超曲面局所環

同義語：hypersurface local ring

概要

前提知識: 局所環, 正則環, 完全交叉局所環

定義：一つの本質的な方程式

ネーター局所環 $(A,\mathfrak m,k)$ の完備化を $\widehat A$ と書く。正則局所環 $(Q,\mathfrak n)$ は整域なので、非零元は非零因子である。

真の超曲面局所環

本記事では、ネーター局所環 $(A,\mathfrak m,k)$ が 超曲面局所環（hypersurface local ring）であるとは、ある正則局所環 $(Q,\mathfrak n)$ と非零元 $f\in\mathfrak n^2$ が存在して
$$ \widehat A\cong Q/(f) $$
となることをいう。

$f\in\mathfrak n^2$ は、この一つの方程式が局所環の一次の生成元を消さないという最小提示の条件である。この条件により
$$ \operatorname{edim}A=\operatorname{edim}Q=\dim Q,\qquad \dim A=\dim Q-1, $$
したがって
$$ \operatorname{edim}A-\dim A=1 $$
となる。完備化は次元、剰余体、極大イデアルをその二乗で割った空間を保つ。
「超曲面」に正則局所環も含め、埋込余次元が高々1の局所環を指す流儀もある。本記事では差を明確にするため、上の埋込余次元1の非正則な場合を主語とする。正則局所環は埋込余次元0であり、完全交叉ではあるが、本記事の「真の超曲面」には含めない。

根拠となる一般定理（The Stacks Project）：次元と埋込次元の関係（StacksDimension）、完備化による正則性と次元の保存（StacksCompletion）。

一次項があれば商は正則

$Q$ を正則局所環、$0\neq f\in\mathfrak n$ とする。$f\notin\mathfrak n^2$ なら $f$ は極大イデアルの最小生成系の一部になり、$Q/(f)$ は正則局所環である。従って、非正則な超曲面を最小に表示する方程式は $\mathfrak n^2$ に入る。

これは正則パラメータ系の一部で割った商が再び正則局所環になる定理の $c=1$ の場合である。

根拠となる一般定理（The Stacks Project）：正則パラメータ系の一部による商の正則性（StacksRegularLocal）。

例と反例

以下で $k$ は体とする。

局所環	最小方程式	次元	埋込次元	判定
$k[\![x,y]\!]/(xy)$	$xy$	1	2	超曲面
$k[\![x]\!]/(x^n)$、$n\geq2$	$x^n$	0	1	超曲面
$k[\![x,y]\!]/(x^2,y^2)$	二方程式	0	2	完全交叉だが超曲面でない
$k[\![x,y]\!]/(x)$	一次式 $x$	1	1	正則、真の超曲面でない

節点型の超曲面

$$ A=k[\![x,y]\!]/(xy) $$
では $xy\in(x,y)^2$ で、$xy$ は整域 $k[\![x,y]\!]$ の非零因子である。従って $A$ は一次元の超曲面局所環である。$x,y$ はとも非零だが $xy=0$ なので、超曲面局所環は整域とは限らない。

冪零元をもつ零次元超曲面

$n\geq2$ として
$$ A_n=k[\![x]\!]/(x^n) $$
とする。$x^n\in(x)^2$ であり、$k[\![x]\!]$ は一次元正則局所整域だから $A_n$ は超曲面局所環である。$A_n$ は $1,x,\ldots,x^{n-1}$ を基底にもつ零次元局所環で、$x$ は非零冪零元である。従って超曲面局所環は被約とも限らない。

反例：完全交叉だが超曲面でない

$$ B=k[\![x,y]\!]/(x^2,y^2) $$
では $x^2,y^2$ が正則列なので完全交叉局所環である。しかし $B$ は零次元で、極大イデアルの一次の像 $x,y$ が独立だから埋込次元は2である。従って埋込余次元は2であり、一つの最小方程式で定まる超曲面ではない。これは「完全交叉局所環なら超曲面局所環」という含意の反例である。

行列因子分解と周期的自由分解

超曲面上では、商を定める一つの方程式が自由分解の2周期性として現れる。

行列因子分解

$Q$ の元 $f$ の 行列因子分解とは、有限階数自由 $Q$-加群 $F_0,F_1$ と準同型
$$ F_1\xrightarrow{\varphi}F_0,\qquad F_0\xrightarrow{\psi}F_1 $$
で
$$ \varphi\psi=f\,\operatorname{id}_{F_0},\qquad \psi\varphi=f\,\operatorname{id}_{F_1} $$
を満たすものをいう。

$A=Q/(f)$ 上では $f=0$ になるので、$\varphi$ と $\psi$ を $A$ 上へ移した列
$$ \cdots\longrightarrow F_1\otimes_QA \xrightarrow{\varphi}F_0\otimes_QA \xrightarrow{\psi}F_1\otimes_QA \xrightarrow{\varphi}F_0\otimes_QA $$
は複体となり、二つの写像が交互に繰り返される。

超曲面上の最終的2周期性

$A=Q/(f)$ を超曲面局所環とする。有限生成 $A$-加群の最小自由分解は、十分高い次数から周期1または周期2になる。非自由な最大Cohen–Macaulay加群の周期部分は、$f$ の行列因子分解から記述できる。

これは超曲面に特有の深いホモロジー定理であり、定義だけから自明に従うものではない。ここでは一般証明を行わず、次の二例で周期性を直接確認する。

根拠となる一般定理（Eisenbud）：超曲面上の最小自由分解の最終的周期性と行列因子分解 Eisenbud1980。

周期1：双対数環の剰余体

$A=k[\![x]\!]/(x^2)$ と $k=A/(x)$ に対して
$$ \cdots\xrightarrow{x}A\xrightarrow{x}A\xrightarrow{x}A\longrightarrow k\longrightarrow0 $$
は最小自由分解である。実際、$A$ における $x$ 倍写像の核と像はいずれも $(x)$ である。従ってすべての $i\geq0$ で
$$ \operatorname{Tor}_i^A(k,k)\cong k $$
となり、$k$ の射影次元は無限である。

周期2：節点上の加群

$A=k[\![x,y]\!]/(xy)$ と $M=A/(x)$ に対して
$$ \cdots\xrightarrow{y}A\xrightarrow{x}A \xrightarrow{y}A\xrightarrow{x}A\longrightarrow M\longrightarrow0 $$
は最小自由分解である。$\operatorname{ann}_A(x)=(y)$、$\operatorname{ann}_A(y)=(x)$ なので各所で核と像が一致する。これは $Q=k[\![x,y]\!]$ 上の階数1の行列因子分解
$$ (x)(y)=xy=(y)(x) $$
が与える2周期分解である。

深さと他の環クラスとの関係

Gorenstein性とCohen–Macaulay性

超曲面局所環は完全交叉局所環であるため、Gorenstein局所環であり、従ってCohen–Macaulay局所環である。特に
$$ \operatorname{depth}A=\dim A $$
が成り立つ。

一つの非零因子は長さ1の正則列なので最初の含意が従う。正則局所環がGorensteinで、正則列による商がGorenstein性を保つこと、およびGorenstein局所環がCohen–Macaulayであることを用いる。
本記事の規約では含意関係は
$$ \text{真の超曲面局所環} \Longrightarrow\text{完全交叉局所環} \Longrightarrow\text{Gorenstein局所環} \Longrightarrow\text{Cohen–Macaulay局所環} $$
となる。$k[\![x,y]\!]/(x^2,y^2)$ は第二段階に入るが第一段階には入らず、超曲面と完全交叉を区別する。

根拠となる一般定理（The Stacks Project）：超曲面を余次元1の完全交叉として位置づける定義（StacksCI）、完全交叉からGorenstein性への含意（StacksCIGor）、Gorenstein環のCohen–Macaulay性（StacksGor）。

仮定による違い

方程式 $f$ は正則局所環の非零因子であり、正則局所環が整域であることから $f\neq0$ で確認できる。本記事の真の超曲面では、最小提示を表す $f\in\mathfrak n^2$ を要求する。一次項があれば商は正則になる。二つ以上の正則方程式で切った環は完全交叉であっても、超曲面とは限らない。
Gorenstein性やCohen–Macaulay性から超曲面性は一般には従わない。また周期性定理は、有限生成加群の最小自由分解の十分高い部分についての主張である。周期的な分解は射影次元が有限であることを意味せず、上の二例では分解が無限に続く。