超尖点表現

要点：$V(U)$ の元は有限個の $u_j$ しか使わないので、それらを含む $U_k$ で平均すると消える。逆に平均が $0$ なら $v$ は「$v$ と平均の差」として $V(U)$ に入る。

$A\in\operatorname{Hom}_G(\pi,\operatorname{Ind}_P^G\sigma)$ に対し $\alpha(v):=A(v)(1)$ とおく。$p\in P$ なら $\alpha(\pi(p)v)=A(v)(p)=\sigma(p)\alpha(v)$ なので $\alpha$ は $P$ 準同型である。$\sigma$ は $U$ の上で自明なので $\alpha(\pi(u)v-v)=0$ であり、$\alpha$ は $V_U$ を経由して $M$ 準同型 $\bar\alpha\colon V_U\to W$ を与える。
逆に $\lambda\in\operatorname{Hom}_M(V_U,W)$ に対し、$v\in V$ の類を $\bar v$ と書いて $B(v)(g):=\lambda(\overline{\pi(g)v})$ とおく。$v$ を固定する開部分群 $K_v$ について $B(v)(gk)=B(v)(g)$ である。$m\in M$、$u\in U$ について、$\overline{\pi(u)w}=\bar w$ だから $B(v)(mug)=\lambda(\overline{\pi(m)\pi(g)v})=\sigma(m)B(v)(g)$ である。よって $B(v)\in\operatorname{Ind}_P^G\sigma$ で、$B(\pi(h)v)(g)=B(v)(gh)$ だから $B$ は $G$ 準同型である。
$B(v)(1)=\lambda(\bar v)$ であり、逆に $A(v)(g)=A(\pi(g)v)(1)=\bar\alpha(\overline{\pi(g)v})$ だから、2 つの対応は互いに逆である。$\square$

1 ⇒ 2：$V_U=0$ なら thm-scr-frobenius の右辺は $0$ である。
2 ⇒ 1：対偶を示す。ある真の $P=MU$ で $V_U\ne0$ とする。$V_U$ は $M$ の smooth 表現なので、$\sigma:=V_U$ ととれる。恒等写像 $\mathrm{id}\in\operatorname{Hom}_M(V_U,\sigma)$ は $0$ でないから、thm-scr-frobenius により $0$ でない $G$ 準同型 $A\colon\pi\to\operatorname{Ind}_P^G\sigma$ がある。$\ker A$ は $\pi$ の部分表現で $V$ 全体ではないから、$\pi$ の既約性により $\ker A=0$ であり、$A$ は埋め込みである。$\square$

方針：(a) で $J$ の外の両側剰余類が $\tilde\tau$ と絡み合わないことを尖点条件から示し、(b) でそこから既約性を、(c) で lem-scr-jl を使って Jacquet 加群の消滅を導く。
(a) 絡作用素の消滅：$g\notin J$ に対し $H_g:=J\cap g^{-1}Jg$、$\operatorname{Hom}_{H_g}(\tilde\tau,\tilde\tau^g)=0$ を示す。$g'=j_1gj_2$ なら $T\mapsto\tilde\tau(j_1)T\tilde\tau(j_2)$ が $\operatorname{Hom}_{H_g}(\tilde\tau,\tilde\tau^g)$ と $\operatorname{Hom}_{H_{g'}}(\tilde\tau,\tilde\tau^{g'})$ の同型を与える（$H_{g'}=j_2^{-1}H_gj_2$）。Cartan 分解 $G=\bigsqcup_{a\le b}K\operatorname{diag}(\varpi^a,\varpi^b)K$（BZ76 3.2, p. 29）と中心で割ることにより、$g=\operatorname{diag}(1,\varpi^m)$、$m\ge1$ としてよい。$g^{-1}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}g=\begin{pmatrix}a&\varpi^mb\\\varpi^{-m}c&d\end{pmatrix}$ なので、$H_g$ は下三角の冪単群 $N^-(\mathcal{O})$ を含む。$x\in N^-(\mathcal{O})$ では $gxg^{-1}$ の $(2,1)$ 成分が $\varpi^m\mathcal{O}$ に入るので $\tilde\tau^g(x)=1$、一方 $\tilde\tau(x)=\tau(\bar x)$ で $\bar x$ は $N^-(\mathbb{F}_q)$ 全体を動く。絡作用素 $T$ は $T\tau(\bar x)=T$ を満たすので、$\tau(\bar x)w-w$ の形のベクトルをすべて消す。$N^-(\mathbb{F}_q)$ は有限群なので $V_\tau$ はそれらの張る空間と $V_\tau^{N^-}$ の直和であり、$V_\tau^{N^-}=\tau(w_0)V_\tau^{N}=0$（$w_0$ は反対角の置換行列）だから $T=0$ である。
(b) 既約性：$f\in\pi$ を両側剰余類 $JgJ$ ごとの部分の和に分けると、$\pi|_J=\bigoplus_{JgJ}W_g$ で、$W_g$（台が $JgJ$ の関数）は $\varphi(y)=f(gy)$ により $\operatorname{Ind}_{H_g}^J\tilde\tau^g$（指数有限の誘導）と同型である。Frobenius 相互律と (a) により $g\notin J$ なら $\operatorname{Hom}_J(\tilde\tau,W_g)=0$ である。$\varpi$ は $\pi$ にも $\tilde\tau$ にも自明に作用するので $J$ 準同型は $K$ 準同型と同じであり、smooth な $K$ 表現は有限商を経由する有限次元表現の和なので、$K$ の群環の冪等元 $e_\tau$（$\tau$ 成分への射影。$f$ を固定する開部分群を法とした有限和）は $W_1$ 上で恒等写像、$g\notin J$ の $W_g$ 上で $0$ になる。$0$ でない部分表現 $X\subset\pi$ と $0$ でない $f\in X$ をとり、$f(x)\ne0$ なる $x$ で $f':=\pi(x)f$ とすると $f'(1)\ne0$、$e_\tau f'\in X$ は $f'$ の $W_1$ 成分で $e_\tau f'(1)=f'(1)\ne0$ である。$X\cap W_1$ は既約な $W_1\cong\tilde\tau$ の $0$ でない部分表現なので $W_1\subset X$ である。台が $Jx$ の関数 $f$ は $\pi(x)f\in W_1$ を満たすので $f=\pi(x^{-1})\pi(x)f\in X$ であり、$\pi$ の元はそのような関数の有限和だから $X=\pi$ である。
(c) 超尖点性：真の標準放物型部分群は $B$ だけで、$U=\Bigl\{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}\Bigr\}$、$U_m$ を $x\in\varpi^{-m}\mathcal{O}$ の部分とする。$\pi$ は $\pi(g)f_v$ の和で張られるので、各 $g,v$ について $\int_{U_m}\pi(u)\pi(g)f_v\,du=0$（$m$ が大きいとき）を示せば lem-scr-jl により $V(U)=V$ となる。Iwasawa 分解（BZ76 3.2, p. 29）で $g=bk$（$b\in B$、$k\in K$）と書くと、$U_g:=U\cap gJg^{-1}=bU(\mathcal{O})b^{-1}$ はコンパクトで（$U\cap J=U(\mathcal{O})$ は行列式を比べて分かる）、$H:=g^{-1}U_gg=k^{-1}U(\mathcal{O})k$ の像は $\bar k^{-1}N(\mathbb{F}_q)\bar k$ である。$m$ を $U_g\subset U_m$ となるようにとり、$y\in G$ を固定する。$yug\in J$ となる $u\in U_m$ がなければ $\int_{U_m}f_v(yug)\,du=0$ である。あれば 1 つ $u_0$ をとると、そのような $u$ の全体は $u_0U_g$ で、$f_v(yu_0u'g)=\tilde\tau(yu_0g)\tilde\tau(g^{-1}u'g)v$（$u'\in U_g$）だから、積分は $\tilde\tau(yu_0g)$ に $H$ 上の $\tilde\tau$ の平均を $v$ に当てたものの定数倍になる。その平均は $\tau(\bar k^{-1})$ と、$N(\mathbb{F}_q)$ 上の平均（$V_\tau^N=0$ への射影）と、$\tau(\bar k)$ の合成なので $0$ である。$\square$