基底と次元

1 と 2 の同値。$B$ が生成することは「各元が線形結合で表される」ことであり、その表し方が一意であることと $B$ が線形独立であることの同値は 線形独立 の記事の定理「線形独立性の同値条件」の 1 と 3 の同値である（有限部分集合ごとに適用すればよい）。
1 と 4 の同値は 線形独立 の記事の命題「極大線形独立集合と基底」である。
1 ならば 3。$B$ が基底で、$B'\subsetneq B$ が $V$ を生成したとする。$b\in B\setminus B'$ をとると、$b\in V=\operatorname{span}(B')$ であるから $b$ は $B'$ の有限個の元の線形結合 $b=\sum_ia_ib_i$（$b_i\in B'$、$b_i\ne b$）で書ける。すると $1\cdot b-\sum_ia_ib_i=0$ は $B$ の元の非自明な線形関係であり、$B$ の線形独立性に反する。
3 ならば 1。$B$ が極小な生成系で線形独立でないとする。$B$ の相異なる元 $b_1,\ldots,b_n$ と、すべては $0$ でない係数 $a_1,\ldots,a_n$ で $\sum_ia_ib_i=0$ となるものがある。$a_j\ne0$ とすると、体の非零元は可逆であるから $b_j=-a_j^{-1}\sum_{i\ne j}a_ib_i\in\operatorname{span}(B\setminus\{b_j\})$ である。すると $B\subset\operatorname{span}(B\setminus\{b_j\})$ であり、ベクトル空間の記事の命題「線形包は最小の部分空間」により $V=\operatorname{span}(B)\subset\operatorname{span}(B\setminus\{b_j\})$ となる。よって真部分集合 $B\setminus\{b_j\}$ が $V$ を生成し、極小性に反する。$\square$

$V$ を生成する $S$ の部分集合全体の集まりを $\mathcal{G}$ とおく。$S\in\mathcal{G}$ であるから $\mathcal{G}$ は空でなく、各元は有限集合である。したがって元の個数が最小の $B\in\mathcal{G}$ が存在する（自然数の部分集合が最小元をもつことによる）。$B$ は $V$ を生成し、$B$ の真部分集合 $B'$ は元の個数が $B$ より少ないので $\mathcal{G}$ に属さない、すなわち $V$ を生成しない。よって $B$ は極小な生成系であり、thm-basis-and-dimension-characterizationの 3 により基底である。$V=\{0\}$ のときは $B=\emptyset$ がとれる。$\square$

1 を示す。$S=\{u_1,\ldots,u_n\}$ を $V$ の有限な生成系、$L$ を線形独立な部分集合とする。$L$ の任意の有限部分集合 $\{w_1,\ldots,w_m\}$ は線形独立であるから、Steinitzの交換補題（線形独立 の記事の定理「Steinitzの交換補題の言明」）により $m\le n$ である。$L$ が $n+1$ 個以上の元をもてば、そのうち $n+1$ 個をとって矛盾するから、$L$ は高々 $n$ 個の元からなる有限集合である。
2 を示す。thm-basis-and-dimension-existence-finiteにより有限な基底 $B$ が存在する。$B'$ を任意の基底とする。$B'$ は線形独立で $B$ は有限な生成系であるから、1 により $B'$ は有限で $|B'|\le|B|$ である。すると $B'$ も有限な生成系であり、$B$ は線形独立であるから、再び 1 により $|B|\le|B'|$ である。よって $|B|=|B'|$ である。$\square$

1 を示す。前半はthm-basis-and-dimension-uniquenessの 1 である（$V$ は $n$ 個の元からなる基底を生成系としてもつ）。$v_1,\ldots,v_n$ を線形独立とし、基底でないと仮定すると生成しないので、$v\in V\setminus\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_n\}$ がとれる。線形独立 の記事の命題「一ベクトルの追加」により $v_1,\ldots,v_n,v$ は $n+1$ 個の線形独立なベクトルとなり、前半に反する。
2 を示す。$S$ を生成系とする。$S$ が有限ならthm-basis-and-dimension-existence-finiteにより $S$ は基底 $B$ を含み、thm-basis-and-dimension-uniquenessの 2 により $|B|=n$ であるから $|S|\ge n$ である。$S$ が無限なら主張は明らかである。$S$ がちょうど $n$ 個の元からなるとき、$B\subset S$ かつ $|B|=n=|S|$ であるから $S=B$ は基底である。
3 を示す。$W$ が有限次元で $\dim W\le n$ であることは 線形代数学 の記事の補題「部分空間の基底と基底の延長」の 1 による。$\dim W=n$ とし、$W$ の基底 $w_1,\ldots,w_n$ をとると、これらは $V$ の $n$ 個の線形独立なベクトルであるから 1 により $V$ の基底であり、$W=\operatorname{span}\{w_1,\ldots,w_n\}=V$ である。逆に $W=V$ なら $\dim W=n$ である。$\square$

$W_1\cap W_2$ は部分空間である（ベクトル空間の記事の命題「部分空間の共通部分と和」）から有限次元であり、その基底 $u_1,\ldots,u_k$ をとる。これは $W_1$ の線形独立な族であるから、線形代数学 の記事の補題「部分空間の基底と基底の延長」の 2 により $v_1,\ldots,v_p$ を付け加えて $W_1$ の基底にできる。同様に $w_1,\ldots,w_q$ を付け加えて $W_2$ の基底にできる。$\dim W_1=k+p$、$\dim W_2=k+q$、$\dim(W_1\cap W_2)=k$ であるから、
$$ u_1,\ldots,u_k,\ v_1,\ldots,v_p,\ w_1,\ldots,w_q $$
が $W_1+W_2$ の基底であることを示せば、$\dim(W_1+W_2)=k+p+q$ となり主張が従う。
生成すること。$W_1+W_2$ の元 $x_1+x_2$（$x_i\in W_i$）について、$x_1$ は $u,v$ たちの、$x_2$ は $u,w$ たちの線形結合であるから、和は上の族の線形結合である。
線形独立であること。$\sum_ia_iu_i+\sum_jb_jv_j+\sum_lc_lw_l=0$ とする。$y:=\sum_lc_lw_l$ とおくと $y\in W_2$ であり、また $y=-\sum_ia_iu_i-\sum_jb_jv_j\in W_1$ である。よって $y\in W_1\cap W_2$ であり、$y=\sum_id_iu_i$ と書ける。すると $\sum_lc_lw_l-\sum_id_iu_i=0$ であり、$u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_q$ は $W_2$ の基底で線形独立であるから、すべての $c_l$（と $d_i$）は $0$ である。したがって $y=0$ で、$\sum_ia_iu_i+\sum_jb_jv_j=0$ となり、$u_1,\ldots,u_k,v_1,\ldots,v_p$ の線形独立性からすべての $a_i,b_j$ は $0$ である。$\square$