実入射多様体
概要
実入射多様体（real incidence manifold）とは、有限次元実ベクトル空間の直線と、その直線を含む超平面の組からなる多様体である。直交二枠の空間を二つの符号変更で割った商として表せる。実コホモロジー環は周囲の次元の偶奇で異なり、球面の接束のGysin列と有限被覆の不変部分から計算できる。
前提知識: 射影空間, Stiefel多様体, 被覆空間, de Rhamコホモロジー, Gysin列, Euler類
定義と二つの射影
実ベクトル空間の中で、一つの直線とそれを含む超平面を同時に動かしてみる。直線だけを記録すれば実射影空間になり、超平面だけを記録しても双対の実射影空間になる。しかし二つを独立には選べない。「直線が超平面に入る」という条件で結ばれた組の空間が、ここで扱う実入射多様体である。これは実の部分旗多様体の具体例であり、実射影空間の点とその点を通る射影超平面の組とも読める。
有限次元実ベクトル空間 $V$ に対し、その実入射多様体（real incidence manifold）を
$$
Y(V)=\{(L,H)\mid L\subset H\subset V,\ \dim L=1,\ \dim H=\dim V-1\}
$$
と定める。位相と滑らかな構造は、実射影空間の積 $\mathbb P(V)\times\mathbb P(V^*)$ の中の方程式
$$
Y(V)=\{([x],[\ell])\mid \ell(x)=0\}
$$
によって与える。第二成分 $[\ell]$ は超平面 $H=\ker\ell$ に対応する。以下、$n=\dim_{\mathbb R}V$ とし、コホモロジーの係数は特記しない限り $\mathbb R$ とする。
直線は向きをもたない。すなわち、零でない $x$ と $-x$ は同じ直線を定める。同様に $\ell$ と $-\ell$ は同じ超平面を定める。二つの符号を別々に忘れることが、後のコホモロジー計算で重要になる。
超平面を双対射影空間で表す対応は単なる記号ではない。零でない線形形式 $\ell$ の核は余次元一であり、同じ核をもつ二つの線形形式は非零実数倍である。逆に超平面 $H$ の零化空間
$$
H^0=\{\ell\in V^*\mid \ell|_H=0\}
$$
は一次元だから、その直線が $H$ を復元する。座標で $\ell_i\ne0$ の領域を取り $\ell_i=1$ と正規化すると、核は第 $i$ 座標を残りの座標の一次式で表したグラフになる。係数の復元も滑らかなので、超平面全体と $\mathbb P(V^*)$ の対応は滑らかな構造まで保つ。
記法
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $Y_n$ | $Y(\mathbb R^n)$ |
| $W_n$ | 直交する単位ベクトル二本の空間 $V_2(\mathbb R^n)$ |
| $q:W_n\to Y_n$ | 二つのベクトルの符号を忘れる写像 |
| $\pi:W_n\to S^{n-1}$ | 第一ベクトルを取る写像 |
| $a,b$ | 第一、第二ベクトルの符号だけを変える変換 |
| $u$ | $\int_{S^{n-1}}u=1$ と正規化した最高次コホモロジー類 |
記法 $Y_n$ の添字は多様体の次元ではなく、周囲のベクトル空間の次元である。たとえば $Y_3$ は三次元、$Y_4$ は五次元になる。複素ベクトル空間上の旗多様体とは係数体も実次元も異なるので、複素の胞体計算をそのまま適用しない。
$n\ge2$ のとき、$Y_n$ はコンパクトな境界のない滑らかな多様体で、次元は $2n-3$ である。直線または超平面を忘れる射影のファイバーは、ともに $\mathbb{RP}^{n-2}$ である。
直線 $L$ を固定すると、$L$ を含む超平面は $V/L$ の超平面と同じであり、その全体は $\mathbb P((V/L)^*)$ である。実射影空間上の普遍直線束を $S$、商束を $Q=(V\times\mathbb P(V))/S$ とすれば、直線の規約による射影化を用いて
$$
Y(V)\cong\mathbb P(Q^*)
$$
と書ける。商束の局所自明化により、第一射影は局所的に開集合と $\mathbb{RP}^{n-2}$ の積になる。したがって滑らかな境界のない多様体であり、次元は $(n-1)+(n-2)=2n-3$ である。第二射影についても、超平面 $H$ の中の直線全体が $\mathbb P(H)$ だから同様である。
コンパクト性は積の中の定義からも分かる。単位代表元で見れば条件 $\ell(x)=0$ は閉条件である。これは各射影座標領域でも同じ零点条件なので、$Y(V)$ は二つのコンパクトな実射影空間の積の閉部分集合になる。よってコンパクトである。$\square$
この証明で用いた $\mathbb P(Q^*)$ は、各ファイバーの一次元部分空間を集めた空間である。可逆商を集める規約を使う場合には双対の位置が変わる。ここでは「超平面は線形形式の核」という対応から定義に戻れば、どちらを射影化するかを確かめられる。
直交二枠による四重被覆
内積を一つ選ぶと、超平面 $H$ は法線の直線 $H^\perp$ に対応する。条件 $L\subset H$ は $L\perp H^\perp$ と同値である。そこで直線を単位ベクトルで表し、符号を忘れる前の空間を考える。
$n\ge2$ とする。
$$
W_n=\{(v,w)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n\mid
\|v\|=\|w\|=1,\ \langle v,w\rangle=0\}
$$
上の二つの変換
$$
a(v,w)=(-v,w),\qquad b(v,w)=(v,-w)
$$
は自由な群作用を定める。その群は $G=\{1,a,b,ab\}\cong(\mathbb Z/2)^2$ であり、
$$
q(v,w)=(\mathbb Rv,w^\perp)
$$
は四重の滑らかな被覆で、$W_n/G\cong Y_n$ である。
$a^2=b^2=1$、$ab=ba$ は式から分かる。$a$ の固定点なら $v=-v$ でなければならないが、単位ベクトルにこれは起こらない。$b$ と $ab$ にも固定点はない。したがって作用は自由である。
$q$ は符号変更で変わらない。逆に $q(v,w)=q(v',w')$ なら、$v'$ は同じ直線上の単位ベクトルだから $v'=\pm v$ であり、$w'$ も同じ法線直線上の単位ベクトルだから $w'=\pm w$ である。二つの符号は独立なので各ファイバーは四点である。任意の $(L,H)\in Y_n$ に対し $L$ と $H^\perp$ の単位ベクトルを選べば直交二枠になるため、$q$ は全射でもある。
局所的な逆を作る。ある点の近くで、$L$ の第 $i$ 座標と $H^\perp$ の第 $j$ 座標がそれぞれ零でない領域を取る。各直線上の単位代表元のうち、指定座標が正であるものを選ぶと、二つの単位代表元が滑らかに定まる。内積が零であることは直線の条件から保たれる。この局所切断に二つの独立な符号変更を施すことで、互いに交わらない四つの局所逆が得られる。したがって $q$ は滑らかな四重被覆である。ファイバーがちょうど $G$ の軌道であるから、誘導される商写像は局所座標でも同型であり、$W_n/G\cong Y_n$ を得る。$\square$
この被覆は向きの忘れ方を明確にする。$(v,w)$ は向き付きの二本の軸を表すが、$Y_n$ が記録するのは向きのない直線と向きのない法線である。両方を同時に変える $ab$ だけで割ると、被覆の次数は二にしかならず、別の空間になる。
第一ベクトルだけを見る $\pi$ のファイバーは、$v^\perp=T_vS^{n-1}$ の単位球面である。従って
$$
S^{n-2}\longrightarrow W_n\xrightarrow{\ \pi\ }S^{n-1}
$$
は球面の接束の単位球面束である。入射多様体そのものを球面束とするのではなく、まず四重被覆をこの球面束に置き換えるのが計算の要点である。
次の図式では、右の縦射影は直線を取り、下の写像は単位ベクトルの符号を忘れる。
$$
\begin{CD}
W_n @>{q}>> Y_n\\
@V{\pi}VV @VV{(L,H)\mapsto L}V\\
S^{n-1} @>>> \mathbb{RP}^{n-1}
\end{CD}
$$
可換性は、どちらの経路でも $(v,w)$ を $\mathbb Rv$ に送るという等式である。ただし上の被覆は四重、下の被覆は二重であり、この図式だけで両方のファイバーを同一視してはいけない。
有限被覆と不変な微分形式
被覆空間のコホモロジーを計算しても、それがそのまま底空間のコホモロジーになるわけではない。底へ降りるのは、被覆の各枝を入れ替えても変わらない部分である。実係数では有限群の平均を取れるため、この部分を明示的に取り出せる。
有限群 $G$ が滑らかな多様体 $W$ に自由に作用し、商写像 $p:W\to Z=W/G$ が滑らかな被覆であるとする。引き戻しは実係数の次数付き環同型
$$
p^*:H^*(Z;\mathbb R)\xrightarrow{\ \sim\ }H^*(W;\mathbb R)^G
$$
を与える。右辺は全 $g\in G$ について $g^*c=c$ を満たす類の部分環である。
まず微分形式の段階で $\Omega^*(Z)\cong\Omega^*(W)^G$ を示す。底の形式の引き戻しが不変であることは $p\circ g=p$ から分かる。逆に不変形式 $\omega$ を取り、被覆が自明化する開集合 $U\subset Z$ 上で局所逆 $s:U\to W$ を一つ選び、$s^*\omega$ を定める。他の枝を選ぶと局所的に $g\circ s$ となるので、不変性により同じ形式になる。重なりでも値が一致するから、これらは $Z$ 上の形式に貼り合わさる。この構成は外微分と外積を保つ。
次に、不変部分複体のコホモロジーとコホモロジーの不変部分の一致を示す。線形写像
$$
P(\omega)=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}g^*\omega
$$
は $dP=Pd$ と $P^2=P$ を満たし、その像は不変形式全体である。不変なコホモロジー類 $c=[\omega]$ の閉形式代表を取ると、
$$
[P\omega]=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}g^*c=c
$$
だから、$c$ には不変な閉形式代表がある。これで全射性が分かる。
一方、不変な閉形式 $\omega$ が全形式複体では完全、すなわち $\omega=d\eta$ であるとする。このとき $\omega=P\omega=d(P\eta)$ であり、不変な原始形式 $P\eta$ をもつ。従って不変部分複体から全形式複体への写像はコホモロジー上単射である。
以上により所望の線形同型を得る。環構造については、$P$ 自身が積を保つと主張する必要はない。不変形式の包含と $p^*$ はいずれも外積を保ち、既にそれらがコホモロジー上同型だと分かったから、誘導された同型は環同型である。de Rham同型の自然性により、これは同じ引き戻し $p^*$ による実特異コホモロジー環の同型でもある。$\square$
ここで群が有限であることと、$|G|$ で割れる係数を使うことの両方が働いている。積を計算するときは、まず被覆側の環を求め、その上の実際の群作用を計算し、最後に不変な元を取る。Betti数を単に被覆の次数で割る方法ではない。また、群作用が自明なコホモロジー類でも、選んだ微分形式代表が最初から不変とは限らない。平均はこの代表の問題を解決している。
実コホモロジー環の計算
まず球面束を計算する
$n\ge3$ とし、$m=n-1$ と置く。標準向きをもつ球面 $S^m$ の接束のEuler類は
$$
e(TS^m)=(1+(-1)^m)u,\qquad \int_{S^m}u=1
$$
である。これはEuler類の最高次評価がEuler標数に等しいことと、球面のEuler標数が $1+(-1)^m$ であることによる。ここでEuler類は接束の向きから定めたものを使い、別の球面束の類を代入しない。Euler類とこの評価の一般論は Euler類 を参照する。
本計算で必要な Gysin列 は、同じ射影 $\pi:W_n=S(TS^m)\to S^m$ に対する
$$
\cdots\longrightarrow H^{j-m}(S^m)
\xrightarrow{\ \smile e\ }H^j(S^m)
\xrightarrow{\pi^*}H^j(W_n)
\xrightarrow{\pi_!}H^{j-m+1}(S^m)
\xrightarrow{\ \smile e\ }H^{j+1}(S^m)
\longrightarrow\cdots
$$
である。$\pi_!$ は向き付きのファイバー $S^{m-1}$ に沿う積分で、次数を $m-1$ 下げる。後で積を確かめる際には、同じ写像についての射影公式
$$
\pi_!(\pi^*x\smile y)=x\smile\pi_!y
$$
を使う。列に現れる各矢印を固定することで、群として同じ次元になるというだけの計算を、積を保つ計算へつなげられる。
$n\ge3$ とする。
- $n$ が奇数のとき、$H^*(W_n;\mathbb R)$ は次数 $0$ と $2n-3$ でのみ一次元である。最高次の生成元を $z$ とすれば、環は $\mathbb R[z]/(z^2)$ である。
- $n\ge4$ が偶数のとき、$A=\pi^*u$ と $\pi_!B=1$ を満たす $B$ を取り、
$$ H^*(W_n;\mathbb R)=\mathbb R[A,B]/(A^2,B^2), \quad |A|=n-1,\quad |B|=n-2 $$
と書ける。右辺の積は次数付き可換な積である。
球面の実コホモロジーは次数 $0,m$ にだけ存在する。$n$ が奇数、すなわち $m$ が偶数なら $e=2u$ であり、写像
$$
H^0(S^m)\xrightarrow{\ \smile e\ }H^m(S^m)
$$
は $\mathbb R$ 上の同型である。Gysin列のうち、この二群に接する箇所以外は零群ばかりになる。従って $H^j(W_n)$ は $j=0,2m-1$ にのみ存在し、それぞれ $\mathbb R$ である。最高次の生成元の平方は、多様体の次元 $2m-1$ より高い次数にあるから零である。
$n$ が偶数なら $m$ は奇数で、$e=0$ である。列は各次数で
$$
0\longrightarrow H^j(S^m)\xrightarrow{\pi^*}H^j(W_n)
\xrightarrow{\pi_!}H^{j-m+1}(S^m)\longrightarrow0
$$
を与える。非零になる次数は $0,m-1,m,2m-1$ であり、各群は一次元である。$A=\pi^*u$ は次数 $m$ の生成元であり、次数 $m-1$ では $\pi_!$ が同型だから、$\pi_!B=1$ となる $B$ が存在する。
射影公式により $\pi_!(AB)=u$ である。従って $AB\ne0$ で、次数 $2m-1$ の生成元を与える。$A^2=0$ は $u^2=0$ からも従う。$B^2$ の次数は $2m-2$ だが、$m\ge3$ の奇数ではこれは上記の非零次数のどれでもないから $B^2=0$ である。したがって $1,B,A,AB$ は全群の基底になり、表示した以外の関係はない。$\square$
この補題が二つの場合に分かれる理由は、球面束のEuler類が零になるか、$2u$ になるかの違いである。偶数の $n$ ではファイバーのコホモロジー類 $B$ が全空間に延びる。奇数の $n$ では、その延長をEuler類が妨げ、途中の二つの群が消える。係数が実数だから、$2$ 倍は可逆である。この点も整数係数の場合との違いである。
符号を忘れたときに残る類
$n=\dim_{\mathbb R}V$ が有限のとき、次が成り立つ。
$$
H^*(Y(V);\mathbb R)\cong
\begin{cases}
0,&n\le1,\\
\mathbb R[\alpha]/(\alpha^2),\quad |\alpha|=n-1,
&n\ge2\text{ が偶数},\\
\mathbb R[\beta]/(\beta^2),\quad |\beta|=2n-3,
&n\ge3\text{ が奇数}.
\end{cases}
$$
$n\le1$ の場合は空空間のコホモロジーを表す。偶数の場合の $\alpha$ は、四重被覆に引き戻すと $\pi^*u$ になるように選べる。
$n\le1$ では一次元の $L$ とそれを含む余次元一の $H$ が存在しない。$n=2$ なら $L,H$ は同じ一次元空間で、入射条件は $L=H$ に等しい。従って $Y_2\cong\mathbb{RP}^1\cong S^1$ であり、主張は円周の実コホモロジー環と一致する。以下 $n\ge3$ とする。
まず $n$ が偶数の場合を考える。lem-incidence-stiefel-ring の $A,B$ を使う。$b$ は底の点 $v$ を変えず、ファイバー $S^{n-2}$ 上では対蹠写像である。球面 $S^d$ の対蹠写像の次数は $(-1)^{d+1}$ だから、そのファイバー上の次数は $(-1)^{n-1}=-1$ である。$B$ はファイバー積分で $1$ に送られ、その次数の群は一次元なので、
$$
b^*B=-B,\qquad b^*A=A
$$
を得る。従って $b$ に不変な類は $1,A$ の線形結合に限られる。
$a$ が底に誘導するのは $S^{n-1}$ の対蹠写像で、その次数は $(-1)^n=1$ である。よって $a^*A=A$ であり、$1,A$ はどちらも $a,b$ の両方に不変である。結局
$$
H^*(W_n;\mathbb R)^G=\mathbb R[A]/(A^2).
$$
thm-incidence-invariants によって、これが同じ引き戻し $q^*$ による $Y_n$ の環である。
次に $n$ が奇数の場合を考える。被覆側には $1$ と最高次類 $z$ だけがあるので、$a,b$ が $z$ を保つかどうかを調べればよい。この符号を、二枠空間を定める三つの方程式から求める。写像
$$
F:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\longrightarrow\mathbb R^3,\qquad
F(v,w)=(\|v\|^2,\|w\|^2,\langle v,w\rangle)
$$
に対し $W_n=F^{-1}(1,1,0)$ である。この水準集合上では三つの勾配
$$
(2v,0),\quad(0,2w),\quad(w,v)
$$
が独立である。実際、それらの線形結合が零なら、第一成分と $v$ との内積から第一係数、第二成分と $w$ との内積から第二係数が零になり、残る係数も零になる。この順序付きの法線枠と周囲の標準向きにより、$W_n$ に向きが入る。
$a$ の周囲空間上の行列式は $(-1)^n$ である。一方、最初の二つの制約は保ち、内積の制約だけを符号反転するので、順序付き法線方向に対する符号は $-1$ である。従って接空間上の向きの符号は
$$
\frac{(-1)^n}{-1}=(-1)^{n+1}.
$$
$b$ についても同じ計算になる。$n$ が奇数なら両者とも $+1$ であり、最高次類 $z$ を保つ。したがって不変環は被覆側の環全体で、$\mathbb R[z]/(z^2)$ である。再び thm-incidence-invariants を適用して結論を得る。$\square$
主定理では環の生成元の存在だけでなく、偶数の場合に何が底から来たかも分かる。$A=\pi^*u$ は第一ベクトルを動かす球面の類であり、符号を忘れても消えない。他方、ファイバー方向の $B$ とそれを含む積 $AB$ は $b$ により符号反転されるため降りない。奇数の場合には球面束自体の中間次数が既に消えており、残る最高次類の向きを二つの変換がともに保つ。
低次元の例と向き
$Y_3$ は $\mathbb R^3$ の直線と、それを含む平面の組の空間である。これは実完全旗の空間でもある。次元は三で、主定理から
$$
H^j(Y_3;\mathbb R)=
\begin{cases}\mathbb R,&j=0,3,\\0,&j\ne0,3.\end{cases}
$$
環は三次元球面の実コホモロジー環と同型である。ただし環が同型であることは空間の同相を意味しない。実際、次の例で基本群の違いを確認できる。
二つの直交単位ベクトル $(v,w)$ に第三ベクトル $v\times w$ を添えると、$W_3$ は 特殊直交群 $SO(3)$ と同一視できる。同記事の四元数による記述では、単位球面 $S^3$ から純虚四元数への共役作用によって $SO(3)$ への二重被覆が得られる。$S^3$ は単連結なので、この二重被覆と $W_3\to Y_3$ の四重被覆の合成は $Y_3$ の八重普遍被覆である。
従って $\pi_1(Y_3)$ の位数は八であり、単連結な $S^3$ と同相でもホモトピー同値でもない。具体的には、二本の軸の符号変更は残りの軸も変える半回転であり、その $S^3$ 内の逆像は $\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ となる。この群は四元数群である。満たす条件は「実コホモロジー環が $S^3$ と同型」、破れる結論は「空間が $S^3$ と同じホモトピー型」である。
$Y_4$ はコンパクトな五次元多様体だが、その実コホモロジーは次数 $0,3$ にだけ存在し、
$$
H^5(Y_4;\mathbb R)=0
$$
である。これは矛盾ではない。コンパクトで境界がなく連結な多様体でも、向き付け可能性がなければ実係数の最高次類は存在しない。
被覆側の $W_4$ では、次数二の $B$、次数三の $A$、次数五の $AB$ が存在する。しかし $b$ は $B,AB$ を符号反転し、$A$ だけを保つ。従って商には次数三の類だけが残る。幾何学的にも $b$ の接空間上の符号は $(-1)^5=-1$ であり、この被覆変換は向きを反転する。
一般に $n\ge3$ では、$W_n$ は連結である。底 $S^{n-1}$ もファイバー $S^{n-2}$ も道連結で、局所自明化を使って底の道を持ち上げ、同じファイバー内で端点を結べるからである。向き付け可能な連結多様体の向きは二つだけなので、向きを反転する被覆変換のある商は向き付け可能ではない。従って $n\ge4$ が偶数のとき $Y_n$ は向き付け不可能、$n\ge3$ が奇数のときは全被覆変換が向きを保つため向きが商に降りる。$n=2$ は円周であり、この偶数次元の場合の例外として別に扱う必要がある。
係数と仮定の境界
| 誤って外す条件 | 具体例 | 成り立たなくなる結論 |
|---|---|---|
| 実係数で有限群の位数で割れること | 円周の二重被覆と整数一次コホモロジー | 引き戻しが不変部分へ全射 |
| 向き付け可能性 | 五次元の $Y_4$ | 閉多様体の実最高次群が $\mathbb R$ |
| コホモロジー以外の情報を調べること | $Y_3$ と $S^3$ | 同じ実環なら同じホモトピー型 |
| 直線を超平面に含める条件 | $\mathbb{RP}^{n-1}\times\mathbb{RP}^{n-1}$ | 次元と環が $Y_n$ の計算に一致 |
円周の二重被覆 $p:S^1\to S^1$、$p(z)=z^2$ を考える。被覆変換は $z\mapsto-z$ という回転であり、恒等写像とホモトピックだから $H^1(S^1;\mathbb Z)$ 上には自明に作用する。不変部分は $\mathbb Z$ 全体である。
しかし $p$ は基本ループを二周するループへ送り、一次コホモロジー上の $p^*$ は整数の二倍写像になる。像は $2\mathbb Z$ であり、不変部分 $\mathbb Z$ 全体にはならない。実係数なら二倍写像は全単射になるので、thm-incidence-invariants とは整合する。この例は、実入射多様体の実環表示を、そのまま整数係数の環表示に置き換えられないことを示す。整数計算では有限位数の情報も別に追う必要がある。
また、$n=2$ を球面束の一般計算に混ぜると、ファイバーが $S^0$ になる。$S^0$ は連結な正次元球面ではなく、二点である。被覆側 $W_2$ も二つの連結成分をもち、先の $n\ge3$ のGysin計算で用いた低次数の配置と異なる。$L=H$ という定義に戻って円周と同定する方が、不要な例外を持ち込まずに全体像を保てる。
内積の選択は計算の補助である。定義に用いた $\ell(x)=0$ は内積と無関係であり、内積は法線直線を選んで同じ $Y(V)$ を直交二枠の商として表示しただけである。従って環の同型型は、選んだ正定値内積によって変化しない。ここで正定値性は重要で、不定値形式では非零ベクトルの単位正規化や直交補の次元に同じ議論を無条件で使うことはできない。
複素の入射多様体では、直線の単位代表元の自由度が二つの符号ではなく円周になる。そのため四点の平均で計算するこの方法を、同じ群のまま複素の場合へ移すこともできない。実入射多様体の偶奇差は、球面束のEuler類と有限符号作用の組合せとして理解すると、係数体や模型を変えた際に何を再検討すべきかが見える。
計算を組み立てる順序
この例の計算は、射影空間の積の部分集合を直接積分する代わりに、次の順に進むと見通しがよい。まず超平面を双対直線で表し、内積で法線直線にする。次に二本の単位ベクトルを選び、四重被覆を得る。被覆側を球面の接束の単位球面束と認識すれば、Gysin列で群と積を計算できる。最後に、どの類が二つの符号変更に不変なのかを判定して商へ戻る。
各段階で写像を保つことが重要である。とくに偶数の場合、$A$ が単なる一次元ベクトル空間の任意の基底なのではなく、同じ $\pi^*u$ であることが $a^*A=A$ の根拠になる。$B$ も同じファイバー積分で正規化した類だから、第二ベクトルの符号反転から $b^*B=-B$ を読める。最高次積 $AB$ の非零性はBetti数からの推測ではなく、$\pi_!(AB)=u$ という射影公式で確かめた。
一方、奇数の場合に必要なのは、中間次数の基底の選択ではなく最高次の向きの符号だけである。周囲空間の行列式のみを見ると、$n$ が奇数なので $a,b$ は向きを反転するように見える。しかし二枠空間は三つの制約の水準集合であり、法線方向にも一つの符号反転が起こる。接空間の符号はその商で決まるため、最終的には向きを保つ。この違いを明示することが、奇数の場合の最高次類を落とさないために必要である。
実入射多様体は、定義が単純でありながら、射影化、接束、Euler類、有限被覆、群作用といった道具を同時に使う例である。実環だけでは基本群や整数の有限位数の情報を決定できないこと、閉多様体でも向きの有無で最高次群が変わることを、一つの族の中で具体的に確かめられる。
参考文献
- BT82 §23, Exercise 23.17（p.303）。実入射多様体の定義と実コホモロジーの問題。球面束のGysin列は同書§14, Proposition 14.33（pp.178–179、命題はp.179）を参照。
関連項目
- 前提: 射影空間, Stiefel多様体, 被覆空間, de Rhamコホモロジー
- 計算の道具: Gysin列, Euler類, 向き付け可能多様体
- 比較: 旗多様体, 四元数群, 実射影空間
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
