レンズ空間

文献によっては $L(p;q_1,\dots,q_n)$ を $L_p(q_1,\dots,q_n)$、$L(p,q_1,\dots,q_n)$ と書き、また 3 次元では作用を $(z_1,z_2)\mapsto(\zeta_pz_1,\zeta_p^qz_2)$ とするものと $(\zeta_p^qz_1,\zeta_pz_2)$ とするものがある。$p=1$ を許して $L(1;q)=S^3$ とする流儀もある。定義から直ちに次が従う。

• $r$ を $p$ と互いに素な整数とすると、$m\mapsto rm$ は $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の自己同型なので、作用の軌道は変わらず $L(p;q_1,\dots,q_n)=L(p;rq_1,\dots,rq_n)$ である（右辺の $rq_i$ は $p$ を法として $1\le rq_i< p$ の代表にとる）。
• 座標の置換 $\sigma$ は $S^{2n-1}$ の同相写像で作用と両立するので、$L(p;q_1,\dots,q_n)\cong L(p;q_{\sigma(1)},\dots,q_{\sigma(n)})$ である。
• 第 1 座標だけの複素共役 $(z_1,z_2,\dots,z_n)\mapsto(\bar z_1,z_2,\dots,z_n)$ は $S^{2n-1}$ の同相写像で、作用の $\zeta_p^{q_1m}$ を $\zeta_p^{-q_1m}$ に移すので、$L(p;q_1,\dots,q_n)\cong L(p;-q_1,q_2,\dots,q_n)$ である。他の座標についても同様であり、各 $q_i$ の符号は個別に変えられる。
• 3 次元では、$q^{-1}$ を $p$ を法とする $q$ の逆元とすると、上の 1 番目と 2 番目により $L(p;q)=L(p;1,q)=L(p;q^{-1},1)\cong L(p;1,q^{-1})=L(p;q^{-1})$ であり、3 番目により $L(p;q)\cong L(p;-q)$ である。したがって $L(p;q)\cong L(p;\pm q^{\pm1})$ であり、これが lens-space-thm-classification の同相条件の「十分」の向きである。

$L(5;1)$ と $L(5;2)$ を考える。両者が満たす性質は「基本群・整数係数ホモロジー群・整数係数コホモロジー群がすべて同型である（いずれも $p=5$ だけで決まる、lens-space-prop-fundamental-group・lens-space-thm-homology）」ことであり、満たさない性質は「ホモトピー同値である」ことである。破れる含意は「基本群と（コ）ホモロジー群が同型ならばホモトピー同値」である。
実際、ホモトピー同値の条件は $qq'=1\cdot2=2\equiv\pm k^2\pmod5$ となる整数 $k$ の存在だが、$5$ を法とする平方数は $0,1,4$ であり $\pm k^2$ の候補は $0,\pm1,\pm4\equiv0,1,4$ なので、$2$ はこの形に書けない。よって $L(5;1)$ と $L(5;2)$ はホモトピー同値でない（lens-space-thm-classification）。$L(7;1)$ と $L(7;2)$（lens-space-ex-homotopy-not-homeomorphic）が「ホモトピー不変量では区別できないが同相では区別される」段階にとどまるのに対し、$L(5;1)$ と $L(5;2)$ は「最も基本的な代数的位相不変量では区別できないがホモトピー型で区別される」というより強い現象を示す。

各 $g\in G$ は $\mathbb{C}^n$ のユニタリ線形写像の制限なので $S$ の実解析的な微分同相写像（微分同相写像）であり、作用は自由かつ固有不連続（固有不連続。lens-space-prf-manifold の 2 の近傍 $V$ が固有不連続性の証人）である。滑らかな多様体への離散群（離散群）の自由かつ固有不連続な滑らかな作用の商は滑らかな多様体になり、商写像は局所微分同相になる（Lee12 Ch. 21 Theorem 21.13）ので、$L$ は $(2n-1)$ 次元の実解析的閉多様体である。ユニタリ写像は $\mathbb{R}^{2n}$ の向きを保つ（複素線形写像の実行列式は複素行列式の絶対値の 2 乗）ので $S$ の向きを保ち、向きを保つ自由な作用の商は向き付け可能（向き付け可能）である（Lee12 Ch. 15 Theorem 15.36 の議論）。よって $L$ は向き付け可能である。作用が等長的なので、$S$ の標準的な Riemann 計量（リーマン幾何学）は $L$ に降り、$L$ は断面曲率（断面曲率）$1$ の定曲率空間になる（$\pi$ は局所等長写像）。

$H_0\cong\mathbb{Z}$ は $L$ が弧状連結であることによる。$H_1$ は Hurewicz の定理（Hat02 §2.A Theorem 2A.1）により基本群のアーベル化であり、$\pi_1(L)\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$（lens-space-prop-fundamental-group）はすでにアーベル群（アーベル群）なので $H_1(L)\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ である。$2\le i\le2n-1$ の値は、$G$ の作用と両立する $S^{2n-1}$ の胞体分割（各次元 $0,1,\dots,2n-1$ に $p$ 個ずつの胞体）から $L$ に各次元に一つずつ胞体をもつ CW 複体（CW複体）の構造を与え、胞体ホモロジー（胞体ホモロジー）の境界写像が交互に $0$ と $p$ 倍になることから計算される。証明は Hat02 §2.2 Example 2.43 に譲る。コホモロジー群は普遍係数定理（Hat02 §3.1 Theorem 3.2）により $H^i\cong\operatorname{Hom}(H_i,\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_{i-1},\mathbb{Z})$ で、$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\mathbb{Z})=0$、$\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ から従う。$L$ はコンパクトで向き付け可能な $(2n-1)$ 次元多様体なので、Poincaré 双対性（Poincaré双対性）$H^i(L)\cong H_{2n-1-i}(L)$ とも整合する。

1 の必要性は基本群への誘導写像と写像度の議論により、十分性は具体的な写像の構成による（Whi41、Olu53）。2 の十分性は lens-space-rem-conventions の議論である。必要性は Reidemeister 捩れ（Reidemeister捩れ）が組合せ的不変量として $L(p;q)$ を分類すること（Rei35、Fra35、dR36）と、3 次元多様体の同相が組合せ同値を保つこと（Moise の定理、Moi52）による。同相分類を直接示したのは Bro60 である。$h$-コボルディズムによる分類が同相分類と一致することは AB68 による。高次元 $L(p;q_1,\dots,q_n)$ の分類も Reidemeister 捩れにより同様に与えられ、ホモトピー同値と同相の条件はそれぞれ $q_1\cdots q_n\equiv\pm k^nq_1'\cdots q_n'$ の形、および $(q_1',\dots,q_n')$ が $(\pm rq_{\sigma(1)},\dots,\pm rq_{\sigma(n)})$ の形に書けることである（Coh73 §29–§31）。

$S^3=\{|z_1|^2+|z_2|^2=1\}$ は二つのソリッドトーラス $\{|z_1|^2\le1/2\}$ と $\{|z_1|^2\ge1/2\}$ の和であり、$G$ の作用はそれぞれを保つ。したがって $L(p;q)$ も二つのソリッドトーラス（ソリッドトーラス）を境界のトーラスで貼り合わせて得られ、これは $L(p;q)$ の種数 $1$ の Heegaard 分解（Heegaard分解）である。貼り合わせは、一方のソリッドトーラスのメリディアンを、他方の境界上の傾き $p/q$ の曲線（ロンジチュード方向に $p$ 回、メリディアン方向に $q$ 回巻く単純閉曲線）に写す。同じことを $S^3$ の自明な結び目（結び目）に沿った係数 $-p/q$ の Dehn 手術（Dehn手術）として述べることもでき、$p/q$ の連分数（連分数）展開 $[a_1;a_2,\dots,a_k]$ を用いれば、$k$ 成分の鎖状の絡み目（絡み目）に沿った整数係数 $a_1,\dots,a_k$ の手術に書き換えられる。逆に、種数 $1$ の Heegaard 分解をもつ閉 3 次元多様体は $S^3$、$S^1\times S^2$、およびレンズ空間に限る。これらの構成の詳細は Hat3M §2 に譲る。

$p$ と互いに素な整数の列 $q_1,q_2,\dots$ に対し、包含 $\mathbb{C}^n\hookrightarrow\mathbb{C}^{n+1}$ は $G$ の作用と両立する包含 $L(p;q_1,\dots,q_n)\hookrightarrow L(p;q_1,\dots,q_{n+1})$ を誘導する。これらの和（帰納極限）
$$L_p^\infty:=\bigcup_{n\ge1}L(p;q_1,\dots,q_n)=S^\infty/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$$
を無限次元レンズ空間という。$S^\infty=\bigcup_nS^{2n-1}$ は可縮（可縮空間）であり、$S^\infty\to L_p^\infty$ は被覆写像なので、$L_p^\infty$ は Eilenberg–MacLane 空間（Eilenberg–MacLane空間）$K(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},1)$、すなわち離散群 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間（分類空間）$B(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ である（Hat02 §1.B）。Eilenberg–MacLane 空間はホモトピー同値を除いて一意なので、$L_p^\infty$ のホモトピー型は列 $(q_i)$ によらず、$q_i=1$ の場合を考えれば十分である。$p=2$ のとき $L_2^\infty=\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ である。有限個を除いて $0$ である複素数列の空間の単位球面を $S^\infty$ とし、各座標に $\zeta_p^{q_i}$ を掛ける作用で割っても同じ空間が得られる。