存在定理(類体論)

1。$N_L=\ker\theta_{L/K}$ は、有限群への連続な準同型の核なので開であり、$\theta_{L/K}$ は全射なので指数は $[L:K]$ である。
2。$L\subset L''$ なら、イデールのノルムの推移性 $N_{L''/K}=N_{L/K}\circ N_{L''/L}$ から $N_{L''}\subset N_L$ である。よって $N_{LL'}\subset N_L\cap N_{L'}$ である。逆に $a\in N_L\cap N_{L'}$ なら、$\theta_{LL'/K}(a)$ は $L$ と $L'$ への制限がともに自明なので、$LL'$ の上で自明であり、$a\in N_{LL'}$ である。
3。$N_{L'}\subset N_L$ なら 2 から $N_{LL'}=N_{L'}$ で、1 から $[LL':K]=[L':K]$、すなわち $LL'=L'$、$L\subset L'$ である。
4。$A:=\theta_{L/K}(N)$、$M:=L^A$ とする。$\theta_{M/K}(a)=\theta_{L/K}(a)|_M$ が自明であることは $\theta_{L/K}(a)\in A$ と同値で、$N\supset\ker\theta_{L/K}$ なので、これは $a\in N$ と同値である。よって $N_M=\ker\theta_{M/K}=N$ である。$\square$

段 1（次数）。$x\in K_S$ が $x=y^n$（$y\in K^\times$）なら、$v\notin S$ の有限素点で $n\,v(y)=v(x)=0$ なので $y\in K_S$ である。よって $B:=K_S(K^\times)^n$ について $(B:(K^\times)^n)=(K_S:K_S^n)$ である。$S$ 単数定理（類体論の第一不等式 の記事の注意「使う事実」の (F2)）により $K_S\cong\mu(K)\times\mathbb{Z}^{s-1}$ で、$\mu(K)$ は位数が $n$ で割り切れる巡回群なので $K_S/K_S^n\cong(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^s$ である。Kummer理論 の記事の定理「Kummer理論の基本定理」の 1 により、$T=K(B^{1/n})$ はアーベル拡大で $[T:K]=n^s$ である。
段 2（$S$ の外で不分岐）。$K_S/K_S^n$ の代表 $x_1,\dots,x_s$ をとると $T=K(\sqrt[n]{x_1},\dots,\sqrt[n]{x_s})$ である。$v\notin S$ の有限素点 $\mathfrak{p}$ を固定する。$x_i$ は $\mathfrak{p}$ で単数なので、$\mathfrak{d}_i:=\{d\in\mathcal{O}_K\mid dx_i\in\mathcal{O}_K\}$ は $\mathfrak{p}$ に含まれず、$d_i\in\mathfrak{d}_i\setminus\mathfrak{p}$ がとれる。$\sqrt[n]{d_i^nx_i}=d_i\sqrt[n]{x_i}$ なので $x_i$ を $d_i^nx_i$ に取り替えても $T$ は変わらず、$d_i^nx_i$ は $\mathcal{O}_K$ に属し $\mathfrak{p}$ で単数である。よって $\mathfrak{p}$ を調べるときは $x_i\in\mathcal{O}_K$ としてよい（取り替えた $d_i^nx_i$ は $K_S$ の元とは限らないが、以下で使うのは $T$ が変わらないことと $\mathfrak{p}$ での性質だけである）。$\mathfrak{p}$ では $x_i$ は単数で $n$ も単数なので、$X^n-x_i$ の判別式 $\pm n^nx_i^{n-1}$ は単数であり、$\sqrt[n]{x_i}$ の最小多項式の判別式もそれを割る。1 つずつ添加し、代数体における素イデアルの分解 の記事の系「分岐する素イデアルは有限個」と分岐指数の乗法性を使うと、$\mathfrak{p}$ は $T$ で分岐しない。$\mathfrak{p}$ は $S$ の外の任意の有限素点なので、$T/K$ は $S$ の外で分岐しない。
段 3（$C_K(S)\subset N_T$）。$a\in I_K(S)$ の各成分が局所ノルムであることを示す。$v\in S$ が有限素点なら、$T_w$ は $K_v$ にすべての元の $n$ 乗根を添加した体に含まれ、後者のノルム群は $(K_v^\times)^n$ である（局所類体論の存在定理 の記事の命題「最大のKummer拡大のノルム群」）ので、ノルムの推移性から $(K_v^\times)^n\subset N_{T_w/K_v}(T_w^\times)$ である。$v$ が無限素点なら、$n\ge3$ のとき $K$ は実素点をもたず $K_v=\mathbb{C}$ であり、$n\le2$ のとき $(K_v^\times)^n$ は $\mathbb{R}_{>0}$ か $\mathbb{C}^\times$ で局所ノルムである。$v\notin S$ では $a_v$ は単数で $T_w/K_v$ は不分岐なので、$a_v$ は $T_w$ の単数のノルムである（局所類体論 の記事の命題「不分岐拡大のノルム」の (a)）。各 $v$ で 1 つの $w\mid v$ の成分にだけ原像を置き、ほかを $1$ とすると、有限個を除いて単数からなる $J_T$ の元が得られ、そのノルムは $a$ である。よって $I_K(S)\subset N_{T/K}(J_T)$ である。
段 4（$I_K(S)\cap K^\times=K_S^n$）。$\supset$ は明らかである。$y\in I_K(S)\cap K^\times$ とすると $y\in K_S$ であり、$M:=K(\sqrt[n]y)$ は段 2 と同じく $S$ の外で不分岐で、$v\in S$ では $y\in(K_v^\times)^n$ なので $M_w=K_v$ である。$J_K=J_{K,S}K^\times$ なので $C_K$ の元は $J_{K,S}$ の元 $a$ で代表され、段 3 と同じく $a$ の各成分は $M$ からの局所ノルムなので $a\in N_{M/K}(J_M)$ である。よって $N_M=C_K$ で、prop-ext-lattice の 1 により $M=K$、すなわち $y=z^n$（$z\in K^\times$）であり、段 1 の議論で $z\in K_S$ である。
段 5（指数）。$J_K=J_{K,S}K^\times$ と $I_K(S)\subset J_{K,S}$ から
$$ (C_K:C_K(S))=(J_{K,S}K^\times:I_K(S)K^\times)=\frac{(J_{K,S}:I_K(S))}{(K_S:K_S\cap I_K(S))} $$
である（右辺は $J_{K,S}/I_K(S)K_S$ の位数を 2 通りに書いたもの）。有限素点 $v\in S$ では $(K_v^\times:(K_v^\times)^n)=n^2/\lvert n\rvert_v$ であり（Neu99 Chapter II, Corollary (5.8), p. 142。$\mu_n\subset K_v$）、無限素点でも $\lvert\cdot\rvert_v$ を正規化された絶対値（複素素点では通常の絶対値の 2 乗）として同じ式が成り立つ（$\mathbb{C}$ では $1=n^2/n^2$、$n=2$ の $\mathbb{R}$ では $2=4/2$）。$v\notin S$ では $\lvert n\rvert_v=1$ なので、アデール の記事の定理「積公式」から $\prod_{v\in S}\lvert n\rvert_v=1$ で、分子は $n^{2s}$ である。段 4 から分母は $(K_S:K_S^n)=n^s$ である。よって $(C_K:C_K(S))=n^s$ である。
段 3 と prop-ext-lattice の 1 から $C_K(S)\subset N_T$、$(C_K:N_T)=[T:K]=n^s=(C_K:C_K(S))$ なので、$N_T=C_K(S)$ である。$\square$

段 1（$M/K$ は Galois）。$\sigma$ を $K$ の代数閉包の $K$ 上の自己同型とする。$\sigma(L)=L$ であり、$\sigma|_L$ は $C_L$ に作用して $N_{L/K}(\sigma x)=N_{L/K}(x)$ を満たすので $\sigma(H')=H'$ である。$\sigma(M)/L$ はアーベル拡大で、$\sigma$ によってノルムを移すとそのノルム群は $\sigma(N_{M/L}C_M)=\sigma(H')=H'$ である。prop-ext-lattice の 3（基礎体 $L$）により $\sigma(M)=M$ なので、$M/K$ は Galois 拡大である。
段 2（$\operatorname{Gal}(M/K)$ はアーベル群）。$E:=\operatorname{Gal}(M/K)$、$A:=\operatorname{Gal}(M/L)$ とし、$\theta:=\theta_{M/L}\colon C_L\to A$ とする。$\tilde\sigma\in E$ と、その $L$ への制限 $\sigma$ について
$$ \theta(\sigma x)=\tilde\sigma\,\theta(x)\,\tilde\sigma^{-1}\qquad(x\in C_L)\qquad(1) $$
である（下の確認）。$N_{L/K}(\sigma(x)x^{-1})=1\in H$ なので $\sigma(x)x^{-1}\in H'=\ker\theta$ であり、(1) から $\tilde\sigma$ は $\theta(C_L)=A$ のすべての元と可換である。よって $A$ は $E$ の中心に含まれる。$E/A\cong\operatorname{Gal}(L/K)$ は巡回群なので、その生成元の持ち上げ $\tau$ と $A$ で $E$ は生成され、$\tau$ は $A$ と可換なので $E$ はアーベル群である。

$a\in J_K$ に $\alpha a\in W_{\mathfrak{m}}$ となる $\alpha\in K^\times$ をとり、$\varphi(a):=\iota^{\mathfrak{m}}(\alpha a)\bmod P_{K,\mathfrak{m}}$ とおく。大域類体論 の記事の命題「イデールの形の相互法則」の証明の 1 と同じく、$\varphi\colon J_K\to I_K^{\mathfrak{m}}/P_{K,\mathfrak{m}}$ は $\alpha$ によらない準同型で、$\varphi(c_{\mathfrak{a}})=[\mathfrak{a}]$ から全射であり、$K^\times W_{\mathfrak{m}}^1\subset\ker\varphi$ である。逆に $\varphi(a)=1$ なら、$\iota^{\mathfrak{m}}(\alpha a)=(\beta)$ で、$\beta\equiv1\pmod{^\times\mathfrak{m}_0}$ かつ $\mathfrak{m}_\infty$ で正にとれる。Artin写像とArtin相互法則 の記事の補題「ノルムと合同条件」の 1 により $\beta\in W_{\mathfrak{m}}$ であり、$\beta^{-1}\alpha a\in W_{\mathfrak{m}}^1$ なので $a\in K^\times W_{\mathfrak{m}}^1$ である。よって $\ker\varphi=K^\times W_{\mathfrak{m}}^1$ である。
$\hat H:=\varphi^{-1}(H/P_{K,\mathfrak{m}})/K^\times\subset C_K$ は開部分群 $W_{\mathfrak{m}}^1$ の像を含むので開であり、$C_K/\hat H\cong I_K^{\mathfrak{m}}/H$ は射類群の商なので有限である（類体論の第二不等式 の記事の注意「使う事実」の (A1)）。thm-ext-main により $N_L=\hat H$ となる有限次アーベル拡大 $L$ があり、$\operatorname{Gal}(L/K)\cong C_K/\hat H\cong I_K^{\mathfrak{m}}/H$ である。$\mathfrak{m}$ で割り切れる $L/K$ の定義法 $\mathfrak{n}$ をとる。$\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{n}_0$ なら、大域類体論 の記事の同命題の 3 により $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}(L/K)=\theta_{L/K}(c_{\mathfrak{p}})$ であり、これが自明であることは $c_{\mathfrak{p}}\in N_L=\hat H$、すなわち $\varphi(c_{\mathfrak{p}})=[\mathfrak{p}]\in H/P_{K,\mathfrak{m}}$ と同値である。例外は $\mathfrak{n}_0$ を割り $\mathfrak{m}_0$ を割らない有限個の素イデアルだけである。
一意性：条件を満たす $L,L'$ は、有限個を除いて同じ素イデアルが完全分解するので、Chebotarevの密度定理 の記事の系「完全分解する素イデアルによる Galois 拡大の決定」により $L=L'$ である。$\square$