直積圏

同義語：積圏product category

概要

直積圏（product category）とは、圏 $\mathcal C,\mathcal D$ に対し、対象を組 $(c,d)$、射を射の組 $(f,g)$ とし、合成と恒等射を成分ごとに定めた圏 $\mathcal C\times\mathcal D$ である。射影関手とともに、$\mathcal C$ と $\mathcal D$ への関手の組がちょうど $\mathcal C\times\mathcal D$ への関手に対応するという普遍性をもち、小さい圏の圏の積になる。直積圏からの関手は二変数の関手と呼ばれ、その間の自然変換は変数ごとの自然性で判定できる。直積圏の極限・余極限は成分ごとに計算され、対角関手 $\mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C$ が右随伴をもつことは任意の 2 対象が積をもつことと同値である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 圏, 関手, 自然変換

直積圏（product category）は、2 つの圏 $\mathcal C,\mathcal D$ から、対象を組 $(c,d)$、射を射の組 $(f,g)$ として作る圏 $\mathcal C\times\mathcal D$ である。合成も恒等射も成分ごとに定める。集合の直積と同じく、直積圏は射影関手 $P\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal C$、$Q\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal D$ とともに、「$\mathcal C$ への関手と $\mathcal D$ への関手の組は、$\mathcal C\times\mathcal D$ への関手と同じもの」という普遍性をもつ（thm-prodcat-universal）。
直積圏が使われる場面の多くは、逆向きの「直積圏から出る関手」である。2 つの変数をもつ関手、たとえば $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,-)$ やテンソル積は、直積圏からの関手として定式化される。この記事では、二変数の自然変換が変数ごとの自然性で判定できること（prop-prodcat-natural-separately）、直積圏の極限が成分ごとに計算されること（thm-prodcat-limits）、対角関手 $\mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C$ の右随伴が二項積にほかならないこと（prop-prodcat-diagonal）を証明する。

定義

直積圏

圏 $\mathcal C,\mathcal D$ の直積圏 $\mathcal C\times\mathcal D$ を次で定める。

  1. 対象は組 $(c,d)$（$c\in\mathcal C$、$d\in\mathcal D$）である。
  2. $(c,d)$ から $(c',d')$ への射は、射の組 $(f,g)$（$f\colon c\to c'$、$g\colon d\to d'$）である。すなわち $\operatorname{Hom}_{\mathcal C\times\mathcal D}\bigl((c,d),(c',d')\bigr)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,c')\times\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(d,d')$ である。
  3. 合成は $(f',g')\circ(f,g):=(f'\circ f,\,g'\circ g)$、恒等射は $\operatorname{id}_{(c,d)}:=(\operatorname{id}_c,\operatorname{id}_d)$ である。

射影関手 $P\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal C$、$Q\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal D$ を $P(f,g)=f$、$Q(f,g)=g$（対象も同様）で定める。集合 $I$ で添字づけられた圏の族 $(\mathcal C_i)_{i\in I}$ についても、対象を族 $(c_i)_{i\in I}$、射を射の族とし、合成と恒等射を成分ごとに定めた圏 $\prod_{i\in I}\mathcal C_i$ を直積圏という。

結合律と単位律は各成分で成り立つので、$\mathcal C\times\mathcal D$ は圏であり、$P,Q$ は関手である。2 つの局所小圏の直積圏は局所小である（局所小圏 の命題「反対圏・部分圏・積圏への保存」）。射 $(f,g)$ が同型であることは、$f,g$ がともに同型であることと同値である。実際、$(f,g)\circ(f',g')$ と $(f',g')\circ(f,g)$ が恒等射であることは、成分ごとに $f\circ f'$、$f'\circ f$、$g\circ g'$、$g'\circ g$ が恒等射であることだからである。
関手 $U\colon\mathcal C\to\mathcal C'$、$V\colon\mathcal D\to\mathcal D'$ に対し、$(U\times V)(f,g):=(Uf,Vg)$ で関手の直積 $U\times V\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal C'\times\mathcal D'$ が定まる。$(U'\times V')\circ(U\times V)=U'U\times V'V$ である。

直感

直積圏は「2 つの圏を並べて同時に動かす」ための舞台である。$(c,d)$ から $(c',d')$ へ動くとは、$\mathcal C$ の中で $c$ から $c'$ へ動き、それとは独立に $\mathcal D$ の中で $d$ から $d'$ へ動くことである。成分どうしの間に射はないので、$\mathcal C$ と $\mathcal D$ が互いに影響し合うことはない。二変数の関手 $S(c,d)$ では、両方の変数を同時に動かすことが、片方ずつ順に動かすことに分解できる（$(f,g)=(f,\operatorname{id})\circ(\operatorname{id},g)$）。この分解が、直積圏の上の議論のほとんどを支えている。

例

集合・モノイド・前順序の直積
  1. 恒等射しか射をもたない離散圏どうしの直積圏は、対象の集合の直積を台とする離散圏である。
  2. 対象が 1 つの圏はモノイドと同じものである（射の集合が合成でモノイドになる）。モノイド $M,N$ の一対象圏の直積圏は一対象圏で、その射のモノイドは直積モノイド $M\times N$（演算は成分ごと）である。群なら直積群である。
  3. 射が高々 1 本の圏は前順序集合と同じものである（薄い圏）。薄い圏の直積圏も薄く、$(c,d)\to(c',d')$ があるのは $c\to c'$ と $d\to d'$ がともにあるときなので、直積圏は直積順序（順序集合）の前順序集合である。半順序集合なら、その Hasse 図は成分の Hasse 図の箱型の積になる（Hasse図 の定理「直積の Hasse 図」）。
    これらは Mac98 II.3 の演習 1・2（p. 39）にある。
集合の対の圏

$\mathbf{Set}\times\mathbf{Set}$ は、集合の対 $(X,Y)$ を対象、写像の対を射とする圏である。極限は成分ごとに計算され（thm-prodcat-limits）、部分対象分類子も成分ごとの $(\{0,1\},\{0,1\})$ である（部分対象分類子 の例「集合の直積圏」）。

区間の圏との直積と自然変換

対象 $0,1$ と非恒等射 $0\to1$ を 1 本だけもつ圏を $[1]$ と書く。$\mathcal C\times[1]$ は、$\mathcal C$ の 2 つの写し $\mathcal C\times\{0\}$、$\mathcal C\times\{1\}$ を、射 $(f,0\to1)$ で下から上へ結んだ圏である。関手 $F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D$ の間の自然変換は、$\mathcal C\times\{0\}$ への制限が $F$、$\mathcal C\times\{1\}$ への制限が $G$ である関手 $\mathcal C\times[1]\to\mathcal D$ と同じものである（自然変換 の命題「一本の区間を付けて表す」。Mac98 II.3, p. 39）。位相空間のホモトピー $X\times[0,1]\to Y$ と同じ形であり、自然変換が関手の間の「ホモトピー」とみなせることを表している。

空圏と一点圏

対象も射もない空の圏を $\mathbf 0$、対象 1 つと恒等射だけの圏を $\mathbf 1$ と書く。$\mathcal C\times\mathbf 0$ は対象をもたないので $\mathbf 0$ であり、$(c,*)\mapsto c$ は同型 $\mathcal C\times\mathbf 1\cong\mathcal C$ である。

射の集合がなす関手

局所小圏 $\mathcal C$ について、$(X,Y)\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ は直積圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ から $\mathbf{Set}$ への関手である（反対圏 の命題「射の集合がなす 2 変数の関手」）。第 1 変数を反対圏にとることで、合成の順序の入れ替わりが吸収される。$(\mathcal C\times\mathcal D)^{\mathrm{op}}=\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal D^{\mathrm{op}}$ である（射の向きを逆にする操作は成分ごとに行える）。

普遍性

直積圏の普遍性

圏 $\mathcal C,\mathcal D$ と射影関手 $P,Q$ について、次が成り立つ。

  1. 任意の圏 $\mathcal E$ と関手 $F\colon\mathcal E\to\mathcal C$、$G\colon\mathcal E\to\mathcal D$ に対し、$P\circ H=F$ かつ $Q\circ H=G$ を満たす関手 $H\colon\mathcal E\to\mathcal C\times\mathcal D$ がただ 1 つある。これを $\langle F,G\rangle$ と書く。
  2. 関手 $F,F'\colon\mathcal E\to\mathcal C$、$G,G'\colon\mathcal E\to\mathcal D$ と自然変換 $\alpha\colon F\Rightarrow F'$、$\beta\colon G\Rightarrow G'$ に対し、$P\gamma=\alpha$、$Q\gamma=\beta$ を満たす自然変換 $\gamma\colon\langle F,G\rangle\Rightarrow\langle F',G'\rangle$ がただ 1 つあり、その成分は $\gamma_e=(\alpha_e,\beta_e)$ である。
    $$ \xymatrix{ & \mathcal E \ar[dl]_{F} \ar[dr]^{G} \ar@{.>}[d]|{\langle F,G\rangle} & \\ \mathcal C & \mathcal C\times\mathcal D \ar[l]^{P} \ar[r]_{Q} & \mathcal D } $$

図式が可換とは $P\circ\langle F,G\rangle=F$、$Q\circ\langle F,G\rangle=G$ ということである。とくに小さい圏と関手の圏 $\mathbf{Cat}$ において、$\mathcal C\times\mathcal D$ は $P,Q$ とともに $\mathcal C$ と $\mathcal D$ の積である（Mac98 II.3, p. 36）。

1。 一意性：$PH=F$、$QH=G$ なら、$\mathcal E$ の射 $h$ について $H(h)$ の成分は $PH(h)=F(h)$ と $QH(h)=G(h)$ なので、$H(h)=(F(h),G(h))$ である。対象についても $H(e)=(F(e),G(e))$ である。存在：$H(e):=(F(e),G(e))$、$H(h):=(F(h),G(h))$ とおく。$h\colon e\to e'$ なら $(F(h),G(h))$ は $(F(e),G(e))$ から $(F(e'),G(e'))$ への射である。$H(h'\circ h)=(F(h')F(h),G(h')G(h))=H(h')\circ H(h)$ と $H(\operatorname{id}_e)=(\operatorname{id}_{F(e)},\operatorname{id}_{G(e)})=\operatorname{id}_{H(e)}$ は、$F,G$ の関手性と直積圏の合成の定義から従う。
2。 $P\gamma=\alpha$、$Q\gamma=\beta$ は $\gamma_e$ の成分が $\alpha_e,\beta_e$ であることなので、$\gamma_e=(\alpha_e,\beta_e)$ に限る。これが自然であることは、$h\colon e\to e'$ について
$$ \langle F',G'\rangle(h)\circ\gamma_e=(F'(h)\alpha_e,\,G'(h)\beta_e)=(\alpha_{e'}F(h),\,\beta_{e'}G(h))=\gamma_{e'}\circ\langle F,G\rangle(h) $$
となることによる。中央の等号は $\alpha,\beta$ の自然性である。$\square$

この定理から、同型 $\mathcal C\times\mathcal D\cong\mathcal D\times\mathcal C$（$\langle Q,P\rangle$）、$(\mathcal C\times\mathcal D)\times\mathcal E\cong\mathcal C\times(\mathcal D\times\mathcal E)$ が得られる。また関手の直積は $U\times V=\langle UP,VQ\rangle$ と書ける。

二変数の関手と自然性

直積圏からの関手 $S\colon\mathcal B\times\mathcal C\to\mathcal D$ を二変数の関手（bifunctor）という。一方の変数を固定すると一変数の関手 $S(-,c)$、$S(b,-)$ が得られ、逆にこれらの族から $S$ を組み立てられるための条件は 関手 の命題「二変数の関手の判定」にある。また $\mathcal B,\mathcal C$ が小さく $\mathcal D$ が局所小なら、$S\mapsto(b\mapsto S(b,-))$ は関手圏の同型 $[\mathcal B\times\mathcal C,\mathcal D]\cong\bigl[\mathcal B,[\mathcal C,\mathcal D]\bigr]$ を与える（関手圏 の命題「関手圏の指数法則」）。二変数の関手の間の自然変換は、変数ごとに確かめればよい。

二変数の自然変換は変数ごとに判定できる

二変数の関手 $S,S'\colon\mathcal B\times\mathcal C\to\mathcal D$ と、射の族 $\alpha_{(b,c)}\colon S(b,c)\to S'(b,c)$ について、次は同値である。

  1. $\alpha$ は自然変換 $S\Rightarrow S'$ である。
  2. 各 $c\in\mathcal C$ について $(\alpha_{(b,c)})_{b}$ は自然変換 $S(-,c)\Rightarrow S'(-,c)$ であり、各 $b\in\mathcal B$ について $(\alpha_{(b,c)})_{c}$ は自然変換 $S(b,-)\Rightarrow S'(b,-)$ である。

1 ⇒ 2：$f\colon b\to b'$ に対する $S(-,c)$ の自然性の四角形は、直積圏の射 $(f,\operatorname{id}_c)$ に対する $\alpha$ の自然性の四角形そのものである。$c$ の側も同じである。
2 ⇒ 1：射 $(f,g)\colon(b,c)\to(b',c')$ をとる。直積圏では $(f,g)=(f,\operatorname{id}_{c'})\circ(\operatorname{id}_b,g)$ なので、$S(f,g)=S(f,c')\circ S(b,g)$、$S'$ も同様である（$S(f,c')$ は $S(f,\operatorname{id}_{c'})$ の略記）。よって
$$ \begin{aligned} S'(f,g)\circ\alpha_{(b,c)}&=S'(f,c')\circ S'(b,g)\circ\alpha_{(b,c)}=S'(f,c')\circ\alpha_{(b,c')}\circ S(b,g)\\ &=\alpha_{(b',c')}\circ S(f,c')\circ S(b,g)=\alpha_{(b',c')}\circ S(f,g) \end{aligned} $$
である。2 つ目の等号は $c$ についての自然性（$b$ を固定）、3 つ目の等号は $b$ についての自然性（$c'$ を固定）である。$\square$

この命題は Mac98 II.3 の命題 2（p. 38）である。たとえば随伴関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$、$G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ の全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)$ の自然性は、$\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal D$ 上の二変数の関手の間の自然変換であることと読めるが、この命題により、$X$ を固定したときの自然性と $Y$ を固定したときの自然性を別々に確かめればよい。

極限と対角関手

極限は成分ごとに計算される

添字圏 $\mathcal J$ からの図式 $K\colon\mathcal J\to\mathcal C\times\mathcal D$ の錐 $(L,(\lambda_j)_{j})$（$\lambda_j\colon L\to K(j)$）を考える。$P$ を施すと $PK$ の錐 $(PL,(P\lambda_j)_j)$ が、$Q$ を施すと $QK$ の錐 $(QL,(Q\lambda_j)_j)$ が得られる。錐と極限の定義は 極限(圏論) による。

直積圏の極限

錐 $(L,\lambda)$ が $K$ の極限であるための必要十分条件は、$(PL,P\lambda)$ が $PK$ の極限であり、かつ $(QL,Q\lambda)$ が $QK$ の極限であることである。双対に、余錐が余極限であることも成分ごとに判定できる。

$L=(L_1,L_2)$、$\lambda_j=(\lambda^1_j,\lambda^2_j)$ と書く。
十分性。 $K$ の錐 $(X,\mu)$、$X=(X_1,X_2)$、$\mu_j=(\mu^1_j,\mu^2_j)$ をとる。$(X_1,\mu^1)$ は $PK$ の錐なので、$\lambda^1_j\circ u=\mu^1_j$（すべての $j$）を満たす $u\colon X_1\to L_1$ がただ 1 つある。同様に $\lambda^2_j\circ v=\mu^2_j$ を満たす $v$ がただ 1 つある。$\lambda_j\circ(u,v)=\mu_j$ は成分ごとにこの 2 つの条件と同じなので、$(u,v)$ が求める射であり、ただ 1 つである。
必要性。 $(L,\lambda)$ が $K$ の極限であるとし、$PK$ の錐 $(Y,\nu)$ をとる。$(Y,L_2)$ を頂点とし $(\nu_j,\lambda^2_j)$ を脚とする組は $K$ の錐である（第 1 成分は $(Y,\nu)$ が錐であること、第 2 成分は $(L,\lambda)$ が錐であることから、錐の条件が成り立つ）。よって $\lambda_j\circ(u,v)=(\nu_j,\lambda^2_j)$ を満たす $(u,v)\colon(Y,L_2)\to L$ があり、$\lambda^1_j\circ u=\nu_j$ である。一意性：$u,u'$ がともに $\lambda^1_j\circ u=\lambda^1_j\circ u'=\nu_j$ を満たせば、$(u,\operatorname{id}_{L_2})$ と $(u',\operatorname{id}_{L_2})$ はどちらも錐 $(Y,L_2)$ から $L$ への錐の射なので、極限の一意性から等しく、$u=u'$ である。$Q$ の側も同じである。余極限については、すべての射の向きを逆にした同じ議論である。$\square$

極限の存在
  1. $\mathcal C$ と $\mathcal D$ が $\mathcal J$ を形とする極限をすべてもつなら、$\mathcal C\times\mathcal D$ ももつ。
  2. $\mathcal C\times\mathcal D$ が $\mathcal J$ を形とする極限をすべてもち、$\mathcal D$ が対象を 1 つ以上もつなら、$\mathcal C$ も $\mathcal J$ を形とする極限をすべてもつ。

1：$K$ の成分 $PK$、$QK$ の極限を組にした錐は、thm-prodcat-limits の十分性により $K$ の極限である。2：$\mathcal C$ の図式 $K_1\colon\mathcal J\to\mathcal C$ をとり、$\mathcal D$ の対象 $d$ を 1 つ選んで、すべての対象を $d$、すべての射を $\operatorname{id}_d$ に送る図式 $K_2$ をとる。$\langle K_1,K_2\rangle$ の極限は仮定により存在し、thm-prodcat-limits の必要性により、その第 1 成分は $K_1$ の極限である。$\square$

対角関手の随伴

$\Delta(c):=(c,c)$、$\Delta(f):=(f,f)$ で定まる関手 $\Delta=\langle\operatorname{id},\operatorname{id}\rangle\colon\mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C$ を対角関手という。2 つの対象からなる離散圏 $\mathbf 2$ を添字とする関手圏 $\mathcal C^{\mathbf 2}$ は $\mathcal C\times\mathcal C$ と同型で、このとき $\Delta$ は定値図式をとる関手（図式(圏論) の定義「定値図式」）にあたる。

対角関手の右随伴と二項積

圏 $\mathcal C$ について、対角関手 $\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C$ が右随伴をもつことと、$\mathcal C$ の任意の 2 対象が積をもつことは同値である。このとき右随伴は $(a,b)\mapsto a\times b$ である。双対に、$\Delta$ が左随伴をもつことと、任意の 2 対象が余積をもつことは同値である。

要点：右随伴があれば恒等射の像 $(p_1,p_2)$ が積の射影になり、二項積があれば積をとる操作が関手になって、積の普遍性が随伴の全単射を与える。

詳しい証明を開く

右随伴があるとき： 右随伴 $R$ と、$c$ と $(a,b)$ について自然な全単射 $$\varphi\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}\bigl(c,R(a,b)\bigr)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal C\times\mathcal C}\bigl(\Delta c,(a,b)\bigr)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,a)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,b) $$をとる。$(p_1,p_2):=\varphi(\operatorname{id}_{R(a,b)})$ とおく。$c$ についての自然性を $h\colon c\to R(a,b)$ に当てると、$\varphi(h)=\varphi(\operatorname{id}\circ h)=\varphi(\operatorname{id})\circ\Delta h=(p_1\circ h,\,p_2\circ h)$ である。$\varphi$ は全単射なので、任意の $f\colon c\to a$、$g\colon c\to b$ に対し $p_1\circ h=f$、$p_2\circ h=g$ を満たす $h$ がただ 1 つある。すなわち $(R(a,b),p_1,p_2)$ は $a,b$ の積である。

二項積があるとき： 各 $(a,b)$ に積 $(a\times b,p_1,p_2)$ を 1 つ選ぶ。射 $(f,g)\colon(a,b)\to(a',b')$ に対し、$p_1\circ(f\times g)=f\circ p_1$、$p_2\circ(f\times g)=g\circ p_2$ を満たすただ 1 つの射を $f\times g\colon a\times b\to a'\times b'$ とする。積の普遍性の一意性から $(f'\times g')(f\times g)=f'f\times g'g$、$\operatorname{id}\times\operatorname{id}=\operatorname{id}$ となり、$\times$ は関手 $\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C$ である。$\psi(h):=(p_1h,p_2h)$ で定まる写像 $\psi\colon\operatorname{Hom}(c,a\times b)\to\operatorname{Hom}(c,a)\times\operatorname{Hom}(c,b)$ は積の普遍性により全単射である。$k\colon c'\to c$ について $\psi(h\circ k)=\psi(h)\circ\Delta k$、$(f,g)\colon(a,b)\to(a',b')$ について $\psi((f\times g)\circ h)=(fp_1h,\,gp_2h)=(f,g)\circ\psi(h)$ なので、$\psi$ は $c$ と $(a,b)$ のそれぞれについて自然であり、prop-prodcat-natural-separately により $\mathcal C^{\mathrm{op}}\times(\mathcal C\times\mathcal C)$ 上の自然同型である。よって $\Delta\dashv\times$ である。余積の場合は、すべての射の向きを逆にした同じ議論である。$\square$

この右随伴の記述は Mac98 IV.1（p. 84）にあり、余積を $\Delta$ への普遍射として導入する見方は同書 III.3（p. 62）にある。

反例の表

外す条件反例成り立たなくなること
$\mathcal D$ が対象をもつ（cor-prodcat-limits の 2）$\mathcal C$ は 2 対象 $x,y$ の離散圏、$\mathcal D=\mathbf 0$$\mathcal C\times\mathcal D$ は二項積をすべてもつが、$\mathcal C$ の $x,y$ は積をもたない
任意の 2 対象が積をもつ（prop-prodcat-diagonal）2 対象 $x,y$ の離散圏対角関手 $\Delta$ が右随伴をもたない
$Q\circ H=G$ も課す（thm-prodcat-universal の 1）$\mathcal E=\mathcal C=\mathbf 1$、$\mathcal D$ は 2 対象の離散圏$P\circ H=F$ だけでは $H$ が 1 つに決まらない

1 行目：$\mathcal C\times\mathbf 0=\mathbf 0$ は対象をもたないので、二項積を作るべき対象の組がなく、条件は空虚に満たされる。一方、離散圏 $\mathcal C$ では $x$ と $y$ の両方へ射をもつ対象がない（離散圏の射は恒等射だけなので、そのような対象は $x$ でも $y$ でもありえない）ので、積はない。2 行目は 1 行目の $\mathcal C$ に prop-prodcat-diagonal を当てたものである。3 行目：$\mathbf 1\times\mathcal D\cong\mathcal D$ への関手 $\mathbf 1\to\mathcal D$ は $\mathcal D$ の対象の数だけ 2 つあり、どちらも $P\circ H=F$（$\mathbf 1$ への唯一の関手）を満たす。

補足

直積圏と直積集合の違い。 $\mathcal C\times\mathcal D$ の射は「片方ずつの射の組」に限られ、成分をまたぐ射はない。そのため $\mathcal C\times\mathcal D$ からの関手は、成分ごとの関手の族と、それらの交換条件（関手 の命題「二変数の関手の判定」）で決まる。たとえば $\mathcal B=\mathcal C=[1]$ のとき、各変数ごとの関手を勝手に与えても、$S(0,0)\to S(0,1)\to S(1,1)$ と $S(0,0)\to S(1,0)\to S(1,1)$ の 2 通りの合成が一致しなければ、それらを延長する二変数の関手はない。
∞圏の場合。 ∞圏を単体的集合の準圏としてモデル化するとき、直積圏にあたるのは単体的集合の直積 $\mathcal C\times\mathcal D$ である。内部角の持ち上げの問題は成分ごとの持ち上げの問題に分かれるので、準圏の直積は準圏である。

関連項目

参考文献

[1]
Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics 5, Springer, 1998, II.3 Products of Categories（pp. 36–39：定義・射影の普遍性、Proposition 1（二変数の関手）、Proposition 2（二変数の自然変換、p. 38）、C×2 と自然変換（p. 39）、演習 1・2（p. 39））、III.3（p. 62、余積を対角関手への普遍射として定める）、IV.1（p. 84、積の関手は対角関手の右随伴）

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