超曲面局所環
概要
超曲面局所環は、完備化が正則局所環を一つの本質的な非零方程式で割った商として表されるネーター局所環である。ここで真の超曲面とは、最小提示の方程式が極大イデアルの二乗に入り、埋込次元がKrull次元より1大きい非正則の場合をいう。超曲面局所環はGorensteinかつCohen–Macaulayで、その完備化上では有限生成加群の最小自由分解が十分高い次数から周期1または2になる。
前提知識：ネーター局所環、完備化、正則局所環、正則列、埋込次元。後半では自由分解と行列因子分解を用いる。
定義：一つの本質的な方程式
ネーター局所環 $(A,\mathfrak m,k)$ の完備化を $\widehat A$ と書く。正則局所環 $(Q,\mathfrak n)$ は整域なので、非零元は非零因子である。
本記事では、ネーター局所環 $(A,\mathfrak m,k)$ が 超曲面局所環（hypersurface local ring）であるとは、ある正則局所環 $(Q,\mathfrak n)$ と非零元 $f\in\mathfrak n^2$ が存在して
$$
\widehat A\cong Q/(f)
$$
となることをいう。
$f\in\mathfrak n^2$ は、この一つの方程式が局所環の一次の生成元を消さないという最小提示の条件である。この条件により
$$
\operatorname{edim}A=\operatorname{edim}Q=\dim Q,\qquad
\dim A=\dim Q-1,
$$
したがって
$$
\operatorname{edim}A-\dim A=1
$$
となる。完備化は次元、剰余体、極大イデアルをその二乗で割った空間を保つ。
「超曲面」に正則局所環も含め、埋込余次元が高々1の局所環を指す流儀もある。本記事では差を明確にするため、上の埋込余次元1の非正則な場合を主語とする。正則局所環は埋込余次元0であり、完全交叉ではあるが、本記事の「真の超曲面」には含めない。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：次元と埋込次元の関係（ Tag 00KD ）、完備化による正則性と次元の保存（ Tag 07NU ）。
$Q$ を正則局所環、$0\neq f\in\mathfrak n$ とする。$f\notin\mathfrak n^2$ なら $f$ は極大イデアルの最小生成系の一部になり、$Q/(f)$ は正則局所環である。従って、非正則な超曲面を最小に表示する方程式は $\mathfrak n^2$ に入る。
これは正則パラメータ系の一部で割った商が再び正則局所環になる定理の $c=1$ の場合である。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：正則パラメータ系の一部による商の正則性（ Tag 00NN ）。
例と反例
以下で $k$ は体とする。
| 局所環 | 最小方程式 | 次元 | 埋込次元 | 判定 |
|---|---|---|---|---|
| $k[[x,y]]/(xy)$ | $xy$ | 1 | 2 | 超曲面 |
| $k[[x]]/(x^n)$、$n\geq2$ | $x^n$ | 0 | 1 | 超曲面 |
| $k[[x,y]]/(x^2,y^2)$ | 二方程式 | 0 | 2 | 完全交叉だが超曲面でない |
| $k[[x,y]]/(x)$ | 一次式 $x$ | 1 | 1 | 正則、真の超曲面でない |
$$
A=k[[x,y]]/(xy)
$$
では $xy\in(x,y)^2$ で、$xy$ は整域 $k[[x,y]]$ の非零因子である。従って $A$ は一次元の超曲面局所環である。$x,y$ はとも非零だが $xy=0$ なので、超曲面局所環は整域とは限らない。
$n\geq2$ として
$$
A_n=k[[x]]/(x^n)
$$
とする。$x^n\in(x)^2$ であり、$k[[x]]$ は一次元正則局所整域だから $A_n$ は超曲面局所環である。$A_n$ は $1,x,\ldots,x^{n-1}$ を基底にもつ零次元局所環で、$x$ は非零冪零元である。従って超曲面局所環は被約とも限らない。
$$
B=k[[x,y]]/(x^2,y^2)
$$
では $x^2,y^2$ が正則列なので完全交叉局所環である。しかし $B$ は零次元で、極大イデアルの一次の像 $x,y$ が独立だから埋込次元は2である。従って埋込余次元は2であり、一つの最小方程式で定まる超曲面ではない。これは「完全交叉局所環なら超曲面局所環」という含意の反例である。
行列因子分解と周期的自由分解
超曲面上では、商を定める一つの方程式が自由分解の2周期性として現れる。
$Q$ の元 $f$ の 行列因子分解とは、有限階数自由 $Q$-加群 $F_0,F_1$ と準同型
$$
F_1\xrightarrow{\varphi}F_0,\qquad
F_0\xrightarrow{\psi}F_1
$$
で
$$
\varphi\psi=f\,\operatorname{id}_{F_0},\qquad
\psi\varphi=f\,\operatorname{id}_{F_1}
$$
を満たすものをいう。
$A=Q/(f)$ 上では $f=0$ になるので、$\varphi$ と $\psi$ を $A$ 上へ移した列
$$
\cdots\longrightarrow F_1\otimes_QA
\xrightarrow{\varphi}F_0\otimes_QA
\xrightarrow{\psi}F_1\otimes_QA
\xrightarrow{\varphi}F_0\otimes_QA
$$
は複体となり、二つの写像が交互に繰り返される。
$A=Q/(f)$ を超曲面局所環とする。有限生成 $A$-加群の最小自由分解は、十分高い次数から周期1または周期2になる。非自由な最大Cohen–Macaulay加群の周期部分は、$f$ の行列因子分解から記述できる。
これは超曲面に特有の深いホモロジー定理であり、定義だけから自明に従うものではない。ここでは一般証明を行わず、次の二例で周期性を直接確認する。
根拠となる一般定理（Eisenbud）：超曲面上の最小自由分解の最終的周期性と行列因子分解（ 1980年論文・DOI ）。
$A=k[[x]]/(x^2)$ と $k=A/(x)$ に対して
$$
\cdots\xrightarrow{x}A\xrightarrow{x}A\xrightarrow{x}A\longrightarrow k\longrightarrow0
$$
は最小自由分解である。実際、$A$ における $x$ 倍写像の核と像はいずれも $(x)$ である。従ってすべての $i\geq0$ で
$$
\operatorname{Tor}_i^A(k,k)\cong k
$$
となり、$k$ の射影次元は無限である。
$A=k[[x,y]]/(xy)$ と $M=A/(x)$ に対して
$$
\cdots\xrightarrow{y}A\xrightarrow{x}A
\xrightarrow{y}A\xrightarrow{x}A\longrightarrow M\longrightarrow0
$$
は最小自由分解である。$\operatorname{ann}_A(x)=(y)$、$\operatorname{ann}_A(y)=(x)$ なので各所で核と像が一致する。これは $Q=k[[x,y]]$ 上の階数1の行列因子分解
$$
(x)(y)=xy=(y)(x)
$$
が与える2周期分解である。
深さと他の環クラスとの関係
超曲面局所環は完全交叉局所環であるため、Gorenstein局所環であり、従ってCohen–Macaulay局所環である。特に
$$
\operatorname{depth}A=\dim A
$$
が成り立つ。
一つの非零因子は長さ1の正則列なので最初の含意が従う。正則局所環がGorensteinで、正則列による商がGorenstein性を保つこと、およびGorenstein局所環がCohen–Macaulayであることを用いる。
本記事の規約では含意関係は
$$
\text{真の超曲面局所環}
\Longrightarrow\text{完全交叉局所環}
\Longrightarrow\text{Gorenstein局所環}
\Longrightarrow\text{Cohen–Macaulay局所環}
$$
となる。$k[[x,y]]/(x^2,y^2)$ は第二段階に入るが第一段階には入らず、超曲面と完全交叉を区別する。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：超曲面を余次元1の完全交叉として位置づける定義（ Tag 09PY ）、完全交叉からGorenstein性への含意（ Tag 0DWA ）、Gorenstein環のCohen–Macaulay性（ Tag 0DW6 ）。
条件を確認して使う
- 方程式 $f$ は正則局所環の非零因子でなければならない。正則局所環は整域なので、これは $f\neq0$ で確認できる。
- 本記事の真の超曲面では、最小提示を表す $f\in\mathfrak n^2$ を要求する。一次項があれば商は正則になる。
- 超曲面は完全交叉の余次元1の場合であり、二つ以上の正則方程式で切った環を超曲面とは呼ばない。
- Gorenstein性やCohen–Macaulay性から超曲面性が逆に従うとは限らない。
- 周期性は有限生成加群の最小自由分解の十分高い部分についての定理である。任意の分解が最初から2周期とは述べない。
- 周期的であることは射影次元が有限という意味ではない。上の二例では分解は無限に続く。
参考文献と証明の範囲
節点、切断多項式環、余次元2の完全交叉、周期1・周期2の二つの分解は本文中で計算した。最小提示の一般論、完全交叉からGorensteinへの含意、すべての有限生成加群の最終的周期性には外部定理を用いる。
- The Stacks Project Authors, Commutative Algebra: Dimension, Tag 00KD 、 Regular local rings, Tag 00NN 。
- The Stacks Project Authors, Divided Power Algebra: Local complete intersection rings, Tag 09PY 。超曲面を余次元1の完全交叉として位置づける基礎。
- The Stacks Project Authors, Dualizing Complexes: Local complete intersections over Gorenstein rings, Tag 0DWA 、 Gorenstein rings, Tag 0DW6 。
- David Eisenbud, “Homological algebra on a complete intersection, with an application to group representations,” Transactions of the American Mathematical Society 260 (1980), 35–64,
DOI:10.1090/S0002-9947-1980-0570778-7
。超曲面上の最小自由分解の周期性と行列因子分解。
一般の周期性定理と行列因子分解による分類の証明は記事内では行っていない。本文内で完結しているのは、掲げた小さな環と加群についての核・像、次元、埋込次元の計算である。
関連項目
- 基礎：正則環、正則列、完備化、自由分解、Tor。
- 近接するクラス：完全交叉局所環、Gorenstein環、Cohen–Macaulay環。
- ホモロジー：行列因子分解、最大Cohen–Macaulay加群、Golod局所環。有限自由分解と最終的周期分解を区別する。
