解析的整数論
概要
解析的整数論（analytic number theory）とは、整数、とくに素数についての問いを、微分積分・複素関数論・Fourier 解析などの解析学の方法で調べる数論の分野である。$x$ 以下の素数の個数 $\pi(x)$ や約数の個数の和のように、整数の性質で決まる量を $x$ まで足した和の大きさを、$x\to\infty$ での漸近式や上下からの評価として求める。主な道具は、和を積分に書き直す Abel の総和公式、Riemann ゼータ関数などの Dirichlet 級数と Euler 積、円周法で使う指数和、篩法である。代表的な結果に素数定理や Dirichlet の算術級数定理があり、$\pi(x)\log x/x$ が収束すれば極限は $1$ であるという Chebyshev の定理も、和の積分表示から導かれる。
解析的整数論（analytic number theory）は、整数、とくに素数についての問いを、微分積分・複素関数論・Fourier 解析などの解析学の方法で調べる数論の分野である。個々の整数の性質を問うかわりに、整数の性質で決まる量を $x$ まで足し合わせた和、たとえば $x$ 以下の素数の個数や、整数を平方数の和で表す方法の数の合計が、$x$ が大きくなるときにどう振る舞うかを問う。答えは漸近式や、上下からの評価の形で与えられる。
この記事は分野の入口として、典型的な問いと主な道具をまとめ、関連する記事を案内する。あわせて、この分野らしい議論の例として、「$x$ 以下の素数の個数と $x/\log x$ の比が収束するなら、その極限は $1$ である」という Chebyshev の定理を証明する。
定義
整数論の問いのうち、算術関数（正の整数で定義された複素数値の関数）$a(n)$ の 総和関数
$$
A(x):=\sum_{n\le x}a(n)\qquad(x\ge1)
$$
の、$x\to\infty$ での大きさを解析学の方法で調べる分野を 解析的整数論 という。$a(n)$ を、$n$ が素数なら $1$、そうでなければ $0$ とすると $A(x)$ は $x$ 以下の素数の個数 $\pi(x)$ になり、$a(n)$ を $n$ の正の約数の個数とすると $A(x)$ は約数の個数の和になる。最も簡単な $a(n)=1$ では $A(x)=\lfloor x\rfloor=x+O(1)$ であり、主要項 $x$ と誤差項 $O(1)$ に分けて書くこの形が、多くの結果の典型的な形である。
主な記号は次のとおりである（Landau記号）。$f(x)=O(g(x))$ は $|f(x)|\le Cg(x)$ となる定数 $C$ があることを表し、同じことを Vinogradov の記号で $f(x)\ll g(x)$ とも書く。$f(x)=o(g(x))$ は $f(x)/g(x)\to0$、$f(x)\sim g(x)$ は $f(x)/g(x)\to1$ を表す。$\log$ は自然対数、$p$ はつねに素数を表し、$\sum_{p\le x}$ は $x$ 以下の素数にわたる和である。
初等整数論 は割り算・素因数分解・合同式のような整数そのものの道具で個々の整数の性質を調べ、代数的整数論は整数を含む環（代数体の整数環）の構造を調べる。解析的整数論はこれらと別の分野というより、同じ整数を「たくさん集めたときの平均的な振る舞い」の側から見る分野であり、初等的な道具も代数的な道具も使う。
典型的な問い
| 問い | 調べる量 | 代表的な結果 | 記事 |
|---|---|---|---|
| 素数はどのくらいあるか | $\pi(x)$、$\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$、$\psi(x)$ | $\pi(x)\sim x/\log x$ | 素数定理、von Mangoldt関数、Bertrandの仮説 |
| 素数の逆数の和 | $\sum_{p\le x}1/p$ | 発散し、$\log\log x$ 程度で増える | 素数の逆数和の発散、Mertensの定理 |
| 等差数列の中の素数 | 剰余類ごとの素数 | 互いに素な剰余類には無限に素数がある | Dirichletの算術級数定理、Dirichlet指標 |
| 算術関数の平均 | $\sum_{n\le x}d(n)$、$\sum_{n\le x}\varphi(n)$ | $x\log x$、$\frac{3}{\pi^2}x^2$ に近い | 算術関数の平均位数、約数関数、Gaussの円問題 |
| 素数の組を数える | 双子素数の個数 | 上からの評価と逆数和の収束 | 篩法、双子素数予想 |
| 加法的な問題 | 和で表す方法の数 | 十分大きい数が表せること、漸近式 | Waringの問題、円周法、Goldbach予想、分割数 |
| 有理数による近似 | $\lvert q\alpha-p\rvert$ の大きさ | 近似の良さの限界 | ディオファントス近似 |
主な道具
和を積分と比べる
和 $\sum_{n\le x}a(n)f(n)$ は、総和関数 $A$ を使って $A(x)f(x)-\int A(t)f'(t)\,dt$ と積分に書き直せる（Abelの級数変形法とその応用 の定理「総和関数による積分公式」）。これで、素数に重み $\log p$ を付けた和 $\theta(x)$ の情報を素数の個数 $\pi(x)$ や $\sum_{p\le x}1/p$ の情報に移すことができる。滑らかな関数の和を積分で近似する Euler–Maclaurinの公式 からは、調和級数の部分和 $\sum_{n\le x}1/n=\log x+\gamma+O(1/x)$（Eulerの定数）や Stirlingの公式 が得られる。
実数 $x\ge1$ について
$$
\Bigl|\sum_{n\le x}\log n-(x\log x-x)\Bigr|\le1+\log x
$$
である。$N:=\lfloor x\rfloor$ とおく。$\log$ は増加関数なので、$n\ge1$ について $\log n\le\int_n^{n+1}\log t\,dt$、$n\ge2$ について $\log n\ge\int_{n-1}^n\log t\,dt$ である。足し合わせると
$$
\int_1^N\log t\,dt\le\sum_{n=2}^N\log n,\qquad\sum_{n=1}^{N-1}\log n\le\int_1^N\log t\,dt
$$
で、$\int_1^N\log t\,dt=N\log N-N+1$ なので、$\sum_{n\le N}\log n-(N\log N-N)$ は $1$ 以上 $1+\log N$ 以下である。また $t\log t-t$ の導関数は $\log t$ なので、$0\le(x\log x-x)-(N\log N-N)\le(x-N)\log x\le\log x$ である。合わせて主張が従う。和 $\log\lfloor x\rfloor!$ のこの評価は、von Mangoldt関数 の定理「$\Lambda(n)/n$ の和の評価」の証明の出発点でもある。
Dirichlet 級数と Euler 積
算術関数 $a(n)$ に級数 $\sum_na(n)n^{-s}$ を対応させると、算術関数の Dirichlet 積が級数の積に対応する。素因数分解の一意性は、$\operatorname{Re}s>1$ での Euler 積
$$
\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=\prod_p\frac1{1-p^{-s}}
$$
の形で表れる（Riemannゼータ関数 の定理「Euler 積」）。素数が有限個しかなければ右辺は $s\to1+0$ で有界にとどまるが、左辺は調和級数の発散によって限りなく大きくなる。この比較が、素数が無限にあることと素数の逆数の和が発散することの解析的な証明になる（同記事の系「素数の無限性と逆数和の発散」）。対数微分をとると $-\zeta'(s)/\zeta(s)=\sum_n\Lambda(n)n^{-s}$ となり（von Mangoldt関数 の定理「$\Lambda$ の Dirichlet 級数」）、素数の分布が $\zeta(s)$ の解析的な性質、とくに零点の位置に結びつく。素数定理 の解析的な証明では、$\zeta(s)$ が直線 $\operatorname{Re}s=1$ の上で $0$ にならないことが鍵になる（同記事の注意「証明の出典と歴史」）。等差数列の中の素数には、Dirichlet指標 $\chi$ を係数にした $L$ 関数 $\sum_n\chi(n)n^{-s}$ を使う（Dirichletの算術級数定理）。
Fourier 解析と指数和
実数 $\alpha$ に対し $e(\alpha):=\exp(2\pi i\alpha)$ とおくと、整数 $m$ について $\int_0^1e(m\alpha)\,d\alpha$ は $m=0$ のとき $1$、それ以外で $0$ である。この直交関係により、方程式の解の個数を指数和 $\sum_xe(\alpha x^k)$ の積分で書くことができる。指数和が分母の小さい有理数の近くでだけ大きいことを使って積分を評価するのが 円周法 である。
正の整数 $N$ と $f(\alpha):=\sum_{x=1}^Ne(\alpha x)$ について、$f(\alpha)^2=\sum_{x,y}e(\alpha(x+y))$ なので、直交関係から
$$
\int_0^1f(\alpha)^2e(-n\alpha)\,d\alpha=\#\{(x,y) : 1\le x,y\le N,\ x+y=n\}
$$
である。右辺は $x$ を $\max(1,n-N)\le x\le\min(N,n-1)$ の範囲で選ぶ方法の数なので、$2\le n\le N+1$ なら $n-1$、$N+1\le n\le2N$ なら $2N+1-n$ である。左辺は、$f(\alpha)^2=\sum_{m=2}^{2N}c_me(\alpha m)$ と展開したときの係数 $c_n$ を取り出す操作であり、平方数や $k$ 乗数の和の場合も同じ式から出発する。
有限の場合には、法 $q$ の剰余類の上の Fourier 解析として Dirichlet指標 や Gauss和 が現れる。
篩
ある素数たちで割り切れない整数を、包除原理を打ち切った不等式で数えるのが 篩法 である。素数そのものや双子素数のように、素因数の条件で決まる整数の個数を上から評価するのに使う。Brun はこの方法で、双子素数の個数が素数の個数よりずっと少なく、双子素数の逆数の和が収束することを示した（篩法 の系「双子素数の逆数の和の収束」）。素数の逆数の和が発散するのと対照的で、双子素数が無限にあるかどうか（双子素数予想）はこの評価では決まらない。
読む順の目安
- 記号と和の扱い．Landau記号 で大きさの比べ方を決め、Abelの級数変形法とその応用 で和と積分を行き来する。Euler–Maclaurinの公式、Eulerの定数、Stirlingの公式 は、滑らかな関数の和の精密な近似を与える。
- 素数の個数の初等的な評価．素数の逆数和の発散 で素数が「多い」ことを、Bertrandの仮説 と von Mangoldt関数 の Chebyshev の評価で $\pi(x)$ が $x/\log x$ の定数倍で挟まれることを見る。Mertensの定理 は $\sum_{p\le x}1/p$ と $\prod_{p\le x}(1-1/p)$ の大きさを与える。
- 算術関数の平均．乗法的関数 と Möbius関数 で約数にわたる和を扱い、約数関数、算術関数の平均位数、Gaussの円問題 で、個々の値は揺れても平均は規則正しいことを見る。
- Dirichlet 級数と $L$ 関数．Riemannゼータ関数 の Euler 積から出発し、Dirichlet指標 と Dirichletの算術級数定理 で剰余類ごとの素数を調べ、素数定理 に至る。
- 篩と加法的な問題．篩法 で素数の組を上から数え、円周法 で整数を和で表す方法を数える。その応用が Waringの問題、Goldbach予想、分割数 である。
議論の例：Chebyshev の定理
素数定理 は $\pi(x)\log x/x\to1$ を主張する。素数定理を使わずに示せることとして、この比が $x\ge2$ で正の定数の間に収まること（同記事の定理「Chebyshevの評価」）と、次の定理がある。素数定理の難しさは、極限が存在することを示す点にあることが分かる。証明は、和を積分に書き直す道具と、素数に重みを付けた和の評価を組み合わせる典型的なものである。
以下、von Mangoldt関数 の記号 $\Lambda(n)$、$\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)$、$\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ を使う。
実数 $L$ について、$\pi(x)\log x/x\to L$（$x\to\infty$）なら $\theta(x)/x\to L$ であり、$\psi(x)/x\to L$ でもある。
要点：$\theta(x)$ を $\pi(x)\log x$ で上から押さえ、$x^{1-\delta}$ より大きい素数だけで下から押さえる。
詳しい証明を開く
上から：各項 $\log p$ は $\log x$ 以下なので $\theta(x)\le\pi(x)\log x$ であり、$\limsup\theta(x)/x\le L$ である。
下から：$0< \delta< 1$ とする。$x\ge2$ について $x^{1-\delta}< p\le x$ を満たす素数は $\pi(x)-\pi(x^{1-\delta})\ge\pi(x)-x^{1-\delta}$ 個以上あり、それぞれ $\log p>(1-\delta)\log x$ なので、$\theta(x)\ge(1-\delta)\log x\,(\pi(x)-x^{1-\delta})$ である。$x$ で割ると $\theta(x)/x\ge(1-\delta)\bigl(\pi(x)\log x/x-\log x/x^{\delta}\bigr)$ で、$\log x/x^\delta\to0$ なので $\liminf\theta(x)/x\ge(1-\delta)L$ である。$\delta\to0$ として $\theta(x)/x\to L$ を得る。
$\psi$ について：von Mangoldt関数 の命題「$\psi$ と $\theta$ の差」の 1 により $(\psi(x)-\theta(x))/x\to0$ なので、$\psi(x)/x\to L$ である。$\square$
$\pi(x)\log x/x$ が $x\to\infty$ で実数 $L$ に収束するならば、$L=1$ である。
積分に書き直す。 Abelの級数変形法とその応用 の定理「総和関数による積分公式」を、数列 $a_n=\Lambda(n)$（総和関数は $\psi$）、$f(t)=1/t$、区間 $[1,X]$ に使う。$\psi(1)=0$ なので、$X>1$ について
$$
\sum_{n\le X}\frac{\Lambda(n)}n=\frac{\psi(X)}X+\int_1^X\frac{\psi(t)}{t^2}\,dt
$$
である。
左辺の大きさ。 von Mangoldt関数 の定理「$\Lambda(n)/n$ の和の評価」により、左辺は $\log X+O(1)$ である。同記事の定理「$\psi$ の上下からの評価」により $0\le\psi(X)/X< 7$ なので、
$$
\int_1^X\frac{\psi(t)}{t}\cdot\frac{dt}{t}=\log X+O(1)\qquad(X\to\infty)
$$
となる。
極限と比べる。 lem-ant-theta により $\psi(t)/t\to L$ である。$\varepsilon>0$ に対し $T\ge1$ を、$t\ge T$ で $|\psi(t)/t-L|\le\varepsilon$ となるようにとる。$X>T$ について、積分を $[1,T]$ と $[T,X]$ に分けると、前者は $X$ によらない定数 $c_T$ で、後者は $(L-\varepsilon)(\log X-\log T)$ 以上 $(L+\varepsilon)(\log X-\log T)$ 以下である。両辺を $\log X$ で割って $X\to\infty$ とすると、上の式から
$$
L-\varepsilon\le1\le L+\varepsilon
$$
を得る。$\varepsilon>0$ は任意なので $L=1$ である。$\square$
この証明が使ったのは、$\psi(t)/t$ の 対数平均 $\frac1{\log X}\int_1^X\frac{\psi(t)}t\frac{dt}t$ が $1$ に収束することだけである。対数平均が $1$ に収束しても、関数そのものが収束するとは限らない（下の反例）。そのため、この議論だけでは極限の存在、つまり素数定理は導けない。素数定理の証明の歴史は 素数定理 の注意「証明の出典と歴史」にあり、Selberg と Erdős による初等的な証明は HW60 §22.14–22.16, pp. 359–367 にある。
$x=10^3,10^6,10^9$ での $\pi(x)$ は $168$、$78498$、$50847534$ であり、$x/\log x$ を整数に丸めた値は $145$、$72382$、$48254942$ である。比 $\pi(x)\log x/x$ はそれぞれ $1.160\ldots$、$1.084\ldots$、$1.053\ldots$ で、ゆっくり $1$ に近づく。
反例：条件を外すと成り立たない
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-ant-chebyshev-limit の、極限が存在するという仮定（対数平均だけを仮定する） | $h(t)=t\,(1+\cos\log t)$ | $h(t)/t$ の対数平均は $1$ に収束するが、$h(t)/t$ は $0$ と $2$ の間を振動して収束しない |
| lem-ant-theta の重み $\log p$（重みを $1$ にする） | $\pi(x)$ そのもの | $\pi(x)/x\to0$ であり、$\pi(x)\log x/x$ の極限と一致しない |
- $u=\log t$ とおくと $\int_1^X\cos(\log t)\frac{dt}{t}=\int_0^{\log X}\cos u\,du=\sin\log X$ は有界なので、$\int_1^X\frac{h(t)}t\frac{dt}t=\log X+O(1)$ である。これは prf-ant-chebyshev-limit で $\psi$ について得た式と同じ形である。一方 $h(t)/t=1+\cos\log t$ は、$t=e^{2\pi m}$ で $2$、$t=e^{(2m+1)\pi}$ で $0$ をとるので、$t\to\infty$ で収束しない。
- 素数定理 の定理「Chebyshevの評価」により、$c_1:=\frac{\log2}4$、$c_2:=7$ とおくと $x\ge2$ で $c_1\le\pi(x)\log x/x\le c_2$ である。よって $\pi(x)/x\le c_2/\log x\to0$ であり、極限 $L$ が存在すれば $L\ge c_1>0$ なので、$\pi(x)/x$ の極限 $0$ は $L$ と一致しない。重み $\log p$ を付けない和は、$x$ ではなく $x/\log x$ と比べるべき量である。
補足
- 初等的な方法と解析的な方法．$\pi(x)$ を $x/\log x$ の定数倍で挟む Chebyshev の評価は、二項係数の素因数分解だけで示せる（素数定理、Bertrandの仮説）。一方、素数定理そのものの解析的な証明は $\zeta(s)$ の性質を使い、Riemannゼータ関数 の零点の位置についての予想（Riemann 予想）が分野の中心的な未解決問題になっている。
- 乗法的な問題と加法的な問題．素数の分布や算術関数の平均のように、整数の積の構造に関わる問題では Dirichlet 級数が中心になる。整数を和で表す問題では、円周法 のように指数和が中心になる。
関連項目
- 前提: 初等整数論, Landau記号, 素数定理
- 比較: 数論, ディオファントス近似
- 道具: Abelの級数変形法とその応用, Riemannゼータ関数, 円周法, 篩法
- 例: von Mangoldt関数, 算術関数の平均位数, Dirichletの算術級数定理, Waringの問題
参考文献
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