Tate代数

1 ⇒ 2：$|x_i|\le1$ より $|a_\alpha x^\alpha|=|a_\alpha|\prod_i|x_i|^{\alpha_i}\le|a_\alpha|\to0$ である。$K(x_1,\dots,x_n)$ は $K$ の有限次拡大なので完備であり、項が $0$ に収束する級数は収束する。2 ⇒ 3 は明らかで、3 ⇒ 1 は $|a_\alpha x^\alpha|=|a_\alpha|$ による。
部分環であること：$f=\sum a_\alpha t^\alpha$、$g=\sum b_\alpha t^\alpha\in T_n$ とする。$|a_\alpha+b_\alpha|\le\max(|a_\alpha|,|b_\alpha|)\to0$ より $f+g,\,-f\in T_n$ である。$fg$ の $t^\gamma$ の係数は有限和 $c_\gamma=\sum_{\alpha+\beta=\gamma}a_\alpha b_\beta$ で、$|c_\gamma|\le\max_{\alpha+\beta=\gamma}|a_\alpha||b_\beta|$ を満たす。$f,g\ne0$ とし、$\varepsilon>0$ に対し、$|\alpha|\ge N$ なら $|a_\alpha|\le\varepsilon/\|g\|$ かつ $|b_\alpha|\le\varepsilon/\|f\|$ となる $N$ をとると、$|\gamma|\ge2N$ のとき $\alpha+\beta=\gamma$ なる各項で $|\alpha|\ge N$ または $|\beta|\ge N$ だから $|c_\gamma|\le\varepsilon$ である。ゆえに $fg\in T_n$ である。$1$ と多項式が $T_n$ に入ることは明らかである。
$\mathrm{ev}_x$ が加法を保つことは収束する級数の和の性質であり、乗法を保つことは、項が $0$ に収束する 2 つの級数の積が、項の積 $a_\alpha b_\beta x^{\alpha+\beta}$ をどの順序で足しても同じ値に収束するという完備非Archimedes付値体の級数の性質（BGR84 §1.1）による。

1．最初の 3 つは絶対値の性質から直ちに従う。$\|fg\|\le\|f\|\|g\|$ は、lem-tate-algebra-convergence の証明の評価 $|c_\gamma|\le\max_{\alpha+\beta=\gamma}|a_\alpha||b_\beta|\le\|f\|\|g\|$ による。
2．$(f_k)_k$ を Cauchy 列とし、$f_k=\sum_\alpha a^{(k)}_\alpha t^\alpha$ と書く。各 $\alpha$ について $|a^{(k)}_\alpha-a^{(l)}_\alpha|\le\|f_k-f_l\|$ なので $(a^{(k)}_\alpha)_k$ は $K$ の Cauchy 列であり、極限 $a_\alpha\in K$ をもつ。$\varepsilon>0$ に対し、$k,l\ge k_0$ なら $\|f_k-f_l\|\le\varepsilon$ となる $k_0$ をとり $l\to\infty$ とすれば、すべての $\alpha$ と $k\ge k_0$ について $|a_\alpha-a^{(k)}_\alpha|\le\varepsilon$ である。$f_{k_0}\in T_n$ だから $|\alpha|$ が大きいとき $|a^{(k_0)}_\alpha|\le\varepsilon$、したがって $|a_\alpha|\le\max(|a_\alpha-a^{(k_0)}_\alpha|,|a^{(k_0)}_\alpha|)\le\varepsilon$ となる。よって $f:=\sum_\alpha a_\alpha t^\alpha$ は $T_n$ に属し、$k\ge k_0$ のとき $\|f-f_k\|\le\varepsilon$、すなわち $f_k\to f$ である。
3．$f=\sum_\alpha a_\alpha t^\alpha\in T_n$ に対し、$N$ 次以下の項を取り出した多項式 $f_N:=\sum_{|\alpha|\le N}a_\alpha t^\alpha$ は $\|f-f_N\|=\max_{|\alpha|>N}|a_\alpha|\to0$ を満たす。完備な空間の稠密部分空間からの完備化の一意性により、$T_n$ は $K[t_1,\dots,t_n]$ の完備化である。

1．$\|f\|\le1$ はすべての係数が $|a_\alpha|\le1$ を満たすことと同値なので $T_n^\circ=K^\circ\{t\}$ であり、prop-tate-algebra-banach の 1 から $T_n^\circ$ は部分環、$T_n^{\circ\circ}$ はそのイデアルである。
2．$f\in T_n^\circ$ に対し $|a_\alpha|=1$ となる $\alpha$ は有限個なので、$\sum\tilde a_\alpha t^\alpha$ は多項式である。この対応が加法を保つことは明らかで、乗法については、$fg$ の $t^\gamma$ の係数が有限和 $\sum_{\alpha+\beta=\gamma}a_\alpha b_\beta$ であり、$K^\circ\to\tilde K$ が環準同型であることから従う。全射性は係数を持ち上げればよい（多項式は制限冪級数である）。核は「すべての $\alpha$ で $|a_\alpha|<1$」、すなわち最大値 $\|f\|$ が $1$ 未満であることと同値なので $T_n^{\circ\circ}$ に等しい。
3．$\|f/c\|=\|f\|/|c|=1$ なので $f/c\in T_n^\circ$ であり、$\|f\|=|a_\beta|$ となる $\beta$ について $|a_\beta/c|=1$、すなわち $\widetilde{a_\beta/c}\ne0$ である。
4．$K^{\circ\circ}T_n^\circ\subset T_n^{\circ\circ}$ は $\|cf\|=|c|\|f\|$ から明らかである。逆に $f\in T_n^{\circ\circ}$、$f\ne0$ に対し $|c|=\|f\|<1$ なる $c$ をとれば $c\in K^{\circ\circ}$、$f/c\in T_n^\circ$ で $f=c\cdot(f/c)$ である。

$f=0$ または $g=0$ なら両辺とも $0$ である。$f,g\ne0$ とし、$|c|=\|f\|$、$|c'|=\|g\|$ なる $c,c'\in K$ をとる。$f_1:=f/c$、$g_1:=g/c'$ は $T_n^\circ$ の元で、lem-tate-algebra-reduction の 3 により $\tilde f_1\ne0$、$\tilde g_1\ne0$ である。体上の多項式環 $\tilde K[t_1,\dots,t_n]$ は整域だから、還元が環準同型であることより $\widetilde{f_1g_1}=\tilde f_1\tilde g_1\ne0$ である。すなわち $f_1g_1\notin T_n^{\circ\circ}$ であり、$\|f_1g_1\|\le\|f_1\|\|g_1\|=1$ とあわせて $\|f_1g_1\|=1$ を得る。よって $\|fg\|=|cc'|\,\|f_1g_1\|=\|f\|\|g\|$ である。$f,g\ne0$ なら $\|fg\|>0$ だから $fg\ne0$ であり、$T_n$ は整域である。

2 と 3 の同値：$\widetilde{f/c}=\sum\widetilde{a_\alpha/c}\,t^\alpha$ が $0$ でない定数であることは、$|a_0/c|=1$ かつ $\alpha\ne0$ で $|a_\alpha/c|<1$ ということである。
3 ⇒ 1：$h:=1-f/a_0$ とおくと、$h$ の定数項は $0$ で、他の係数は $|a_\alpha/a_0|<1$ を満たす。$T_n$ の元の係数は有限個を除いて絶対値が任意に小さいので $\|h\|<1$ である。$\|h^k\|\le\|h\|^k\to0$ だから、級数 $\sum_{k\ge0}h^k$ は完備な $T_n$（prop-tate-algebra-banach）の中で収束し、$(1-h)\sum_{k\ge0}h^k=\lim_{N}(1-h^{N+1})=1$ である。よって $f=a_0(1-h)$ は単元である。
1 ⇒ 2：$fg=1$ とする。thm-tate-algebra-gauss-multiplicative により $\|f\|\|g\|=1$ である。$f_1:=f/c$、$g_1:=cg$ とおくと $\|f_1\|=\|g_1\|=1$、$f_1g_1=1$ だから、還元して $\tilde f_1\tilde g_1=1$ を得る。体上の多項式環の単元は $0$ でない定数だから $\tilde f_1$ は $0$ でない定数である。最後に $\|f^{-1}\|=\|f\|^{-1}$ は $\|f\|\|f^{-1}\|=\|1\|=1$ による。

$|b_d|=\|g\|$ なので、$g$ を $g/b_d$ に取り替えてよい（$f=qg+r$ は $f=(qb_d)(g/b_d)+r$ と同値で、$d(g/b_d)=d$、$\|qb_d\|=\|q\|\|g\|$）。以下 $\|g\|=1$、したがって $|b_d|=1$、すべての $m$ で $|b_m|\le1$、$m>d$ で $|b_m|<1$ とする。$g=g_0+g_1$、$g_0:=\sum_{m\le d}b_mt^m$、$g_1:=\sum_{m>d}b_mt^m$ と分け、$\varepsilon:=\|g_1\|$ とおく。$g_1$ の係数は絶対値が $1$ 未満で $0$ に収束するから $\varepsilon<1$ である。
$K[t]_{< d}$ を次数 $d$ 未満の多項式全体（$d$ 次元の $K$ ベクトル空間。$d=0$ なら $0$）とし、$E:=T_1\times K[t]_{< d}$ にノルム $\|(q,r)\|:=\max(\|q\|,\|r\|)$ を入れる。$K[t]_{< d}$ は $T_1$ の閉部分空間（次数 $d$ 以上の係数が $0$ という条件は係数ごとの収束で保たれる）だから完備であり、$E$ も完備である。
段 1（$g_0$ による割り算）．$K$ 線型写像 $\Phi\colon E\to T_1$、$\Phi(q,r):=qg_0+r$ は全単射な等長写像である。まず $\|qg_0+r\|\le\max(\|q\|\|g_0\|,\|r\|)=\max(\|q\|,\|r\|)$ である。逆向きに $(q,r)\ne(0,0)$ とし、$|c|=\max(\|q\|,\|r\|)$ なる $c$ で割って $\max(\|q\|,\|r\|)=1$ としてよい。このとき $q,r\in T_1^\circ$ で $(\tilde q,\tilde r)\ne(0,0)$ であり、lem-tate-algebra-reduction により $\widetilde{qg_0+r}=\tilde q\tilde g_0+\tilde r$ である。$\tilde g_0$ は次数がちょうど $d$、$\deg\tilde r< d$ だから、$\tilde q\ne0$ なら $\deg(\tilde q\tilde g_0)\ge d>\deg\tilde r$ で和は $0$ でなく、$\tilde q=0$ なら $\tilde r\ne0$ である。いずれにせよ $\|qg_0+r\|=1$ で、$\Phi$ は等長、特に単射である。$\Phi$ の像は完備な空間の等長像だから完備、したがって $T_1$ の閉集合であり、$K[t]$ で $g_0$（$\deg g_0=d$）による通常の割り算ができるので像は $K[t]$ を含む。$K[t]$ は $T_1$ で稠密（prop-tate-algebra-banach）だから像は $T_1$ 全体であり、$\Phi$ は全単射で、$\Phi^{-1}$ も等長である。
段 2（摂動）．$N\colon E\to E$ を $N(q,r):=\Phi^{-1}(qg_1)$ で定める。$N$ は $K$ 線型で $\|N(q,r)\|=\|qg_1\|\le\varepsilon\|q\|\le\varepsilon\|(q,r)\|$ を満たし、$e=(q,r)\in E$ に対し $\Phi(e+Ne)=qg_0+r+qg_1=qg+r$ である。$e\ne0$ なら $\|Ne\|\le\varepsilon\|e\|<\|e\|$ なので、非Archimedes的不等式により $\|e+Ne\|=\|e\|$、すなわち $\mathrm{id}_E+N$ は等長で単射である。全射性：$e_0\in E$ に対し $e:=\sum_{k\ge0}(-N)^ke_0$ とおくと、$\|(-N)^ke_0\|\le\varepsilon^k\|e_0\|\to0$ なのでこの級数は完備な $E$ の中で収束し、$N$ の連続性から $Ne=-\sum_{k\ge1}(-N)^ke_0$、よって $e+Ne=e_0$ である。
以上から $\Psi:=\Phi\circ(\mathrm{id}_E+N)\colon E\to T_1$、$\Psi(q,r)=qg+r$ は全単射な等長写像である。全単射性が $(q,r)$ の存在と一意性、等長性が $\|f\|=\max(\|q\|,\|r\|)=\max(\|q\|\|g\|,\|r\|)$ である。

$g$ を $g/c$（$|c|=\|g\|$）に取り替え、$\|g\|=1$ としてよい（$c$ は $e$ に吸収される）。thm-tate-algebra-weierstrass-division により $t^d=qg+r$、$\deg r< d$ と書け、$\omega:=t^d-r=qg$ とおく。$1=\|t^d\|=\max(\|q\|,\|r\|)$ より $\|q\|,\|r\|\le1$ であり、$\omega$ は係数が $K^\circ$ に属する次数 $d$ のモニック多項式で $\|\omega\|=1$、$d(\omega)=d$ である。還元すると $\tilde\omega=\tilde q\tilde g$ で、$\deg\tilde\omega=d=\deg\tilde g$ だから $\tilde q$ は $0$ でない定数であり、prop-tate-algebra-units により $q$ は単元で、$e:=q^{-1}$ とおけば $g=e\omega$ である。一意性：$g=e'\omega'$（$\omega'$ は次数 $d$ のモニック多項式、$e'$ は単元）とすると $t^d=e'^{-1}g+(t^d-\omega')$、$\deg(t^d-\omega')< d$ なので、割り算の一意性から $\omega'=\omega$、したがって $e'=e$（$T_1$ は整域）である。

1．$I\ne0$ とし、$g\in I\setminus\{0\}$ を $d(g)$ が最小になるようにとる。$f\in I$ に対し thm-tate-algebra-weierstrass-division で $f=qg+r$、$\deg r< d(g)$ と書くと $r=f-qg\in I$ である。$r\ne0$ なら $d(r)\le\deg r< d(g)$ となり最小性に反するので $r=0$、よって $I=(g)$ である。$g=e\omega$ と書けば $I=(\omega)$ である。単項イデアル整域が Noether 環であることと一意分解整域であることは標準的である（AM69 第 6 章・第 9 章）。
2．$\omega$ を次数 $d$ とする。$\|\omega\|=1$、$d(\omega)=d$ だから、thm-tate-algebra-weierstrass-division により任意の $f\in T_1$ は $\omega$ を法として次数 $d$ 未満の多項式と合同であり、$K[t]\to T_1/(\omega)$ は全射である。核について、$P\in K[t]$ が $P=q\omega$（$q\in T_1$）と書けたとし、$K[t]$ でモニックな $\omega$ による割り算 $P=q'\omega+r'$（$q',r'\in K[t]$、$\deg r'< d$）を行うと、$T_1$ における割り算の一意性から $q=q'$、$r'=0$ であり、$P\in\omega K[t]$ である。ゆえに $K[t]/(\omega)\cong T_1/(\omega)$ である。$\mathfrak{m}$ を極大イデアルとすると、$t$ は単元でない（prop-tate-algebra-units）ので $\mathfrak{m}\ne0$ であり、1 により $\mathfrak{m}=(\omega)$、$\deg\omega=d\ge1$ で、$T_1/\mathfrak{m}\cong K[t]/(\omega)$ は $K$ 上 $d$ 次元の体である。
3．$x\in\mathbb{B}^1(\bar K)$ とする。$\mathrm{ev}_x\colon T_1\to K(x)$ は環準同型（lem-tate-algebra-convergence）で、像は $K[x]=K(x)$（$x$ は $K$ 上代数的）を含むので全射であり、$\mathfrak{m}_x$ は極大イデアルである。$\omega_x$ を $x$ の最小多項式（$K[t]$ のモニックな既約多項式）とする。$\omega_x$ の任意の根 $y\in\bar K$ について、$K$ 上の同型 $K(x)\cong K[t]/(\omega_x)\cong K(y)$ は $\bar K$ の $K$ 自己同型 $\sigma$ で $\sigma(x)=y$ なるものに延びる（体論の標準事実）。$|\cdot|\circ\sigma$ は $K$ の絶対値を延長する $\bar K$ の絶対値だから、延長の一意性により $|y|=|x|\le1$ である。したがって $\omega_x$ の根はすべて $\bar K^\circ$ に属し、その係数（根の基本対称多項式）は $\bar K^\circ\cap K=K^\circ$ に属する。ゆえに 2 により $(\omega_x)$ は極大イデアルであり、$(\omega_x)\subset\mathfrak{m}_x$ から $\mathfrak{m}_x=(\omega_x)$ である。$y$ が $x$ の共役なら $\omega_y=\omega_x$ だから $\mathfrak{m}_y=\mathfrak{m}_x$ であり、写像は共役類の上で定まる。単射性：$\mathfrak{m}_x=\mathfrak{m}_y$ なら $\omega_x(y)=0$ で、上で見たように $y$ は $x$ の共役である。全射性：$\mathfrak{m}$ を極大イデアルとすると 1・2 により $\mathfrak{m}=(\omega)$、$\omega$ は係数が $K^\circ$ に属するモニック多項式で、$K[t]/(\omega)$ が体だから既約である。その根 $x\in\bar K$ は $|x|\le1$ を満たす。実際 $|x|>1$ なら、$\omega(x)=0$ を $x^d=-\sum_{i< d}c_ix^i$（$|c_i|\le1$）と書いて $|x|^d\le\max_{i< d}|c_i||x|^i\le|x|^{d-1}$ となり矛盾する。よって $x\in\mathbb{B}^1(\bar K)$、$\omega=\omega_x$、$\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_x$ である。
4．$x\in\mathbb{B}^1(\bar K)$ に対し $g(x)=e(x)\omega(x)$ であり、$e(x)e^{-1}(x)=1$ から $e(x)\ne0$ なので、$g(x)=0\iff\omega(x)=0$ である。$\omega$ は係数が $K^\circ$ に属する次数 $d(g)$ のモニック多項式だから、その根はすべて $\mathbb{B}^1(\bar K)$ に属し、重複度込みでちょうど $d(g)$ 個である。$g$ が零点をもたなければ $d(g)=0$、$\omega=1$、$g=e$ は単元である。

$\mathrm{ev}_x$ の像は $K[x_1,\dots,x_n]=K(x_1,\dots,x_n)$（各 $x_i$ は $K$ 上代数的）を含み $K(x_1,\dots,x_n)$ に含まれるので、像は体であり $\mathfrak{m}_x$ は極大イデアルである。
$y=\sigma(x)$ とする。$\sigma$ は絶対値を保つ（延長の一意性）ので $\bar K$ の等長写像、したがって連続であり、収束する級数と可換で $K$ の元を動かさない。ゆえに $\mathrm{ev}_{\sigma(x)}=\sigma\circ\mathrm{ev}_x$ で、$\mathfrak{m}_y=\mathfrak{m}_x$ である。逆に $\mathfrak{m}_x=\mathfrak{m}_y$ とすると、$\mathrm{ev}_x$、$\mathrm{ev}_y$ の誘導する同型 $K(x)\cong T_n/\mathfrak{m}_x=T_n/\mathfrak{m}_y\cong K(y)$ は $x_i\mapsto y_i$ なる $K$ 上の同型 $\tau$ であり、$\tau$ を $\bar K$ の $K$ 自己同型 $\sigma$ に延ばせば $\sigma(x)=y$ である。
最後に $\mathfrak{m}$ を極大イデアルとする。thm-tate-algebra-noetherian の 6 により $F:=T_n/\mathfrak{m}$ は $K$ の有限次拡大体で、$K$ 上の埋め込み $F\hookrightarrow\bar K$ をとれる。合成 $\phi\colon T_n\to F\to\bar K$ は核が $\mathfrak{m}$ の $K$ 代数の準同型で、$x_i:=\phi(t_i)$ とおく。$\phi$ を部分環 $K\{t_i\}\cong T_1$ に制限すると、像は有限次元 $K$ 代数 $F$ の部分環で整域だから体であり、核は $T_1$ の極大イデアル、したがって thm-tate-algebra-one-variable の 3 によりある $z\in\mathbb{B}^1(\bar K)$ の $\mathfrak{m}_z$ である。$K\{t_i\}/\mathfrak{m}_z\cong K(z)$ と $\phi$ の誘導する同型を合わせると $z\mapsto x_i$ なる $K$ 上の同型 $K(z)\cong K(x_i)$ を得るので、$x_i$ は $z$ の共役で $|x_i|=|z|\le1$、すなわち $x\in\mathbb{B}^n(\bar K)$ である。
次に $\phi=\mathrm{ev}_x$ を示す。両者は $K$ 代数の準同型で $t_i$ の行き先が一致するから $K[t]$ の上で一致する。$\mathrm{ev}_x$ は $|f(x)|\le\max_\alpha|a_\alpha x^\alpha|\le\|f\|$ により連続である。$\phi$ の連続性：thm-tate-algebra-noetherian の 5 により $\mathfrak{m}$ は閉なので剰余ノルム $|\cdot|_{\mathfrak{m}}$ は $F$ のノルムであり、商写像 $T_n\to F$ は $|\bar f|_{\mathfrak{m}}\le\|f\|$ を満たして連続である。$F$ は完備体 $K$ 上の有限次元ベクトル空間だからその上のノルムはすべて同値で（BGR84 §2.3）、$\bar K$ の絶対値の $F$ への制限と剰余ノルムは同じ位相を定める。よって $\phi$ は連続である。連続な 2 つの写像が稠密な部分集合 $K[t]$（prop-tate-algebra-banach）の上で一致するので $\phi=\mathrm{ev}_x$、$\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_x$ である。