p進数

$x,y$ が非零なら
$$ x=p^r\frac{a}{b},\qquad y=p^s\frac{c}{d} $$
と書ける。ここで $a,b,c,d$ は $p$ で割り切れない。積は
$$ xy=p^{r+s}\frac{ac}{bd} $$
であり、$ac,bd$ も $p$ で割り切れないから、$v_p(xy)=r+s$ である。
次に $r\leq s$ としてよい。このとき
$$ x+y=p^r\frac{ad+p^{s-r}bc}{bd} $$
である。分母 $bd$ は $p$ で割り切れないから、右辺の付値は少なくとも $r$ である。従って $v_p(x+y)\geq r=\min\{r,s\}$ を得る。さらに $r< s$ なら、$ad$ は $p$ で割り切れず、$p^{s-r}bc$ は $p$ で割り切れるので、その和は $p$ で割り切れない。従ってこの場合の付値はちょうど $r$ である。$x,y,x+y$ のいずれかが $0$ の場合は定義から直接従う。

積の公式は
$$ |xy|_p=p^{-v_p(xy)}=p^{-v_p(x)-v_p(y)}=|x|_p|y|_p $$
から従う。付値が大きいほど $p^{-v_p}$ は小さいので、前命題の不等式は
$$ p^{-v_p(x+y)}\leq p^{-\min\{v_p(x),v_p(y)\}} =\max\{|x|_p,|y|_p\} $$
を与える。付値が異なる場合も同じ変換で等式を得る。従って
$$ d_p(x,z)=|(x-y)+(y-z)|_p \leq\max\{d_p(x,y),d_p(y,z)\} $$
であり、距離の他の公理も絶対値の定義から従う。

$x$ を有理数のp進Cauchy列 $(x_n)$ の類とする。逆三角不等式
$$ \bigl||x_n|_p-|x_m|_p\bigr|\leq |x_n-x_m|_p $$
は通常の絶対値の場合と同様に三角不等式から従うので、$(|x_n|_p)$ は実数のCauchy列である。その極限を $|x|_p$ と置けば、同値な代表列で同じ値を与え、積の公式と強三角不等式も極限へ移る。
$x\ne0$ なら $|x|_p>0$ である。十分大きな $n$ について $|x-x_n|_p<|x|_p$ とでき、強三角不等式の等号条件から $|x_n|_p=|x|_p$ となる。各 $|x_n|_p$ は $p$ の整数冪だから、$|x|_p$ もそうである。同じ理由で十分大きな $n,m$ について $|x_n|_p=|x_m|_p=|x|_p$ であり、特に $x_n\ne0$ である。このとき
$$ |x_n^{-1}-x_m^{-1}|_p =\frac{|x_n-x_m|_p}{|x_n|_p|x_m|_p} =\frac{|x_n-x_m|_p}{|x|_p^2} $$
だから $(x_n^{-1})$ はCauchy列である。その極限を $y$ とすれば、乗法の連続性により $xy=1$ となる。従って非零元は逆元をもち、$\mathbb Q_p$ は体である。完備性は完備化の構成そのものである。

各整数 $a$ は $|a|_p\leq1$ を満たし、$\mathbb Z_p$ は絶対値の連続性により閉なので、$\mathbb Z$ の閉包は $\mathbb Z_p$ に含まれる。
逆に $x\in\mathbb Z_p$ とし、$N\geq1$ を取る。$\mathbb Q$ は $\mathbb Q_p$ に稠密だから、$|x-q|_p< p^{-N}$ となる $q\in\mathbb Q$ を選べる。強三角不等式から $|q|_p\leq1$ である。従って $q=a/b$ と書け、$a,b\in\mathbb Z$ かつ $p$ は $b$ を割らないとしてよい。$b$ は $p^N$ を法として可逆なので、
$$ bc\equiv a\pmod{p^N} $$
を満たす整数 $c$ がある。すると
$$ q-c=\frac{a-bc}{b} $$
のp進付値は $N$ 以上であり、$|q-c|_p\leq p^{-N}$ である。従って
$$ |x-c|_p\leq\max\{|x-q|_p,|q-c|_p\}\leq p^{-N}. $$
$N$ は任意だから、$x$ は整数列の極限である。

$x\in\mathbb Z_p$ を整数のCauchy列 $(x_m)$ で表す。固定した $N$ に対し、十分大きな $m,n$ では $|x_m-x_n|_p\leq p^{-N}$、すなわち $x_m\equiv x_n\pmod{p^N}$ である。従って $(x_m)$ の $p^N$ を法とする剰余類はやがて一定になり、その値を $a_N$ と置ける。これらは自然に両立する。同値なCauchy列は同じ系を与えるので、写像
$$ \Phi\colon\mathbb Z_p\longrightarrow\varprojlim_N\mathbb Z/p^N\mathbb Z $$
を得る。和と積が剰余類ごとに計算されるため、$\Phi$ は環準同型である。
$\Phi(x)=0$ なら、各 $N$ に対して $x$ は $p^N$ の倍数で近似され、$|x|_p\leq p^{-N}$ となる。全ての $N$ でこれが成り立つのは $x=0$ の場合だけなので、$\Phi$ は単射である。
逆に両立系 $(a_N)$ を取り、各 $a_N$ の整数代表 $b_N$ を選ぶ。両立性から $M\geq N$ なら $b_M\equiv b_N\pmod{p^N}$ なので、
$$ |b_M-b_N|_p\leq p^{-N}. $$
従って $(b_N)$ はp進Cauchy列であり、その極限 $x$ は $\mathbb Z_p$ に属する。構成から $\Phi(x)=(a_N)$ であるから、$\Phi$ は全射である。剰余類の一致とp進距離の近さは同じ条件なので、$\Phi$ とその逆は連続である。

まず $x\in\mathbb Z_p$ とする。逆極限表示により、$x$ は各 $N$ における両立した剰余類を定める。$p$ を法とする剰余類にはただ一つの $a_0\in\{0,\ldots,p-1\}$ が属する。$p^2$ を法とする剰余類には、両立性によりただ一つの
$$ a_0+a_1p,\qquad a_1\in\{0,\ldots,p-1\} $$
が属する。これを繰り返すと、各 $N$ についてただ一つの桁 $a_0,\ldots,a_{N-1}$ が定まり、
$$ x\equiv\sum_{n=0}^{N-1}a_np^n\pmod{p^N} $$
となる。従って部分和と $x$ の距離は高々 $p^{-N}$ であり、部分和は $x$ に収束する。一意性も、異なる最初の桁を $k$ とすれば二つの和の差の付値がちょうど $k$ になることから従う。
一般の非零 $x\in\mathbb Q_p$ では、完備化の命題により $m=v_p(x)\in\mathbb Z$ である。$u=p^{-m}x$ は絶対値 $1$ のp進整数なので、$u=\sum_{j=0}^{\infty}b_jp^j$ かつ $b_0\ne0$ と一意的に書ける。両辺に $p^m$ を掛ければ
$$ x=\sum_{n=m}^{\infty}a_np^n $$
を得る。一意性は $m=v_p(x)$ と $u$ の展開の一意性から従う。最後に $x\in\mathbb Z_p$ は $v_p(x)\geq0$ と同値なので、指数の下端に関する主張も従う。

$x\ne0$ の付値は最初の非零桁の指数である。従って $a_0\ne0$ と $v_p(x)=0$、すなわち $|x|_p=1$ は同値である。このとき $|x^{-1}|_p=1$ だから $x^{-1}\in\mathbb Z_p$ であり、$x$ は単元である。逆に $x,y\in\mathbb Z_p$ かつ $xy=1$ なら $1=|x|_p|y|_p$ であり、両因子は $1$ 以下なので $|x|_p=1$ である。$a_0$ は $x$ の $p$ を法とする剰余類だから、残る同値も明らかである。

級数が収束すれば、部分和 $s_n$ に対して $x_n=s_n-s_{n-1}\to0$ である。逆に $x_n\to0$ とする。$m>n$ なら強三角不等式を繰り返して
$$ |s_m-s_n|_p =|x_{n+1}+\cdots+x_m|_p \leq\max_{n< k\leq m}|x_k|_p $$
を得る。右辺は $n\to\infty$ で $0$ へ収束するので、部分和列はCauchy列である。体が完備だから部分和列は収束する。

$\mathbb Z_p$ は完備な $\mathbb Q_p$ の閉部分集合なので完備である。任意の $N\geq1$ に対し、$p^N$ を法とする剰余類は $p^N$ 個しかなく、各剰余類は半径 $p^{-N}$ の球である。従って $\mathbb Z_p$ は任意の正の尺度で有限個の球により覆われ、全有界である。完備かつ全有界な距離空間はコンパクトなので、$\mathbb Z_p$ はコンパクトである。
$x\in\mathbb Z_p$ なら $x+p\mathbb Z_p$ は $x$ の開近傍であり $\mathbb Z_p$ に含まれるから、$\mathbb Z_p$ は開でもある。従って各点 $x\in\mathbb Q_p$ はコンパクトな近傍 $x+p^m\mathbb Z_p$ をもち、$\mathbb Q_p$ は局所コンパクトである。一方、開集合族 $p^{-n}\mathbb Z_p$ は $\mathbb Q_p$ を覆うが有限部分族では覆わない。実際、有限部分族は最大の一つ $p^{-N}\mathbb Z_p$ に含まれ、$p^{-N-1}$ を含まない。従って $\mathbb Q_p$ はコンパクトでない。