群の作用

$S_n$ は $\{1,\dots,n\}$ に $\sigma\cdot i:=\sigma(i)$ で作用する。条件 1 は $e$ が恒等写像であることから、条件 2 は積が写像の合成であること $(\sigma\tau)(i)=\sigma(\tau(i))$ から従う。$n\ge1$ ならこの作用は推移的である（$i\neq j$ なら互換 $(i\,j)$ が $i$ を $j$ に送る）。$\sigma(i)=i$ がすべての $i$ で成り立つのは $\sigma=e$ のときだけなので、忠実でもある。文字 $n$ の安定化群は $n$ を動かさない置換の全体で、$S_{n-1}$ と同一視できる。$n\ge3$ ならこの作用は自由でない（$(1\,2)$ は $3$ を動かさない）。したがって、忠実だが自由でない作用の例になる。
$n\ge2$ について、thm-group-action-orbit-stabilizer を $x=n$ に適用すると $|S_n|=|S_n\cdot n|\cdot|(S_n)_n|=n\cdot|S_{n-1}|$ となり、$|S_1|=1$ を起点とする帰納法で $|S_n|=n!$ が得られる。
部分群 $H\subset S_n$ も制限によって $\{1,\dots,n\}$ に作用する。たとえば $H=\langle(1\,2\,3)\rangle\subset S_4$ の作用の軌道は $\{1,2,3\}$ と $\{4\}$ であり、作用は推移的でなく、$4$ は固定点である。

群 $G$ は自分自身に左からの積 $g\cdot x:=gx$ で作用する。条件 1 は $ex=x$、条件 2 は結合法則 $(gh)x=g(hx)$ である。$x,y\in G$ に対し $g=yx^{-1}$ とおけば $gx=y$ なので作用は推移的であり、$gx=x$ なら右から $x^{-1}$ を掛けて $g=e$ となるので自由である。とくに忠実であり、prop-group-action-permutation の準同型 $G\to S_G$ は単射である。これがCayleyの定理（対称群 の記事の定理「Cayleyの定理」）の内容であり、すべての群は対称群の部分群と同型になる。

群 $G$ は自分自身に共役 $g\cdot x:=gxg^{-1}$ で作用する。条件 1 は $exe^{-1}=x$、条件 2 は $(gh)x(gh)^{-1}=g(hxh^{-1})g^{-1}$ である。この作用の軌道は $x$ の共役類 $\{gxg^{-1}\mid g\in G\}$ であり、安定化群は $x$ と可換な元の全体 $C_G(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}$、すなわち $x$ の中心化群である。作用の核と固定点の全体は、ともに群の中心 $Z(G)$ に一致する（核については 群の中心 の記事の命題「共役作用の核としての中心」）。$|G|\ge2$ なら $\{e\}$ が 1 元だけの軌道なので、この作用は推移的でない。$G$ が可換ならすべての $g$ が恒等写像として作用し（核が $G$ 全体）、可換でなければ核 $Z(G)$ は $G$ より小さい。
$G$ は部分群全体の集合にも共役 $g\cdot H:=gHg^{-1}$ で作用する。部分群 $H$ の安定化群 $N_G(H):=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}$ を $H$ の正規化群といい、固定点は正規部分群である。

$H$ を $G$ の部分群とし、$G/H$ を左剰余類 $aH$ の全体とする。$G$ は $G/H$ に $g\cdot aH:=gaH$ で作用する。$aH=a'H$ なら $a'=ah$（$h\in H$）なので $ga'H=gahH=gaH$ であり、定義は代表元によらない。条件 1・2 は左移動の場合と同じく確かめられる。$a\cdot H=aH$ なので作用は推移的である。剰余類 $aH$ の安定化群は $\{g\in G\mid a^{-1}ga\in H\}=aHa^{-1}$ であり、とくに $H$ 自身（剰余類 $eH$）の安定化群は $H$ である。
作用の核はすべての安定化群の共通部分 $\bigcap_{a\in G}aHa^{-1}$ であり、これは $H$ の正規核である（部分群の正規核 の記事の定理「剰余類作用の核」）。たとえば $G=S_3$、$H=\langle(1\,2)\rangle$ なら、$H$ の 3 つの共役 $\langle(1\,2)\rangle,\langle(1\,3)\rangle,\langle(2\,3)\rangle$ の共通部分は $\{e\}$ であり、$S_3$ の 3 つの剰余類への作用は忠実である。

$k$ を体、$n\ge1$ とする。一般線形群 $\mathrm{GL}_n(k)$ は $k^n$ に行列の積 $A\cdot v:=Av$ で作用する（条件 1 は $Iv=v$、条件 2 は行列の積の結合法則）。この作用の軌道は $\{0\}$ と $k^n\setminus\{0\}$ の 2 つである。実際 $A0=0$ であり、$v\neq0$ なら $v$ を第 1 ベクトルとする $k^n$ の基底 $v,v_2,\dots,v_n$ がとれ、これらを列に並べた可逆行列 $A$ は標準基底の第 1 ベクトル $e_1$ を $v$ に送る。よって $0$ でないベクトルはすべて $e_1$ と同じ軌道にある。作用は推移的でないが、$Ae_i=e_i$（$i=1,\dots,n$）なら $A=I$ なので忠実である。各行列が $k^n$ の線形写像として作用するこのような作用は、群の表現の基本的な例である。

整数の加法群 $\mathbb{Z}$ は実数全体 $\mathbb{R}$ に $n\cdot x:=x+n$ で作用する。加法群なので条件 1 は $x+0=x$、条件 2 は $x+(m+n)=(x+n)+m$ である。$x$ の軌道は $x+\mathbb{Z}$ であり、軌道の集合 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ は区間 $[0,1)$ の点と一対一に対応する。$x+n=x$ なら $n=0$ なので作用は自由であり、軌道が 1 つではないので推移的でない。

群 $G$ 上で $g\cdot x:=xg$ と定めると、条件 1（$xe=x$）は満たすが、条件 2 は一般に満たさない。$(gh)\cdot x=xgh$ であり、$g\cdot(h\cdot x)=(xh)g=xhg$ である。$x=e$ とすると、条件 2 が成り立つには $gh=hg$ が必要である。$G=S_3$、$g=(1\,2)$、$h=(1\,3)$ とすると $gh=(1\,3\,2)$、$hg=(1\,2\,3)$ で等しくないので、条件 2 が破れる。この例は条件 1 を満たすが条件 2 を満たさず、含意「条件 1 を満たす写像 $G\times X\to X$ は作用である」を破る。$x\cdot g:=xg$ は右作用であり、$g\cdot x:=xg^{-1}$ とすれば左作用になる（def-group-action-right の後の段落）。

$X$ を 2 元以上の集合、$x_0\in X$ とし、すべての $g\in G$、$x\in X$ について $g\cdot x:=x_0$ と定める。$(gh)\cdot x=x_0$、$g\cdot(h\cdot x)=g\cdot x_0=x_0$ なので条件 2 は満たされるが、$x\neq x_0$ について $e\cdot x=x_0\neq x$ であり、条件 1 は満たされない。この例は条件 2 を満たすが条件 1 を満たさず、含意「条件 2 を満たす写像は作用である」を破る。このとき各 $g$ が定める写像 $x\mapsto g\cdot x$ は全単射でない。条件 1 は、各元が全単射として作用すること（prop-group-action-permutation の 1）を保証する役割を担っている。