとき、かつそのときに限る。解があるとき、解の全体は $u_0+c\varphi$（$u_0$ は 1 つの解、$c\in\mathbb{R}$）である。

境界条件を係数の 1 次方程式にし、2 の場合は Lagrange の恒等式を使う

1 の場合。 $y_1,y_2$ を $V$ の基底、$u_p$ を $Lu=f$ の 1 つの解とする（(i)）。(iii) により $Lu=f$ の解は $u=u_p+c_1y_1+c_2y_2$ の形のものに限り、境界条件は
$$ \begin{pmatrix}B_ay_1&B_ay_2\\B_by_1&B_by_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma_a-B_au_p\\\gamma_b-B_bu_p\end{pmatrix} $$
と同値である。左辺の行列を $M$ とする。$(c_1,c_2)\mapsto c_1y_1+c_2y_2$ は単射なので、「斉次問題の解が $0$ だけ」は「$Mc=0$ の解が $c=0$ だけ」すなわち $\det M\ne0$ と同値である。このとき右辺がなんであっても $c$ はただ 1 つに決まる。斉次問題が $0$ でない解をもてば 1 は成り立たないので、1 と 2 のどちらか一方だけが成り立つ。
2 の場合、解は $\varphi$ の定数倍。 $u\mapsto B_au$ は $V$ 上の線形写像で、同型 $u\mapsto(u(a),u'(a))$（(ii) で $x_0=a$）を通すと $\mathbb{R}^2$ 上の $0$ でない 1 次式 $(s,t)\mapsto\alpha_as+\beta_ap(a)t$ になる（$p(a)\ne0$）。よって $\{u\in V\mid B_au=0\}$ は 1 次元である。斉次問題の解はこの中にあり、$0$ でない $\varphi$ を含むので、斉次問題の解の全体は $\{c\varphi\}$ である（Sturm–Liouville問題の定理「各固有値の固有関数の自由度」と同じ議論）。
可解性の条件。 $u_0$ を $Lu=f$、$u_0(a)=u_0'(a)=0$ の解とする（(i)）。$B_au_0=0$ である。$Lu=f$、$B_au=0$ の解は、$u_0$ に $\{v\in V\mid B_av=0\}=\{c\varphi\}$ の元を足したもの $u_0+c\varphi$ に限り、$B_b(u_0+c\varphi)=B_bu_0$ である。よって問題が解をもつのは $B_bu_0=0$ のときに限り、そのとき解の全体は $u_0+c\varphi$ である。
次に、積の微分から $\bigl(p(\varphi u_0'-u_0\varphi')\bigr)'=\varphi(pu_0')'-u_0(p\varphi')'$ なので
$$ \varphi\,Lu_0-u_0\,L\varphi=-\bigl(p(\varphi u_0'-u_0\varphi')\bigr)' $$
である（Lagrange の恒等式）。$Lu_0=f$、$L\varphi=0$ を代入して $[a,b]$ で積分すると、$u_0(a)=u_0'(a)=0$ から
$$ \int_a^bf\varphi\,dx=-p(b)\bigl(\varphi(b)u_0'(b)-u_0(b)\varphi'(b)\bigr) $$
である。$\boldsymbol v_\varphi:=(\varphi(b),p(b)\varphi'(b))$、$\boldsymbol v_0:=(u_0(b),p(b)u_0'(b))$ とおくと、右辺は $2\times2$ 行列 $\begin{pmatrix}\boldsymbol v_\varphi\\\boldsymbol v_0\end{pmatrix}$ の行列式の $-1$ 倍である。$\varphi\ne0$ なので、(ii)（$x_0=b$）により $\boldsymbol v_\varphi\ne\boldsymbol 0$ である。$\ell(s,t):=\alpha_bs+\beta_bt$ とおくと $\ell(\boldsymbol v_\varphi)=B_b\varphi=0$、$\ell(\boldsymbol v_0)=B_bu_0$ で、$\ell\ne0$ の核は 1 次元である。

行列式が $0$ なら $\boldsymbol v_0=t\boldsymbol v_\varphi$ と書けるので $B_bu_0=t\,\ell(\boldsymbol v_\varphi)=0$ である。
$B_bu_0=0$ なら $\boldsymbol v_\varphi,\boldsymbol v_0$ はどちらも 1 次元の核 $\ker\ell$ に入るので平行で、行列式は $0$ である。
したがって $B_bu_0=0$ と $\int_a^bf\varphi\,dx=0$ は同値である。$\square$

2 の場合に条件 $\int_a^bf\varphi\,dx=0$ が必要であることは、解 $u$ があれば Lagrange の恒等式から $\int_a^bf\varphi\,dx=\int_a^b(\varphi Lu-uL\varphi)\,dx=0$ となることからも分かる（境界の項は $u,\varphi$ がともに分離型の条件を満たすので消える。Sturm–Liouville問題の定理「Lagrange の恒等式と固有関数の直交性」）。定理の要点は、この必要条件が十分条件でもあることである。

共鳴：解けるかどうかが右辺で決まる

$[0,\pi]$ で $p=1$、$q=-\lambda$（$\lambda$ は実数）とし、Dirichlet 条件 $u(0)=u(\pi)=0$ を課す（$\alpha_a=\alpha_b=1$、$\beta_a=\beta_b=0$）。
斉次問題。 $-u''-\lambda u=0$、$u(0)=u(\pi)=0$ を解く。$\lambda>0$ なら $u(0)=0$ の解は $c\sin(\sqrt\lambda x)$ で、$u(\pi)=0$ と $c\ne0$ が両立するのは $\sqrt\lambda$ が正の整数のときである。$\lambda=0$ なら $u=cx$、$\lambda<0$ なら $u=c\sinh(\sqrt{-\lambda}x)$ で、どちらも $u(\pi)=0$ から $c=0$ である。よって $0$ でない解があるのは $\lambda=k^2$（$k=1,2,\dots$）のときに限り、そのとき $\varphi=\sin kx$ である。$\lambda\ne k^2$ なら、thm-bvp-alternative の 1 により、どの $f$ についても解はただ 1 つである。
$\lambda=1$ の場合。 $\varphi=\sin x$ で、$-u''-u=f$、$u(0)=u(\pi)=0$ が解けるのは $\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx=0$ のときに限る。

$f=1$ なら $\int_0^\pi\sin x\,dx=2\ne0$ なので、解は存在しない。
$f=\cos x$ なら $\int_0^\pi\cos x\sin x\,dx=0$ なので解がある。実際 $u_0=-\frac x2\sin x$ について $u_0''=-\cos x+\frac x2\sin x$ だから $-u_0''-u_0=\cos x$ で、$u_0(0)=u_0(\pi)=0$ である。解の全体は $-\frac x2\sin x+c\sin x$ である。
$-u''=\lambda u$ を弦の振動の固有値問題と見ると、$\lambda=k^2$ は固有振動数の 2 乗にあたる（Sturm–Liouville問題）。外力 $f$ が固有振動 $\sin x$ と直交しないと、釣り合いの状態は存在しない。

Green 関数による解の公式

thm-bvp-alternative の 1 の場合、$B_au_a=0$ となる $V$ の $0$ でない元 $u_a$ と、$B_bu_b=0$ となる $V$ の $0$ でない元 $u_b$ をとると、$u_a,u_b$ は 1 次独立である（従属なら $u_a$ が斉次問題の $0$ でない解になる）。$c:=p\,(u_a'u_b-u_au_b')$ は $0$ でない定数で、$Lu=f$、$B_au=B_bu=0$ の解は
$$ u(x)=\int_a^bG(x,y)f(y)\,dy,\qquad G(x,y):=\frac1c\begin{cases}u_a(y)u_b(x)&(y\le x),\\u_a(x)u_b(y)&(x\le y)\end{cases} $$
で与えられる。$G$ を Green 関数 という（多次元の Laplace 作用素の場合は Green関数）。

確かめを開く

$(pu_a')'=qu_a$、$(pu_b')'=qu_b$ から $\bigl(p(u_a'u_b-u_au_b')\bigr)'=(pu_a')'u_b-u_a(pu_b')'=0$ なので $c$ は定数で、$u_a,u_b$ が 1 次独立だから (ii) により $c\ne0$ である。$cu(x)=u_b(x)\int_a^xu_af\,dy+u_a(x)\int_x^bu_bf\,dy$ を微分すると、積分の端から出る項は打ち消し合って $cu'=u_b'\int_a^xu_af+u_a'\int_x^bu_bf$ となる。$p$ を掛けてもう一度微分すると、$c(pu')'=(pu_b')'\int_a^xu_af+(pu_a')'\int_x^bu_bf+p(u_b'u_a-u_a'u_b)f=qcu-cf$ なので $Lu=f$ である。$x=a$ では $cu=u_a\int_a^bu_bf$、$cu'=u_a'\int_a^bu_bf$ だから $B_au$ は $B_au_a=0$ の定数倍で $0$、$x=b$ でも同様に $B_bu=0$ である。$\square$

同じ構成は TesODE12 §5.4、(5.62)–(5.65)、p. 158 にある。

主定理 2：Laplace 作用素の境界値問題の一意性

この節では $n\ge2$ とし、$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を空でない滑らかな境界をもつコンパクトな領域で、内部 $\Omega^\circ$ が連結なものとする（Gaussの発散定理の定義「滑らかな境界をもつコンパクトな領域」）。$\nu$ は外向きの単位法線、$dS$ は $\partial\Omega$ の面積要素である。$f\in C(\Omega)$、$g,\beta\in C(\partial\Omega)$ とし、$\beta\ge0$ とする。解 $u$ は $\Omega$ を含む開集合で $C^2$ 級の実数値関数で、$\Omega$ の上で $\Delta u=f$ を満たすものとする。境界条件は次の 3 つを考える。
$$ \text{(D)}\ u=g,\qquad\text{(N)}\ \partial_\nu u=g,\qquad\text{(R)}\ \partial_\nu u+\beta u=g\qquad(\partial\Omega\ \text{の上で}). $$

Dirichlet・Neumann・Robin 問題の一意性と両立条件

(D) の解は高々 1 つである。
$\beta$ が $\partial\Omega$ の上で恒等的に $0$ ではないとき、(R) の解は高々 1 つである。
(N) の 2 つの解の差は定数である。さらに (N) が解をもてば
$$ \int_\Omega f\,dV=\int_{\partial\Omega}g\,dS $$
である。

エネルギー $\int|\nabla w|^2$ を境界の積分で表す

同じ条件の解 $u_1,u_2$ の差 $w:=u_1-u_2$ は、$\Omega$ を含む開集合で $C^2$ 級で、$\Omega$ の上で $\Delta w=0$、$\partial\Omega$ の上で (D) なら $w=0$、(N) なら $\partial_\nu w=0$、(R) なら $\partial_\nu w=-\beta w$ を満たす。Gaussの発散定理の系「部分積分と Green の恒等式」の 2（Green の第 1 恒等式）を $u=v=w$ として使うと
$$ \int_\Omega|\nabla w|^2\,dV=\int_{\partial\Omega}w\,\partial_\nu w\,dS $$
である。右辺は (D)・(N) では $0$、(R) では $-\int_{\partial\Omega}\beta w^2\,dS\le0$ である。どの場合も左辺は $0$ 以上なので両辺は $0$ で、連続関数 $|\nabla w|^2$ は $\Omega^\circ$ で $0$ である。$\Omega^\circ$ は連結な開集合なので $w$ は $\Omega^\circ$ で定数 $k$ であり、$\Omega$ の各点は $\Omega^\circ$ の点の極限なので（境界の点 $x$ では、定義関数 $\rho$ について小さい $t>0$ で $\rho(x-t\nabla\rho(x))<0$）、$w$ の連続性から $\Omega$ の上で $w=k$ である。
1：$\partial\Omega$ は空でない（空なら $\Omega$ は $\mathbb{R}^n$ の空でないコンパクトな開かつ閉集合となるが、$\mathbb{R}^n$ は連結でコンパクトではない）。$\partial\Omega$ の上で $w=0$ なので $k=0$ である。
2：上の等式から $0=-\int_{\partial\Omega}\beta w^2\,dS=-k^2\int_{\partial\Omega}\beta\,dS$ である。$\beta\ge0$ は連続で恒等的に $0$ ではないので $\int_{\partial\Omega}\beta\,dS>0$ で、$k=0$ である。
3：$w=k$ は定数である。両立条件は、Gaussの発散定理の定理「Gauss の発散定理」を $C^1$ 級のベクトル場 $F=\nabla u$ に使えば、$\operatorname{div}F=\Delta u=f$、$F\cdot\nu=\partial_\nu u=g$ から従う。$\square$

1 の Dirichlet 問題の一意性は、Gaussの発散定理の例「調和関数は境界の値で決まる」と同じ議論である。最大値原理を使うと、解が $\Omega^\circ$ で $C^2$ 級、$\Omega$ で連続であればよいことまで弱められる（調和関数の系「境界値による一意性」）。3 の両立条件は、熱の釣り合いでは「内部で生じる熱の総量が表面から出ていく熱の総量に等しい」ことにあたる。解の存在には別の道具が要る。球の Dirichlet 問題は Poisson 積分で解け（Dirichlet問題の定理「Poisson積分による球のDirichlet問題の解」）、一般の有界領域では Perron の方法と障壁で可解性が判定される（同記事の定理「障壁によるDirichlet問題の可解性の判定」）。解を Sobolev 空間の中で弱い意味で探す方法は Lax–Milgramの定理の節「境界値問題の弱解」と楕円型偏微分方程式の定理「弱解の存在と一意性」にある。

単位球での Neumann 問題

$\Omega$ を単位閉球体 $\{|x|\le1\}$ とすると、$\partial\Omega$ の上で $\nu=x$ である。$u=\frac{|x|^2}{2n}$ は $\Delta u=1$ を満たし、$\partial_\nu u=x\cdot\frac xn=\frac1n$ である。両立条件は $\operatorname{vol}(\Omega)=\frac1n\operatorname{area}(\partial\Omega)$ で、これは Gaussの発散定理の系「体積と境界の面積」の球の場合である。一方、$\Delta u=1$、$\partial_\nu u=0$ の解は存在しない。左辺 $\int_\Omega1\,dV>0$ が右辺 $0$ に等しくならないからである。