Trudingerの不等式

$r:=|x|$ と書く。$x\ne0$ で $u$ は $C^\infty$ 級で $|\nabla u|=\frac\alpha r\bigl(\log\frac1r\bigr)^{\alpha-1}$ である。極座標 で
$$ \int_\Omega|\nabla u|^N\,dx=N\omega_N\alpha^N\int_0^{1/2}\frac1r\Bigl(\log\frac1r\Bigr)^{N(\alpha-1)}dr=N\omega_N\alpha^N\int_{\log2}^\infty s^{N(\alpha-1)}\,ds $$
（$s=\log\frac1r$）で、$\alpha<1-\frac1N$ は $N(\alpha-1)<-1$ と同値なので有限である。$\int_\Omega|u|^N$ は $r^{N-1}(\log\frac1r)^{\alpha N}$ が有界なので有限である。最後に、古典的な勾配が $\Omega$ 全体での弱勾配であることを確かめる。$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $\varepsilon< |x|$ で部分積分すると、球面 $|x|=\varepsilon$ の境界項は $\sup|\varphi|\cdot(\log\frac1\varepsilon)^\alpha\cdot N\omega_N\varepsilon^{N-1}\to0$ である（$N\ge2$）。$u$ と $\nabla u$ は $\Omega$ で可積分なので、$\varepsilon\to0$ として $\int u\,\partial_i\varphi=-\int\partial_iu\,\varphi$ を得る。$\square$

単位ベクトル $\theta$ について、$u$ の台はコンパクトなので $u(x)=-\int_0^\infty\frac d{d\rho}u(x+\rho\theta)\,d\rho$ であり、$|u(x)|\le\int_0^\infty|\nabla u(x+\rho\theta)|\,d\rho$ である。$\theta$ について単位球面上で積分すると、左辺は $N\omega_N|u(x)|$、右辺は 極座標（$y=x+\rho\theta$、$dy=\rho^{N-1}d\rho\,d\theta$）で $\int|\nabla u(y)|\,|x-y|^{1-N}dy$ になる。$\square$

まず $u\in C_c^1(\Omega)$ とし、$\Omega$ の外で $0$ とおく。$f:=|\nabla u|$、$K(z):=|z|^{1-N}\mathbf 1_{\{|z|< d\}}$ とする。$x,y\in\Omega$ なら $|x-y|< d$ なので（$\Omega$ は開集合）、lem-trudinger-potential から $\Omega$ 上で $|u|\le\frac1{N\omega_N}(K*f)$ である。
$r$ を $\frac1r=\frac1{N'}+\frac1q$ で定めると $1\le r< N'$ である（$q>N$ による）。$x$ を固定し、$K(x-y)f(y)$ を 3 つの因子
$$ \bigl(K^rf^N\bigr)^{1/q}\cdot K^{r/N'}\cdot f^{N(1/N-1/q)} $$
に分けて、指数 $q$、$N'$、$\bigl(\frac1N-\frac1q\bigr)^{-1}$ の Hölderの不等式（$\frac1q+\frac1{N'}+\frac1N-\frac1q=1$）を使う。指数の確認：$\frac rq+\frac r{N'}=1$ なので $K$ の冪の和は $1$ である。$\|\cdot\|_r$ を $K$ の $L^r(\mathbb R^N)$ ノルムとして
$$ (K*f)(x)\le\Bigl(\int K(x-y)^rf(y)^N\,dy\Bigr)^{1/q}\|K\|_r^{r/N'}\|f\|_N^{1-N/q} $$
である。$q$ 乗して $x$ について積分し、Tonelliの定理 を使うと $\|K*f\|_q^q\le\|K\|_r^r\|f\|_N^N\cdot\|K\|_r^{rq/N'}\|f\|_N^{q-N}$、すなわち $\|K*f\|_q\le\|K\|_r\|f\|_N$ を得る。
$\|K\|_r$ を 極座標 で計算する。$(N-1)(1-r)>-1$（$r< N'$ による）なので
$$ \|K\|_r^r=N\omega_N\int_0^d\rho^{(N-1)(1-r)}\,d\rho=N\omega_N\frac{d^{\,N-(N-1)r}}{N-(N-1)r}=\omega_N\,\frac qr\,d^{\,rN/q} $$
である（$N-(N-1)r=\frac{rN}q$ による）。$\frac qr=\frac q{N'}+1\le q$、$\frac1r=\frac1{N'}+\frac1q$、$q^{1/q}\le e^{1/e}$ から $\|K\|_r\le\max(1,\omega_N)\,e^{1/e}\,q^{1/N'}d^{N/q}$ となり、主張が従う。
一般の $u\in W^{1,N}_0(\Omega)$ では、$C_c^\infty(\Omega)$ の列 $u_n\to u$（$W^{1,N}$ で）をとり、ほとんど至る所収束する部分列に Fatouの補題 を使えばよい。$\square$

$u\ne0$ なら $\|\nabla u\|_N>0$ である（$\|\nabla u\|_N=0$ なら Poincaréの不等式 の定理「幅が有限な領域でのPoincaréの不等式」から $u=0$）。$w:=u/\|\nabla u\|_N$ とおくと $\|\nabla w\|_N=1$ である。非負の項の級数なので、単調収束定理 により
$$ \int_\Omega e^{\beta|w|^{N'}}dx=\sum_{k=0}^\infty\frac{\beta^k}{k!}\int_\Omega|w|^{kN'}dx $$
である。$k\ge N$ では $q:=kN'>N$ に lem-trudinger-growth を当てると、$q^{q/N'}=(kN')^k$ なので
$$ \frac{\beta^k}{k!}\int_\Omega|w|^{kN'}\le\frac{\beta^k}{k!}A_N^{\,kN'}(kN')^k\,d^N\le\bigl(e\beta N'A_N^{\,N'}\bigr)^kd^N $$
となる。ここで $k^k\le e^kk!$（$e^k=\sum_j\frac{k^j}{j!}\ge\frac{k^k}{k!}$）を使った。$\beta<\beta_N$ なので公比は $1$ より小さく、$k\ge N$ の和は $d^N$ の定数倍で押さえられる。$k< N$ の有限個の項は、$|w|^{kN'}\le1+|w|^{NN'}$ と $k=N$ の評価、および $|\Omega|\le\omega_Nd^N$（$\Omega$ は $\Omega$ の 1 点を中心とする半径 $d$ の球に含まれる）から、やはり $d^N$ の定数倍で押さえられる。どの定数も $N$ と $\beta$ だけで決まる。$\square$

$0<\lambda<1$ と $a,b\ge0$ について、$t\mapsto t^{N'}$ の凸性から
$$ (a+b)^{N'}=\Bigl((1-\lambda)\frac a{1-\lambda}+\lambda\frac b\lambda\Bigr)^{N'}\le(1-\lambda)^{1-N'}a^{N'}+\lambda^{1-N'}b^{N'} $$
である。$\lambda:=\frac12$ に固定し、$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ を $\delta:=\|\nabla(u-\varphi)\|_N$ が $c\,2^{N'-1}\delta^{N'}<\beta_N/2$ を満たすようにとる。$|u|\le|u-\varphi|+|\varphi|$ から
$$ e^{c|u|^{N'}}\le e^{c2^{N'-1}\sup|\varphi|^{N'}}\cdot e^{c2^{N'-1}|u-\varphi|^{N'}} $$
である。$\delta=0$ なら $u=\varphi$ で明らかである。$\delta>0$ なら第 2 因子は $\exp\bigl(\beta(|u-\varphi|/\delta)^{N'}\bigr)$（$\beta:=c2^{N'-1}\delta^{N'}<\beta_N$）なので、thm-trudinger-zero により可積分である。$\square$

Sobolev空間の延長作用素 の定理「$C^1$ 級の開集合の延長作用素」により、延長作用素 $P\colon W^{1,N}(\Omega)\to W^{1,N}(\mathbb R^N)$ がある。$\overline\Omega$ を内部に含む開球 $B$ と、$\overline\Omega$ の近傍で $1$、台が $B$ に含まれるコンパクト集合である $\kappa\in C_c^\infty(B)$ を固定し、$Tu:=\kappa\,Pu$ とおく。$Tu$ は台が $B$ のコンパクト部分集合に含まれる $W^{1,N}(\mathbb R^N)$ の元で、軟化子 による平滑化は $B$ の中に台をもったまま $W^{1,N}$ で $Tu$ に収束するので、$Tu\in W^{1,N}_0(B)$ である。$\Omega$ の上で $Tu=u$、$\|\nabla(Tu)\|_{L^N(B)}\le M\|u\|_{W^{1,N}(\Omega)}$（$M$ は $P$ と $\kappa$ で決まる）である。
1．$\beta_\Omega:=\beta_N/(2M^{N'})$ とおく。$\nabla(Tu)\ne0$ なら $\frac{|u|}{\|u\|_{W^{1,N}}}\le M\frac{|Tu|}{\|\nabla(Tu)\|_N}$ なので、thm-trudinger-zero を $B$ と $\beta=\beta_N/2$ で使えば、$\int_\Omega\exp\bigl(\beta_\Omega(|u|/\|u\|_{W^{1,N}})^{N'}\bigr)\le C_{N,\beta_N/2}(\operatorname{diam}B)^N$ である。$\nabla(Tu)=0$ なら $Tu\in W^{1,N}_0(B)$ から $Tu=0$、よって $u=0$ である。
2．$Tu\in W^{1,N}_0(B)$ に cor-trudinger-every-c を当て、$\Omega$ に制限すればよい。$\square$

$q>N'$ は $\frac1q<1-\frac1N$ と同値なので、$\frac1q<\alpha<1-\frac1N$ となる $\alpha$ がとれる。ex-trudinger-log の $u$ について $c|u|^q=c\bigl(\log\frac1r\bigr)^{\alpha q}$ で、$\alpha q>1$ なので、十分小さい $r$ では $c\bigl(\log\frac1r\bigr)^{\alpha q}\ge N\log\frac1r$ である。そこでは $\exp(c|u|^q)\ge r^{-N}$ で、極座標 で $\int_0^{r_0}r^{-N}r^{N-1}dr=\infty$ である。$\square$