極限(圏論)

$L'$ の普遍性から $u\colon L\to L'$、$L$ の普遍性から $v\colon L'\to L$ を得る。$\pi_jvu=\pi'_ju=\pi_j$ なので、$L$ の普遍性による唯一性から $vu=\operatorname{id}_L$ である。同じ議論で $uv=\operatorname{id}_{L'}$ を得る。$u$ の唯一性も $L'$ の普遍性そのものである。

$D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ に対し
$$ P=\prod_{j\in\operatorname{Ob}\mathcal J}D(j),\qquad Q=\prod_{\alpha:j\to k}D(k) $$
を取り、$P$ の射影を $p_j$ とする。$s,t\colon P\rightrightarrows Q$ を、それぞれの $\alpha$ 成分が
$$ s_\alpha=D(\alpha)p_j,\qquad t_\alpha=p_k $$
となる射とする。両辺の行き先を合わせるため、$Q$ には射の終域に対応する $D(k)$ を並べている。
$s,t$ の等化子を $e\colon L\to P$ とし、$\pi_j=p_je$ と置く。$se=te$ より $\pi$ は錐である。任意の錐 $\lambda$ は積の普遍性でただ一つの $a\colon X\to P$ を与える。錐の条件から $sa=ta$ なので、等化子の普遍性によりただ一つの $u\colon X\to L$ が存在して $eu=a$ となる。すると $\pi_j u=\lambda_j$ である。
逆にこの等式を満たす $u$ は、積の唯一性から $eu=a$ を満たし、等化子の唯一性から上の $u$ と等しい。従って $(L,\pi)$ は極限である。

頂点 $X$ の $GD$ への錐 $\lambda_j\colon X\to GD(j)$ を取る。$\bar\lambda_j=\Phi^{-1}_{X,D(j)}(\lambda_j)$ とすると、$\Phi$ の $Y$ に関する自然性から $D(\alpha)\bar\lambda_j=\bar\lambda_k$ である。
$L$ の普遍性より $\pi_j a=\bar\lambda_j$ を満たす $a\colon FX\to L$ がただ一つある。$u=\Phi_{X,L}(a)$ とすれば、再び自然性より $G\pi_j u=\lambda_j$ である。逆にこの等式を満たす $u$ を $\Phi^{-1}$ で移せば同じ $a$ になるから、$u$ も唯一である。