閉曲面の分類定理

要点：$X_w$ は多角形の連続像なのでコンパクトかつ連結であり、Hausdorff である（Mun00 Theorem 74.1、p. 450）。局所的に $\mathbb{R}^2$ と同相であることは、辺の内点では 2 つの半円板が直径で貼り合わさり、頂点では頂点の類に属する角たちが扇形として環状に貼り合わさることからわかる。

(iii)(iv)(v) は辺の同一視そのものを変えない（(iv) は頂点の番号の付け直し、(v) は多角形を裏返すことにあたる）。
(i)(ii)：凸多角形 $P$ を対角線 $p_0p_k$ で 2 つの凸多角形 $Q_1$、$Q_2$ に分ける。長さの条件は $Q_1$、$Q_2$ がどちらも 3 つ以上の頂点をもつことを保証する。$Q_1$ と $Q_2$ を離して置いた非交和から $P$ への自然な写像は、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像であり、$P$ は $Q_1\sqcup Q_2$ の 2 つの対角線の写しを貼り合わせた空間である。商写像の合成は商写像なので、$P$ の辺を $y_0y_1$ に従って貼った空間は、$Q_1\sqcup Q_2$ の辺を $y_0c^{-1}$、$cy_1$ に従って一度に貼った空間と同相である。多角形の位置や形を取り替えてよいことは、凸多角形の境界の間の同相写像で各辺の上で 1 次のものが、内部の 1 点からの放射状の延長で多角形全体の同相写像に延びることからわかる。(ii) は (i) の逆である。
(vi)：$y_0aa^{-1}y_1$ を切って $y_0ab$ と $b^{-1}a^{-1}y_1$ にする（$b$ は新しいラベル）。1 つ目の多角形の隣り合う 2 辺 $a$、$b$ がなす折れ線は、2 つ目の多角形の折れ線 $b^{-1}a^{-1}$ と、各辺の上で 1 次の写像で貼り合わされ、ほかの辺とは貼られない。そこで各多角形を、この折れ線を 1 本の辺 $c$ に（中間の頂点を辺の中点に）写す同相写像で取り替えると、貼り合わせは $c$ どうしの 1 次の同一視になり、記号列は $y_0c$ と $c^{-1}y_1$ になる。これを (ii) で貼れば $y_0y_1$ である。$\square$

要点：場合に分け、それぞれ 1 回の「切る」と 1 回の「貼る」（と付け替え・巡回置換・裏返し）で変形する。

要点：1 回ずつの「切る」と「貼る」からなる変形を 4 回行う。どの「切る」でも、切った 2 つの部分はそれぞれ $a^{\pm1}$、$b^{\pm1}$ のうち少なくとも 2 つの辺を含むので、長さの条件はいつもみたされる（$w_0$ や $y_i$ が空でもよい）。

lem-cs-crosscap を「$[y_0]a[y_1]a[y_2]\sim aa[y_0y_1^{-1}y_2]$」の形で 3 回使う。$aba^{-1}b^{-1}=(ab)(ba)^{-1}$ に注意すると、巡回置換により
$$ w\sim cc\,[ab][ba]^{-1}[w_1w_0]\sim[ab]\,c\,[ba]\,c\,[w_1w_0] $$
である（lem-cs-crosscap を右から左へ、$y_0=ab$、$y_1=ba$、$y_2=w_1w_0$ で使った）。これを $[a]\,b\,[c]\,b\,[acw_1w_0]$ と読んで lem-cs-crosscap を使うと $bb\,[ac^{-1}acw_1w_0]$、さらに $[bb]\,a\,[c^{-1}]\,a\,[cw_1w_0]$ と読んで使うと $aa\,[bbccw_1w_0]$ になる。巡回置換で $w_0aabbccw_1$ を得る。$\square$

$w$ の長さ（辺の数）を $2\ell$ とする。固有なので長さは偶数で、多角形なので $2\ell\geq4$ である。3 つの道具を準備する。
道具 A（射影型の対を前へ）．$w$ が射影型なら、同じ長さの $(a_1a_1)\cdots(a_ka_k)\,w'$（$k\geq1$、$w'$ はトーラス型か空）に同値である。実際、同じ指数で 2 回現れるラベル $a$ について、巡回置換で $w=[y_0]a[y_1]a[y_2]$ と書けば lem-cs-crosscap により $w\sim aa\,w_1$ である。$w_1$ にまだ同じ指数の対 $b$ があれば、$aa\,w_1=[aaz_0]\,b\,[z_1]\,b\,[z_2]$ と書いて再び使い、$bb\,aa\,z_0z_1^{-1}z_2$ を得る。前に集めた対は $y_0$ の中にあって崩れない。これを繰り返せばよい。
道具 B（消去）．長さが $6$ 以上で、隣り合う $xx^{-1}$（または $x^{-1}x$）を含むなら、巡回置換で $y_0xx^{-1}y_1$（$y_0$、$y_1$ の長さは $2$ 以上）の形にでき、消去で長さが $2$ 短い記号列に同値になる。消えるのはトーラス型のラベルだけなので、型は変わらない。
道具 C（交換子のとり出し）．$w=w_0w_1$ で、$w_1$ が空でないトーラス型の部分（$w_1$ に現れるラベルは $w_0$ に現れない）で、$w_1$ の中で同じラベルの 2 つが隣り合わないとする。$w_1$ の中で、2 つの現れ方が最も近いラベル $a$ をとる（付け替えで $a$ が先、$a^{-1}$ が後としてよい）。2 つは隣り合わないので間にラベル $b$ がある（付け替えで $b$ の指数を $+1$ としてよい）。$b^{-1}$ は $a$ と $a^{-1}$ の間にはない（あれば $b$ の方が近い）。$b^{-1}$ が $a^{-1}$ の後にあれば $w_1=[y_1]a[y_2]b[y_3]a^{-1}[y_4]b^{-1}[y_5]$ であり、$a$ の前にあれば $b$ の指数を反転し、名前 $a$ と $b$ を入れ替えれば同じ形になる。lem-cs-handle により $w\sim w_0\,aba^{-1}b^{-1}\,w_2$（$w_2$ はトーラス型か空）である。
トーラス型の場合．長さについての帰納法で示す。長さ $4$ のトーラス型の記号列は、巡回置換と付け替えにより $aa^{-1}bb^{-1}$（$a$ の 2 つが隣り合う）か $aba^{-1}b^{-1}$（交差する）のどちらかであり、(1) か (4) である。長さが $6$ 以上のとき、$w\sim h\,w_1$（$h$ は交換子 $aba^{-1}b^{-1}$ の形の部分の積、$w_1$ はトーラス型）の形を、$h$ が空、$w_1=w$ から始めて次のように変えていく。$w_1$ が空なら (4) である。$w_1$ が隣り合う $xx^{-1}$ を含むなら、道具 B で長さが短くなり、帰納法の仮定から (1) か (4) に同値である。そうでなければ道具 C で $h$ に交換子を 1 つ加えられ、$w_1$ は 4 だけ短くなる。この繰り返しは有限回で終わる。
射影型の場合．同じく長さについての帰納法で示す。道具 A で $w\sim(a_1a_1)\cdots(a_ka_k)w'$ とする。長さ $4$ なら、$w'$ が空のとき $aabb$ で (3) であり、$w'$ が $bb^{-1}$ のとき $aabb^{-1}=aa[y_1^{-1}y_2]$（$y_1=b^{-1}$、$y_2=b^{-1}$）と読んで lem-cs-crosscap を逆に使うと $ab^{-1}ab^{-1}$、付け替えで $abab$ となり (2) である（$w'=b^{-1}b$ でも同様）。長さが $6$ 以上のとき、$w'$ が空なら (3) である。$w'$ が隣り合う $xx^{-1}$ を含むなら、道具 B と帰納法の仮定による。そうでなければ道具 C で $w\sim(a_1a_1)\cdots(a_ka_k)\,aba^{-1}b^{-1}\,w_2$ となり、lem-cs-torus-projective を $c=a_k$ で使うと $(a_1a_1)\cdots(a_{k-1}a_{k-1})\,aabb\,a_ka_k\,w_2$、すなわち射影型の対が 2 つ増えてトーラス型の部分が 4 だけ短くなる。これを繰り返すと有限回で (3) に達する。$\square$

(iii)(iv)(v) は辺の同一視を変えないので $V,E,F$ は変わらない。
(i) 切る：$P$ を対角線 $p_0p_k$ で切ると、$p_0$、$p_k$ はそれぞれ 2 つの多角形の頂点として 2 つずつの写しになり、新しいラベル $c$ の同一視がちょうどその写しどうしを同一視する。ほかの頂点と同一視は元のままなので、頂点の類は元の類と一対一に対応し $V$ は変わらない。$E$ と $F$ は $1$ ずつ増えるので $\chi$ は変わらない。(ii) はその逆である。
(vi) 消去：$y_0aa^{-1}y_1$ で、$a$ の辺を $u\to v$、$a^{-1}$ の辺を $v\leftarrow x$（向きは $x$ から $v$）とする頂点 $u,v,x$ をとる。$a$ の同一視は $u$ と $x$、$v$ と $v$ を同一視する。$v$ はこの 2 辺の端点でしかないので、$\{v\}$ は 1 点だけの頂点の類であり、$u$ と $x$ は同じ類に属する。消去後の多角形では $v$ がなくなり、$u$ と $x$ は 1 つの頂点になる。ほかの同一視は変わらないので、$V$ はちょうど $1$ 減る。$E$ は $1$ 減り、$F$ は変わらないので、$\chi$ は変わらない。$\square$

標準形の Euler 標数を数える。$aa^{-1}bb^{-1}$ では、正方形の頂点 $p_0,p_1,p_2,p_3$ について $a$ の同一視が $p_0$ と $p_2$ を、$b$ の同一視が $p_2$ と $p_0$ を同一視し、$p_1$、$p_3$ はそれぞれ単独なので $V=3$、$\chi=3-2+1=2$ である。$abab$ では $\{p_0,p_2\}$、$\{p_1,p_3\}$ の 2 類で $\chi=2-2+1=1$ である。$a_1a_1\cdots a_ma_m$ と $T_n$ の記号列では、すべての頂点が 1 点に同一視されるので（隣り合う頂点が順に同一視されることを確かめればよい）、$\chi=1-m+1=2-m$、$\chi=1-2n+1=2-2n$ である。
thm-cs-normal-form により、トーラス型の $w$ は (1) か (4) に、射影型の $w$ は (2) か (3) に同値であり、prop-cs-euler-invariant により $\chi$ は変わらない。トーラス型の標準形の $\chi$ は $2,0,-2,\dots$ で互いに異なり、射影型の標準形の $\chi$ は $1,0,-1,\dots$ で互いに異なるので、型と $\chi$ から標準形が 1 つに決まる。prop-cs-operations により $X_w$ はその標準形の空間と同相である。$\square$

巡回置換で $cc$ を先頭に移し、lem-cs-torus-projective を $cc$ とその直後の交換子に使うと、交換子が 1 つ減って射影型の対が 2 つ増え、射影型の対の並びの最後はまた $cc$ の形になる。これを $n$ 回繰り返すと、$2n+1$ 個の射影型の対だけが残り、付け替えで (3) の形になる。$\square$

アーベル化の記事の命題「表示からのアーベル化の計算」により、生成元の数を $r$ とすると、アーベル化は $\mathbb{Z}^r$ を関係子の各生成元の指数の和を並べたベクトルが生成する部分群 $L$ で割ったものである。$T_n$ の関係子では各生成元の指数の和が $0$ なので $L=0$、$\pi_1^{\mathrm{ab}}\cong\mathbb{Z}^{2n}$ である。$P_m$ の関係子のベクトルは $(2,2,\dots,2)$ なので、$\mathbb{Z}^m$ の基底を $e_1,\dots,e_{m-1},s$（$s:=e_1+\cdots+e_m$）に取り替えると $L=2\mathbb{Z}s$ であり、$\pi_1^{\mathrm{ab}}\cong\mathbb{Z}^{m-1}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である（$e_1,\dots,e_{m-1},s$ が基底であることは、$e_m=s-e_1-\cdots-e_{m-1}$ からわかる）。$\square$

同相な空間の基本群は同型であり（基本群の記事の命題「誘導準同型の関手性」）、同型な群のアーベル化は同型である。有限生成アーベル群 $A=\mathbb{Z}^r\oplus T$（$T$ は有限群）について、位数が有限の元全体は $T$ であり、$A/T\cong\mathbb{Z}^r$ の $r$ は $\lvert(A/T)/2(A/T)\rvert=2^r$ で決まる。prop-cs-homology から、$S^2$ は $r=0$、$T=0$、$T_n$ は $r=2n$、$T=0$、$P_m$ は $r=m-1$、$T\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。$S^2$ と $T_n$（$n\geq1$）は $r$ で、$T_n$ どうしは $r=2n$ で、$P_m$ どうしは $r=m-1$ で区別され、$P_m$ は $T\neq0$ によって $S^2$、$T_n$ と区別される。$\square$

$X$ を閉曲面とする。
段 1．Radóの定理の記事の定理「Radóの定理」により、$X$ は三角形分割をもつ。
段 2．三角形分割された閉曲面では、各辺がちょうど 2 つの三角形に共有され、さらに頂点 $v$ を共有する 2 つの三角形は、$v$ を頂点とし隣どうしが辺を共有する三角形の列で結ばれる（頂点の同一視は辺の貼り合わせから決まる）ので、$X$ は互いに交わらない有限個の三角形の辺を対にして（各辺の上で 1 次の写像で）貼り合わせた空間と同相である（Mun00 Theorem 78.1、p. 472。この記事では証明しない）。つまり $X$ は三角形 $N$ 個の固有な記号列の組の貼り合わせ空間である。2 つの多角形に同じラベルが現れる限り、必要なら一方を裏返して「貼る」操作を行えば、多角形の数は 1 つずつ減る。どの 2 つの多角形にも共通のラベルがなくなったとき、多角形が 2 つ以上残っていれば、貼り合わせ空間は各多角形の像を開かつ閉な部分としてもち連結でない。$X$ は連結なので、最後には 1 つの多角形の固有な記号列 $w$ が残り、prop-cs-operations により $X\cong X_w$ である（Mun00 Theorem 78.2、p. 475）。
段 3．thm-cs-normal-form と prop-cs-operations により、$X_w$ は $S^2$、$P_1$、$P_m$（$m\geq2$）、$T_n$（$n\geq1$）のどれかと同相である。
段 4．これらが互いに同相でないことは cor-cs-distinct である。$\square$