正則閉集合

同義語：regular closed set

概要

定義

本記事では、位相空間 $X$ の部分集合 $A$ について、$A$ の内部（$A$ に含まれる最大の開集合）を $\operatorname{int}A$、$A$ の閉包（$A$ を含む最小の閉集合）を $\overline{A}$ と書く（$\operatorname{Int}A$、$\operatorname{Cl}A$ とも書く）。内部と閉包の記事で証明されている基本性質（内部・閉包の単調性と冪等性、閉包が有限個の和集合を保つこと、双対性 $\operatorname{int}(X\setminus A)=X\setminus\overline{A}$）を引いて用いる。

正則閉集合

位相空間 $X$ の部分集合 $F$ が 正則閉集合（regular closed set）であるとは、
$$ F=\overline{\operatorname{int}F} $$
が成り立つことをいう。閉包は閉集合なので、正則閉集合は閉集合である。$X$ の正則閉集合全体の集合を $\operatorname{RC}(X)$ と書く。

閉集合 $F$ については $\operatorname{int}F\subset F$ と閉包の単調性から $\overline{\operatorname{int}F}\subset\overline{F}=F$ がつねに成り立つので、閉集合 $F$ が正則閉であることは、逆の包含 $F\subset\overline{\operatorname{int}F}$、すなわち $\operatorname{int}F$ が $F$ の中で稠密であることと同値である。

直感

正則閉集合とは「内部の閉包で自分自身を復元できる」閉集合、言い換えると「厚みのある部分だけからできていて、髭や孤立した点のような厚みのない部分を持たない」閉集合である。閉区間 $[0,1]$ は内部 $(0,1)$ の閉包で復元できるので正則閉であるが、一点集合やCantor集合は内部が空なので、内部の閉包は空集合になり復元できない。この概念は正則開集合と補集合で対応しており、$F$ が正則閉であることは $X\setminus F$ が正則開であることと同値である。

例と反例

閉区間と閉球

$X=\mathbb{R}$（通常の位相、実数直線）とする。$a< b$ に対し閉区間 $F=[a,b]$ は $\operatorname{int}F=(a,b)$、$\overline{(a,b)}=[a,b]$ なので正則閉集合である。有限個の閉区間の和集合 $[0,1]\cup[2,3]$ も、prop-regular-closed-union により正則閉である。$n$ 次元 Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ の閉球 $\overline{B}(x,r)=\{y\mid\|y-x\|\le r\}$（$r>0$、開球は $B(x,r)=\{y\mid\|y-x\|< r\}$）は、正則開集合の記事で示されている $\operatorname{int}\overline{B}(x,r)=B(x,r)$ と $\overline{B(x,r)}=\overline{B}(x,r)$ により正則閉である。

開集合の閉包

任意の開集合 $U$ の閉包 $\overline{U}$ は正則閉集合である（prop-regular-closed-characterization）。たとえば $\overline{(0,1)\cup(1,2)}=[0,2]$、$\overline{\mathbb{R}\setminus\{0\}}=\mathbb{R}$ は正則閉である。逆に正則閉集合はすべて開集合の閉包として得られる。

反例：一点集合と Cantor 集合

$X=\mathbb{R}$ とする。一点集合 $\{0\}$ は閉集合であるが、$\operatorname{int}\{0\}=\emptyset$ なので $\overline{\operatorname{int}\{0\}}=\emptyset\neq\{0\}$ であり、正則閉でない。Cantor 集合 $C\subset[0,1]$ も閉集合であるが、空でない区間を含まないので $\operatorname{int}C=\emptyset$ であり、正則閉でない。これらは性質「閉集合である」を満たし、性質「正則閉集合である」を満たさず、含意「閉 ⇒ 正則閉」を破る。内部が空でなくても正則閉とは限らない。$[0,1]\cup\{2\}$ は閉集合で $\operatorname{int}([0,1]\cup\{2\})=(0,1)$ だから $\overline{\operatorname{int}([0,1]\cup\{2\})}=[0,1]\neq[0,1]\cup\{2\}$ である。

反例：共通部分は正則閉とは限らない

$[0,1]$ と $[1,2]$ はいずれも正則閉集合であるが（ex-regular-closed-intervals）、共通部分 $[0,1]\cap[1,2]=\{1\}$ は rem-regular-closed-point-cantor により正則閉でない。この例は含意「正則閉集合の共通部分は正則閉」を破る。prop-regular-closed-union により有限個の和集合は正則閉なので、和と共通部分とで振る舞いが異なる。

性質

正則閉集合の特徴づけ

$X$ を位相空間、$F\subset X$ とする。次の条件は同値である。

$F$ は正則閉集合である。
ある開集合 $U$ について $F=\overline{U}$。
$F$ は閉集合であり、$F$ の境界 $\partial F=F\setminus\operatorname{int}F$ と $\operatorname{int}F$ の境界 $\partial(\operatorname{int}F)=\overline{\operatorname{int}F}\setminus\operatorname{int}F$ が一致する。

1 ⇒ 2：$U=\operatorname{int}F$ ととればよい。2 ⇒ 1：$F=\overline{U}$ は閉集合であり、$U$ は $\overline{U}$ に含まれる開集合なので $U\subset\operatorname{int}\overline{U}\subset\overline{U}$ である。閉包の単調性と冪等性から $\overline{U}\subset\overline{\operatorname{int}\overline{U}}\subset\overline{\overline{U}}=\overline{U}$ となり、$F=\overline{U}=\overline{\operatorname{int}F}$ である。
1 ⇔ 3：閉集合 $F$ について、境界の定義 $\partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}A$ から $\partial F=F\setminus\operatorname{int}F$ であり、$\partial(\operatorname{int}F)=\overline{\operatorname{int}F}\setminus\operatorname{int}F$ である。$\operatorname{int}F\subset\overline{\operatorname{int}F}\subset F$ なので、この二つの差集合が一致することは $\overline{\operatorname{int}F}=F$ と同値である。$\square$

正則開集合との補集合対応と閉包・内部による対応

$X$ を位相空間とし、$\operatorname{RO}(X)$ を $X$ の正則開集合（$U=\operatorname{int}\overline{U}$ を満たす集合）全体とする。

$F\subset X$ が正則閉集合であることと、補集合 $X\setminus F$ が正則開集合であることは同値である。
$F$ が正則閉ならば $\operatorname{int}F$ は正則開であり、$U$ が正則開ならば $\overline{U}$ は正則閉である。写像 $\operatorname{RC}(X)\to\operatorname{RO}(X)$、$F\mapsto\operatorname{int}F$ と $\operatorname{RO}(X)\to\operatorname{RC}(X)$、$U\mapsto\overline{U}$ は互いに逆な全単射であり、包含関係を保つ。

1：正則開集合の記事で、$U$ が正則開であることと $X\setminus U$ が正則閉であることの同値が証明されている。$U=X\setminus F$ ととれば主張を得る。要点だけ再掲すると、双対性から $\overline{\operatorname{int}(X\setminus U)}=X\setminus\operatorname{int}\overline{U}$ なので、$X\setminus U=\overline{\operatorname{int}(X\setminus U)}$ と $U=\operatorname{int}\overline{U}$ が同値になる。
2：$F$ が正則閉なら $F=\overline{\operatorname{int}F}$ の両辺の内部をとって $\operatorname{int}F=\operatorname{int}\overline{\operatorname{int}F}$ となり、これは $\operatorname{int}F$ が正則開であることを意味する。同様に $U$ が正則開なら $U=\operatorname{int}\overline{U}$ の両辺の閉包をとって $\overline{U}=\overline{\operatorname{int}\overline{U}}$ となり、$\overline{U}$ は正則閉である。合成について、$F\in\operatorname{RC}(X)$ なら $\overline{\operatorname{int}F}=F$、$U\in\operatorname{RO}(X)$ なら $\operatorname{int}\overline{U}=U$ なので、二つの写像は互いに逆である。内部と閉包が単調なので、いずれも包含関係を保つ。$\square$

有限和の保存

$F,G$ が位相空間 $X$ の正則閉集合ならば $F\cup G$ も正則閉集合である。したがって有限個の正則閉集合の和集合は正則閉である。

$F\cup G$ は閉集合なので、$F\cup G\subset\overline{\operatorname{int}(F\cup G)}$ を示せばよい。$\operatorname{int}F\cup\operatorname{int}G$ は $F\cup G$ に含まれる開集合だから $\operatorname{int}F\cup\operatorname{int}G\subset\operatorname{int}(F\cup G)$ であり、閉包の単調性と、閉包が有限個の和集合を保つことから
$$ F\cup G=\overline{\operatorname{int}F}\cup\overline{\operatorname{int}G}=\overline{\operatorname{int}F\cup\operatorname{int}G}\subset\overline{\operatorname{int}(F\cup G)} $$
である。有限個の場合は数学的帰納法による。$\square$

共通部分については rem-regular-closed-intersection の通り成り立たない。正則閉集合の「交わり」として意味を持つのは $\overline{\operatorname{int}(F\cap G)}$ である。実際、prop-regular-closed-correspondence の 2 の全単射は包含を保つので、$\operatorname{RC}(X)$ は $\operatorname{RO}(X)$ と順序集合として順序同型であり、$\operatorname{RO}(X)$ が完備 Boole代数をなすこと（正則開集合）から $\operatorname{RC}(X)$ も完備 Boole 代数をなす。$\operatorname{RC}(X)$ における結びは和集合 $F\cup G$（prop-regular-closed-union）、交わりは $\overline{\operatorname{int}(F\cap G)}$、補元は $\overline{X\setminus F}$ である。

無限和についての注意

正則閉集合の族 $\{F_i\}_{i\in I}$ について、$\overline{\bigcup_{i\in I}F_i}$ は正則閉集合である。一方、和集合 $\bigcup_{i\in I}F_i$ 自身は閉集合とは限らず、したがって正則閉とも限らない。

各 $F_i=\overline{\operatorname{int}F_i}$ だから $\bigcup_iF_i\subset\overline{\bigcup_i\operatorname{int}F_i}$ であり、$U:=\bigcup_i\operatorname{int}F_i$ は開集合である。$U\subset\bigcup_iF_i$ より $\overline{U}\subset\overline{\bigcup_iF_i}\subset\overline{\overline{U}}=\overline{U}$ なので $\overline{\bigcup_iF_i}=\overline{U}$ は開集合の閉包であり、prop-regular-closed-characterization により正則閉である。後半は $F_n=[1/n,1]$（$n\ge1$）をとると $\bigcup_nF_n=(0,1]$ が閉集合でないことからわかる。$\square$

補足

領域の閉包と Jordan 可測性への導線

$\mathbb{R}^n$ の空でない連結な開集合（連結空間）を領域といい、その閉包を閉領域ということがある。閉領域は開集合の閉包なので正則閉集合である（prop-regular-closed-characterization）。ただし、閉領域 $F=\overline U$ から得られる $\operatorname{int}F$ は元の領域 $U$ の正則化であり、常に $U$ を復元するわけではない。実際、$n\geq2$ で $U=B(0,1)\setminus\{0\}$ とすると、$U$ は連結な開集合だが、$\operatorname{int}\overline U=B(0,1)\supsetneq U$ である。元の領域を復元できるのは $U=\operatorname{int}\overline U$、すなわち $U$ が正則開集合である場合に限る。境界の取り扱いが問題になる積分定理（Greenの定理やGaussの発散定理）で扱う「なめらかな境界を持つ閉領域」は、正則閉集合のうち境界が超曲面になっているものである。
有界集合 $A\subset\mathbb{R}^n$ が Jordan可測集合であることは、境界 $\partial A$ の Lebesgue測度が $0$ であることと同値である（Mun91 §14）。正則閉であることと Jordan 可測であることは互いに独立な条件である。一点集合は Jordan 可測（境界は一点で測度 $0$）であるが正則閉でない。逆に、正則閉であるが Jordan 可測でない有界集合も存在する。$[0,1]$ の中の、孤立点を持たない、測度正の疎な閉集合 $K$（Smith–Volterra–Cantor 集合など）をとる。$[0,1]\setminus K$ は可算個の開区間の非交和であり、これらの開区間全体は可算集合 $\{I_k\}$ をなす。各 $I_k$ の中点を中心とする、$I_k$ に真に含まれる十分短い開区間を $J_k$ として、$U:=\bigcup_kJ_k$ とおく。$U$ は開集合で、$\overline{U}\supset K$、$\operatorname{int}\overline{U}=U$ である（$K$ が孤立点を持たないので $x\in K$ の任意の近傍は補区間 $I_k$ をまるごと含み $K\subset\overline U$。各 $I_k\setminus\overline{J_k}\ne\emptyset$ より $\operatorname{int}\overline U=U$）。よって $F=\overline{U}$ は正則閉で、$\partial F=F\setminus U\supset K$ は測度正であり、$F$ は Jordan 可測でない。

名称と参考文献

正則開集合・正則閉集合の一般論と $\operatorname{RO}(X)$ が完備 Boole 代数をなすことは Giv09 Chapter 10 にあり、Cantor 集合の性質（コンパクト空間、内部が空、孤立点を持たない）は Mun00 §27 の演習で扱われている。

正則閉集合

概要

定義

直感

例と反例

性質

補足

領域の閉包と Jordan 可測性への導線

名称と参考文献

関連項目