Killing–Hopfの定理

$\gamma(t):=\exp_p(t\theta)$（$0\le t\le r$）とし、$J$ を $\gamma$ に沿う $J(0)=0$、$J'(0)=w$ の Jacobi 場とする。区間 $[0,r]$ はコンパクトなので、Jacobi場 の定理「Jacobi場は測地線による変分から生じる」の 2 により $J(t)=d(\exp_p)_{t\theta}(tw)$、とくに $d(\exp_p)_v(w)=J(r)/r$ である。$J$ を接成分と法成分に分ける（同記事の命題「接成分と法成分への分解」）。接成分は $J(0)=0$、$J'(0)$ の接成分が $a\theta$ なので $at\,\dot\gamma(t)$ である。法成分 $J^\perp$ は $J^\perp(0)=0$、$(J^\perp)'(0)=w^\perp$ の法 Jacobi 場なので、同記事の命題「定曲率空間のJacobi場」により $J^\perp(t)=s_c(t)E(t)$（$E$ は $w^\perp$ を平行移動した場）である。2 つは直交し、$|\dot\gamma|=1$、$|E(t)|=|w^\perp|$ なので $|J(r)|^2=a^2r^2+s_c(r)^2|w^\perp|^2$ である。$r^2$ で割ればよい。$\square$

$x=\exp_pv$（$v\in W$）とすると $dF_x=d(\exp_q)_{\iota v}\circ\iota\circ\bigl(d(\exp_p)_v\bigr)^{-1}$ なので、すべての $w\in T_pM$ について $|d(\exp_q)_{\iota v}(\iota w)|=|d(\exp_p)_v(w)|$ を示せばよい。そうすれば $dF_x$ は長さを保つ線形写像で、極化恒等式により内積を保ち、単射なので同じ次元の空間の間の線形同型である。
$v=0$ なら $d(\exp_p)_0$、$d(\exp_q)_0$ は恒等写像（正規座標）なので明らかである。$v=r\theta\neq0$ とする。$W$ は星形なので $\exp_p$ は線分 $\{tv\}$ の上で、$\exp_q$ は線分 $\{t\iota v\}$ の上で定義される。$\iota$ は内積を保つので $|\iota v|=r$、$g(w,\theta)=h(\iota w,\iota\theta)$、$|(\iota w)^\perp|=|w^\perp|$（$\perp$ はそれぞれ $\iota\theta$、$\theta$ に直交する成分）である。lem-kh-dexp の右辺は $r$、$a$、$|w^\perp|$ と $c$ だけで決まるので、両者は等しい。最後に $F(p)=\exp_q(0)=q$ と $dF_p=\iota$ は $v=0$ の場合から従う。$\square$

$A:=\{x\in M\mid\phi(x)=\psi(x),\ d\phi_x=d\psi_x\}$ は $p$ を含み、$\phi,\psi$ とその微分の連続性から閉集合である。$x\in A$ とし、$\varepsilon>0$ を $\exp_x$ が $B_\varepsilon(0)$ の上で定義されて微分同相になるようにとる（正規座標）。$v\in B_\varepsilon(0)$ について、$t\mapsto\phi(\exp_x(tv))$ は初速度 $d\phi_x(v)$ の測地線なので $\phi(\exp_xv)=\exp_{\phi(x)}(d\phi_x(v))$ であり、$\psi$ についても同じ式が成り立つ。$d\phi_x=d\psi_x$ なので $\phi$ と $\psi$ は開集合 $\exp_x(B_\varepsilon(0))$ の上で一致し、そこで微分も一致する。よって $A$ は開集合でもあり、$M$ の連結性から $A=M$ である。$\square$

$\varepsilon>0$ を、$\exp_p$ と $\exp_q$ がそれぞれ半径 $\varepsilon$ の開球の上で定義されて微分同相になるようにとり、$\iota$ を内積を保つ線形同型とする。lem-kh-exp-isometry を $W=B_\varepsilon(0)$ に当てると、$F=\exp_q\circ\iota\circ(\exp_p|_W)^{-1}$ は微分同相写像の合成で全単射な局所等長写像、すなわち $\exp_p(W)$ から $\exp_q(\iota W)$ への等長写像である。$\square$

$M^n_c$ の点 $p$ と $q\in M$ をとり、内積を保つ線形同型 $\iota\colon T_pM^n_c\to T_qM$ を 1 つ選ぶ（どちらも $n$ 次元の内積空間である）。$M$ は完備なので $\exp_q$ は $T_qM$ 全体で定義される。
$c\le0$ の場合。 $M$ は完備で単連結で、断面曲率は $c\le0$ なので、Cartan–Hadamardの定理（主定理の 3）により $\exp_q\colon T_qM\to M$ は微分同相写像である。$M^n_c$ も同じ仮定を満たすので、$\exp_p\colon T_pM^n_c\to M^n_c$ も微分同相写像である。lem-kh-exp-isometry を $W=T_pM^n_c$ に当てると、$F=\exp_q\circ\iota\circ\exp_p^{-1}\colon M^n_c\to M$ は局所等長写像であり、3 つの全単射の合成なので全単射である。よって $F$ は等長写像である。
$c>0$ の場合。 $a:=1/\sqrt c$、$S:=S^n(a)$ とする。$S$ の測地線は大円をたどるので（Lee18 Proposition 5.27（p. 137））、単位ベクトル $\theta\in T_pS=p^\perp$ について $\mathbb R^{n+1}$ の中で
$$ \exp_p(t\theta)=\cos(t/a)\,p+a\sin(t/a)\,\theta $$
である。$W:=B_{\pi a}(0)\subset T_pS$ とすると、$\exp_p|_W$ は $W$ から $S\setminus\{-p\}$ への微分同相写像である。実際、$x\in S\setminus\{-p\}$ は $x=\cos\varphi\,p+a\sin\varphi\,\theta$（$0\le\varphi< \pi$、$\theta\perp p$ は単位ベクトル）とただ 1 通りに書けるので（$\cos\varphi=\langle x,p\rangle/a^2$ で $\varphi$ が決まり、$\varphi>0$ なら $\theta$ も決まる）、$\exp_p|_W$ は全単射である。さらに $0< r< \pi a$ で $s_c(r)=a\sin(r/a)>0$ なので、lem-kh-dexp により $d(\exp_p)_v$（$v\in W$）は単射で、$\exp_p|_W$ は局所微分同相である。
lem-kh-exp-isometry により、$F:=\exp_q\circ\iota\circ(\exp_p|_W)^{-1}\colon S\setminus\{-p\}\to M$ は局所等長写像である。$p'\in S$ を $p'\neq\pm p$ にとり、$q':=F(p')$、$\iota':=dF_{p'}$ とおく。同じ構成で局所等長写像 $F'\colon S\setminus\{-p'\}\to M$ で $F'(p')=q'$、$dF'_{p'}=\iota'$ となるものがある。$\Omega:=S\setminus\{-p,-p'\}$ は、$-p$ からの 立体射影 で $\mathbb R^n$ から 1 点を除いた集合と同相なので、$n\ge2$ により連結である。$F|_\Omega$ と $F'|_\Omega$ は $p'\in\Omega$ で値と微分が一致する局所等長写像なので、lem-kh-rigidity により $\Omega$ の上で一致する。よって
$$ G(x):=F(x)\ (x\neq-p),\qquad G(-p):=F'(-p) $$
は矛盾なく定まり、$S\setminus\{-p'\}$ の上では $F'$ に等しいので、$G\colon S\to M$ は局所等長写像である。
$S$ はコンパクトなので完備であり、$M$ も完備で連結なので、Cartan–Hadamardの定理 の補題「完備な多様体からの局所等長写像」により $G$ は被覆写像である。$M$ は単連結で $S$ は弧状連結なので、ファイバーの濃度は自明な群の中での部分群の指数 $1$ に等しい（被覆空間 の定理「基本群との関係」の 2）。よって $G$ は全単射な局所等長写像、すなわち等長写像である。$\square$

要点：1 は普遍被覆に引き戻した計量に主定理を当て、被覆変換群を $\Gamma$ とする。2 は商の計量の存在と、局所等長写像による完備性の遺伝による。