正規化複シャッフル関係式
概要
正規化複シャッフル関係式（regularized double shuffle relations）とは、多重ゼータ値の積を調和積とシャッフル積で展開した二つの式が、発散するインデックスを変数 $T$ の多項式に正規化しても一致するという関係式の族のことであり、$w_1\in\mathfrak{H}^1$、$w_0\in\mathfrak{H}^0$ に対し $Z^{\bullet}_T(w_1\mathbin{\text{ш}}w_0)=Z^{\bullet}_T(w_1\ast w_0)$ と書ける。二つの正規化が Γ 関数で決まる線形写像 $\rho$ で移り合うこと（比較定理）から従い、Euler の等式 $\zeta(1,2)=\zeta(3)$ や Hoffman の関係式を含む。多重ゼータ値のすべての線形関係式を生むと予想されている。
多重ゼータ値どうしの積は、級数として掛ければ調和積、反復積分として掛ければシャッフル積で展開でき、二つの展開を等しいとおくと線形関係式（複シャッフル関係式）が得られる。しかしこの関係式は許容インデックスどうしの積からしか作れないので、重さ $3$ の Euler の等式 $\zeta(1,2)=\zeta(3)$ すら出てこない。正規化複シャッフル関係式は、最後の成分が $1$ で発散するインデックスにも二つの積の展開を広げ、発散を変数 $T$ の多項式として正規化したうえで両者を比べた関係式である。調和積側の正規化とシャッフル積側の正規化は一致しないが、その違いは Γ 関数の Taylor 係数で決まる一つの線形写像 $\rho$ で完全に記述される（比較定理）。
定義
本記事は 多重ゼータ値 と Hoffman代数 の記号を使う。$\mathfrak{H}=\mathbb{Q}\langle x,y\rangle$、$\mathfrak{H}^1=\mathbb{Q}+y\mathfrak{H}$、$\mathfrak{H}^0=\mathbb{Q}+y\mathfrak{H}x$、$z_k=yx^{k-1}$、インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $z_{\boldsymbol{k}}=z_{k_1}\cdots z_{k_r}$ とし、$\ast$ を調和積、$\mathbin{\text{ш}}$ をシャッフル積、$Z\colon\mathfrak{H}^0\to\mathbb{R}$ を $Z(z_{\boldsymbol{k}})=\zeta(\boldsymbol{k})$ で定まる評価写像とする。和は $0< n_1<\cdots< n_r$ にわたる流儀で、許容インデックスは $k_r\ge2$ のものである。以下 $\bullet$ は $\ast$ と $\mathbin{\text{ш}}$ のどちらかを表す。正整数 $N$ に対し、打ち切り和
$$\zeta_{< N}(\boldsymbol{k}):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< N}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}},\qquad \zeta_{< N}(\emptyset)=1$$
を $\mathbb{Q}$ 線形に $\zeta_{< N}\colon\mathfrak{H}^1\to\mathbb{Q}$ へ延ばしておく。これは任意のインデックスに対して定まる有限和であり、$H_{N-1}:=\zeta_{< N}(1)=1+\frac12+\cdots+\frac{1}{N-1}$ は調和数である。
Hoffman代数 の定理「構造定理」により、$(\mathfrak{H}^1,\bullet)$ は $(\mathfrak{H}^0,\bullet)$ 上の $y$ を変数とする多項式環であり、各 $w\in\mathfrak{H}^1$ は $w=\sum_{j=0}^{n}a_j\bullet y^{\bullet j}$（$a_j\in\mathfrak{H}^0$）とただ一通りに書ける。そこで
$$Z^{\bullet}_T(w):=\sum_{j=0}^{n}Z(a_j)\,T^{j}\in\mathbb{R}[T]$$
とおく。$Z$ は $\bullet$ に関して準同型なので（Hoffman代数 の定理「評価写像は二つの積を保つ」）、$Z^{\bullet}_T\colon(\mathfrak{H}^1,\bullet)\to\mathbb{R}[T]$ は $\mathfrak{H}^0$ 上で $Z$ に一致し $y$ を $T$ に送る $\mathbb{Q}$ 代数の準同型であり、この二条件で一意に決まる。インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k};T):=Z^{\bullet}_T(z_{\boldsymbol{k}})$ を調和正規化多項式（$\bullet=\ast$）・シャッフル正規化多項式（$\bullet=\mathbin{\text{ш}}$）といい、$\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}):=\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k};0)$ を正規化多重ゼータ値という。$\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k})=Z(\operatorname{reg}_{\bullet}(z_{\boldsymbol{k}}))$ であり（Hoffman代数 の定義「正則化」）、$\boldsymbol{k}$ が許容的なら $\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k};T)=\zeta(\boldsymbol{k})$ である。
許容インデックス $\boldsymbol{k}$（空でもよい）と非負整数 $n$ に対し
$$\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k},\{1\}^{n};T)=\sum_{i=0}^{n}\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k},\{1\}^{n-i})\,\frac{T^{i}}{i!}$$
が成り立つ。
$w=z_{\boldsymbol{k}}\in\mathfrak{H}^0$ に対し $z_{(\boldsymbol{k},\{1\}^{n})}=wy^{n}$ である。Hoffman代数 の命題「正則化公式」 $wy^{n}=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}\operatorname{reg}_{\bullet}(wy^{n-i})\bullet y^{\bullet i}$ に $Z^{\bullet}_T$ を施すと、$\operatorname{reg}_{\bullet}(wy^{n-i})\in\mathfrak{H}^0$ なので右辺の各項は $Z(\operatorname{reg}_{\bullet}(wy^{n-i}))\,T^{i}/i!=\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k},\{1\}^{n-i})\,T^{i}/i!$ に移る。$\square$
例えば $\zeta^{\ast}(1;T)=\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(1;T)=T$ である。$y\ast y=2y^{2}+z_2$、$y\mathbin{\text{ш}}y=2y^{2}$ から
$$\zeta^{\ast}(1,1;T)=\frac{T^{2}-\zeta(2)}{2},\qquad\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(1,1;T)=\frac{T^{2}}{2}$$
であり（Hoffman代数 の例「$y^2$ の二つの正則化」）、同じ発散インデックスでも二つの正規化は異なる。
形式的冪級数
$$A(u):=\exp\Bigl(\sum_{n\ge2}\frac{(-1)^{n}\zeta(n)}{n}u^{n}\Bigr)=\sum_{b\ge0}\alpha_b u^{b}\in\mathbb{R}[\![u]\!]$$
を用いて、$\mathbb{R}$ 線形写像 $\rho\colon\mathbb{R}[T]\to\mathbb{R}[T]$ を
$$\rho\Bigl(\frac{T^{m}}{m!}\Bigr):=\sum_{b=0}^{m}\alpha_b\,\frac{T^{m-b}}{(m-b)!}\qquad(m\ge0)$$
で定める。これは $\rho(e^{Tu})=A(u)e^{Tu}$ の両辺の $u^{m}$ の係数を比べた式である。$\alpha_0=1$、$\alpha_1=0$、$\alpha_2=\zeta(2)/2$、$\alpha_3=-\zeta(3)/3$ なので
$$\rho(1)=1,\quad\rho(T)=T,\quad\rho(T^{2})=T^{2}+\zeta(2),\quad\rho(T^{3})=T^{3}+3\zeta(2)T-2\zeta(3)$$
である。$\rho$ は次数を保ち最高次の係数を変えないので、$\mathbb{R}[T]$ の全単射である。
Γ関数 の Weierstrass の無限積の対数を取ると $\log\Gamma(1+u)=-\gamma u+\sum_{n\ge2}(-1)^{n}\zeta(n)u^{n}/n$（$|u|<1$、$\gamma$ は Euler の定数）なので、$A(u)=e^{\gamma u}\Gamma(1+u)$ である。
正規化の解析的な意味
調和正規化は打ち切り和 $\zeta_{< N}$ の $N\to\infty$ での発散を、シャッフル正規化は多重ポリログ $\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k}}(t)$ の $t\to1$ での発散を記述しており、両者を Abel の和で結ぶと Γ 関数が現れる。この節の三つの補題は、次節の比較定理の証明に使う。
$0< t<1$ に対し $L:=-\log(1-t)$ とおく。$t\to1$ のとき $L\to\infty$ である。インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し 多重ポリログ $\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k}}(t)=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}t^{n_r}/(n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r})$（$\mathrm{Li}_{\emptyset}(t)=1$）を $\mathbb{Q}$ 線形に $w\mapsto\mathrm{Li}_w(t)$（$w\in\mathfrak{H}^1$）へ延ばす。
任意の $w\in\mathfrak{H}^1$ に対し、$N$ によらない定数 $C_w$ と非負整数 $d$ があって、すべての $N\ge2$ で
$$\Bigl|\zeta_{< N}(w)-Z^{\ast}_T(w)\big|_{T=H_{N-1}}\Bigr|\le C_w\,N^{-1/2}(1+\log N)^{d}$$
である。特に左辺は $N\to\infty$ で $0$ に収束する。
多重ゼータ値 の定理「調和関係式」の証明の前半は有限和についての計算なので、任意のインデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し $\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})\zeta_{< N}(\boldsymbol{l})=\zeta_{< N}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})$ が成り立つ。すなわち $\zeta_{< N}\colon(\mathfrak{H}^1,\ast)\to\mathbb{Q}$ は準同型で、$\zeta_{< N}(y)=H_{N-1}$ である。$w=\sum_j a_j\ast y^{\ast j}$（$a_j\in\mathfrak{H}^0$）と書くと
$$\zeta_{< N}(w)-Z^{\ast}_T(w)\big|_{T=H_{N-1}}=\sum_{j}\bigl(\zeta_{< N}(a_j)-Z(a_j)\bigr)H_{N-1}^{j}$$
である。深さ $r$ の許容インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し、多重ゼータ値 の命題「収束条件」の証明の評価（$n_r=n$ を固定した部分和は $(1+\log n)^{r-1}n^{-2}$ 以下）から、$n$ によらない定数 $C$ があって
$$0\le\zeta(\boldsymbol{k})-\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})\le\sum_{n\ge N}\frac{(1+\log n)^{r-1}}{n^{2}}\le C\sum_{n\ge N}n^{-3/2}\le 3C\,N^{-1/2}$$
である。$H_{N-1}\le1+\log N$ なので、$d$ を $w$ の表示に現れる $j$ の最大値とすれば、各項は $N^{-1/2}(1+\log N)^{d}$ の定数倍で抑えられる。$\square$
$w\in\mathfrak{H}^1$ とする。
- $0< t<1$ に対し $\mathrm{Li}_w(t)=(1-t)\sum_{N\ge1}\zeta_{< N}(w)\,t^{N-1}$ である。
- $t\to1$ のとき $\mathrm{Li}_w(t)-Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w)\big|_{T=L}\to0$ である。
- インデックス $\boldsymbol{k}$ について示せばよい。項はすべて非負なので和の順序を交換でき、$\sum_{N\ge1}\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})t^{N-1}=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\sum_{N>n_r}t^{N-1}=\frac{\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k}}(t)}{1-t}$ である（空インデックスでは両辺とも $1/(1-t)$）。
- 多重ポリログ の定理「一変数多重ポリログの反復積分表示」と定理「反復積分のシャッフル積」により、各 $0< t<1$ で $w\mapsto\mathrm{Li}_w(t)$ は $(\mathfrak{H}^1,\mathbin{\text{ш}})\to\mathbb{R}$ の準同型であり、$\mathrm{Li}_y(t)=\sum_{n\ge1}t^{n}/n=L$ である。$w=\sum_j a_j\mathbin{\text{ш}}y^{\mathbin{\text{ш}}j}$（$a_j\in\mathfrak{H}^0$）と書くと $\mathrm{Li}_w(t)-Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w)|_{T=L}=\sum_j(\mathrm{Li}_{a_j}(t)-Z(a_j))L^{j}$ である。許容インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し、(1) と $(1-t)\sum_{N\ge1}t^{N-1}=1$、prf-rds-truncated の評価から
$$0\le\zeta(\boldsymbol{k})-\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k}}(t)=(1-t)\sum_{N\ge1}\bigl(\zeta(\boldsymbol{k})-\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})\bigr)t^{N-1}\le3C(1-t)\sum_{N\ge1}N^{-1/2}t^{N-1}\le 13C\,(1-t)^{1/2}$$
である。詳細
$M:=\lceil1/(1-t)\rceil$ とおくと、$\sum_{N\le M}N^{-1/2}\le2\sqrt{M}$、$\sum_{N>M}N^{-1/2}t^{N-1}\le M^{-1/2}/(1-t)\le\sqrt{M}$ なので、和は $3\sqrt{M}\le3\sqrt{2/(1-t)}$ 以下である（$t\ge1/2$ のとき）。
$(1-t)^{1/2}L^{j}\to0$ なので主張を得る。$\square$
任意の多項式 $P\in\mathbb{R}[T]$ に対し、$t\to1$ のとき
$$(1-t)\sum_{N\ge1}P(H_{N-1})\,t^{N-1}-(\rho P)(L)\longrightarrow0$$
である。
線形性から $P=T^{m}/m!$ の場合を示せばよい。$e^{(N)}_a$ を $1,\frac12,\ldots,\frac{1}{N-1}$ の $a$ 次基本対称式とする（$e^{(N)}_0=1$）。
要点：$e^{uH_{N-1}}$ を $\prod_{j< N}(1+u/j)$ と $\zeta_{< N}(n)$（$n\ge2$）の指数関数の積に分け、前者の Abel 平均は二項級数 $(1-t)^{-1-u}$ で正確に求まり、後者は $N\to\infty$ で $A(u)$ に近づくことを使う。
詳細
段 1．二項級数 $\sum_{N\ge1}\binom{N-1+u}{N-1}t^{N-1}=(1-t)^{-1-u}$ と $\binom{N-1+u}{N-1}=\prod_{j=1}^{N-1}\bigl(1+\frac{u}{j}\bigr)=\sum_a e^{(N)}_a u^{a}$ から、$|u|\le\frac12$ で絶対収束する二重級数の $u^{a}$ の係数を比べて$$(1-t)\sum_{N\ge1}e^{(N)}_a\,t^{N-1}=\frac{L^{a}}{a!}$$を得る（右辺は $(1-t)^{-u}=e^{uL}$ の係数）。
段 2．$\log(1+u/j)=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}u^{n}/(nj^{n})$ を $j< N$ について足すと、形式的冪級数として$$e^{uH_{N-1}}=\Bigl(\sum_a e^{(N)}_a u^{a}\Bigr)B_N(u),\qquad B_N(u):=\exp\Bigl(\sum_{n\ge2}\frac{(-1)^{n}\zeta_{< N}(n)}{n}u^{n}\Bigr)=\sum_b\beta^{(N)}_b u^{b}$$であり、$u^{m}$ の係数を比べて $H_{N-1}^{m}/m!=\sum_{a+b=m}e^{(N)}_a\beta^{(N)}_b$ となる。
段 3．$\beta^{(N)}_b$ は $\zeta_{< N}(2),\ldots,\zeta_{< N}(b)$ の有理数係数の多項式で、$\alpha_b$ は同じ多項式に $\zeta(2),\ldots,\zeta(b)$ を入れたものである。$0\le\zeta(n)-\zeta_{< N}(n)\le\sum_{j\ge N}j^{-2}\le\frac{1}{N-1}$（$n\ge2$）なので $|\beta^{(N)}_b-\alpha_b|\le C_b/N$ である。$0\le e^{(N)}_a\le H_{N-1}^{a}\le(1+\log N)^{a}$ と合わせて、$\delta_N:=H_{N-1}^{m}/m!-\sum_{a+b=m}e^{(N)}_a\alpha_b\to0$ である。
段 4．段 1 から $(1-t)\sum_N\bigl(\sum_{a+b=m}e^{(N)}_a\alpha_b\bigr)t^{N-1}=\sum_{a+b=m}\alpha_b\frac{L^{a}}{a!}=\rho\bigl(\frac{T^{m}}{m!}\bigr)\big|_{T=L}$ である。残りの $(1-t)\sum_N\delta_Nt^{N-1}$ は、$\delta_N\to0$ と $(1-t)\sum_Nt^{N-1}=1$ から $0$ に収束する（$|\delta_N|<\varepsilon$ となる $N>N_0$ の部分は $\varepsilon$ 以下、$N\le N_0$ の有限個の項は $(1-t)$ 倍で $0$ に近づく）。$\square$
lem-rds-truncated と lem-rds-polylog は正規化の解析的な意味を与える。$H_{N-1}=\log N+\gamma+O(1/N)$ なので、前者は $\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})$ が $\zeta^{\ast}(\boldsymbol{k};\log N+\gamma)$ に近づくことを、後者は $\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k}}(t)$ が $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k};-\log(1-t))$ に近づくことを表す。IKZ06 の Theorem 1 の証明（pp. 310–313）も、この二つの漸近を Abel の和で比べる。lem-rds-abel の段 1〜3 は、同所の Lemma 1 で $\Gamma^{(l)}(m)/\Gamma(m)$（Γ 関数の高階導関数の比）の漸近を使う部分を、$e^{uH_{N-1}}$ の分解で置き換えたものである。
主定理
任意の $w\in\mathfrak{H}^1$ に対し
$$Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w)=\rho\bigl(Z^{\ast}_T(w)\bigr)$$
が成り立つ。すなわち任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(\boldsymbol{k};T)=\rho\bigl(\zeta^{\ast}(\boldsymbol{k};T)\bigr)$ である。
$w\in\mathfrak{H}^1$ に対し $P:=Z^{\ast}_T(w)$、$Q:=Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w)$ とおく。lem-rds-truncated により $\zeta_{< N}(w)=P(H_{N-1})+\varepsilon_N$、$\varepsilon_N\to0$ と書ける。lem-rds-polylog の (1) と lem-rds-abel から
$$\mathrm{Li}_w(t)=(1-t)\sum_{N\ge1}P(H_{N-1})t^{N-1}+(1-t)\sum_{N\ge1}\varepsilon_Nt^{N-1}=(\rho P)(L)+o(1)\qquad(t\to1)$$
である（第 2 項は prf-rds-abel の段 4 と同じ理由で $0$ に収束する）。一方 lem-rds-polylog の (2) から $\mathrm{Li}_w(t)=Q(L)+o(1)$ である。したがって多項式 $\rho P-Q$ は $L\to\infty$ で $0$ に収束し、恒等的に $0$ である。$\square$
任意の $w_1\in\mathfrak{H}^1$、$w_0\in\mathfrak{H}^0$ と $\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し
$$Z^{\bullet}_T(w_1\mathbin{\text{ш}}w_0)=Z^{\bullet}_T(w_1\ast w_0)$$
が成り立つ。特に $T=0$ として $Z\bigl(\operatorname{reg}_{\bullet}(w_1\mathbin{\text{ш}}w_0-w_1\ast w_0)\bigr)=0$ である。インデックスの言葉では、任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ と許容インデックス $\boldsymbol{l}$ に対し $\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}\boldsymbol{l};T)=\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l};T)$ である。
$Z^{\ast}_T$ は調和積に関する準同型で、$w_0\in\mathfrak{H}^0$ では $Z^{\ast}_T(w_0)=Z(w_0)$ だから $Z^{\ast}_T(w_1\ast w_0)=Z^{\ast}_T(w_1)Z(w_0)$ である。同様に $Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w_1\mathbin{\text{ш}}w_0)=Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w_1)Z(w_0)$ である。$\bullet=\mathbin{\text{ш}}$ の場合、thm-rds-comparison と $\rho$ の $\mathbb{R}$ 線形性から
$$Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w_1\ast w_0)=\rho\bigl(Z^{\ast}_T(w_1)Z(w_0)\bigr)=Z(w_0)\,\rho\bigl(Z^{\ast}_T(w_1)\bigr)=Z(w_0)\,Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w_1)=Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w_1\mathbin{\text{ш}}w_0)$$
である。$\bullet=\ast$ の場合は、$\rho$ が全単射なので thm-rds-comparison を $Z^{\ast}_T=\rho^{-1}\circ Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T$ と書き直し、同じ計算で $Z^{\ast}_T(w_1\mathbin{\text{ш}}w_0)=Z(w_0)\,\rho^{-1}\bigl(Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w_1)\bigr)=Z(w_0)\,Z^{\ast}_T(w_1)=Z^{\ast}_T(w_1\ast w_0)$ を得る。$\square$
$w_1$ も $\mathfrak{H}^0$ に属するときは、両辺とも $T$ を含まず、多重ゼータ値 の系「複シャッフル関係式」に戻る。$w_1$ が $y$ で終わる語を含むときが新しい関係式を与える。
例
$w_1=y=z_1$、$w_0=z_2=yx$ とする。シャッフル積は $y\mathbin{\text{ш}}yx=2\,yyx+yxy=2z_1z_2+z_2z_1$、調和積は $z_1\ast z_2=z_1z_2+z_2z_1+z_3$ である。差は $z_1z_2-z_3\in\mathfrak{H}^0$ なので、thm-rds-main から
$$\zeta(1,2)=\zeta(3)$$
を得る。発散する $z_2z_1$ は両辺で打ち消し合い、正規化の違いは表に出ない。同じことを thm-rds-comparison で見ると、$z_1\ast z_2$ と $z_1\mathbin{\text{ш}}z_2$ の展開から $\zeta^{\ast}(2,1;T)=\zeta(2)T-\zeta(1,2)-\zeta(3)$、$\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(2,1;T)=\zeta(2)T-2\zeta(1,2)$ であり、$\rho$ は $1$ 次以下の多項式を動かさないので両者は等しく、やはり $\zeta(1,2)=\zeta(3)$ となる。
$w_1=y$、$w_0=z_3$ では $y\mathbin{\text{ш}}yxx-z_1\ast z_3=(2z_1z_3+z_2z_2+z_3z_1)-(z_1z_3+z_3z_1+z_4)$ から $\zeta(4)=\zeta(1,3)+\zeta(2,2)$ を得る。$w_1=y$、$w_0=z_1z_2$ では $y\mathbin{\text{ш}}yyx=3z_1z_1z_2+z_1z_2z_1$、$z_1\ast z_1z_2=2z_1z_1z_2+z_1z_2z_1+z_2z_2+z_1z_3$ から $\zeta(1,1,2)=\zeta(2,2)+\zeta(1,3)$ を得る。これに許容インデックスどうしの複シャッフル関係式 $\zeta(4)=4\zeta(1,3)$（多重ゼータ値 の系「複シャッフル関係式」の例）を合わせると
$$\zeta(1,3)=\tfrac14\zeta(4),\qquad\zeta(2,2)=\tfrac34\zeta(4),\qquad\zeta(1,1,2)=\zeta(4)$$
となり、重さ $4$ の多重ゼータ値はすべて $\zeta(4)$ の有理数倍になる。許容インデックスどうしの関係式だけでは、重さ $4$ の $4$ 個の値の間に関係式が $1$ 本しかない。
$w=yy=z_1z_1$ では $\zeta^{\ast}(1,1;T)=(T^{2}-\zeta(2))/2$ であり、$\rho(T^{2})=T^{2}+\zeta(2)$ を使うと
$$\rho\Bigl(\frac{T^{2}-\zeta(2)}{2}\Bigr)=\frac{T^{2}+\zeta(2)-\zeta(2)}{2}=\frac{T^{2}}{2}=\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(1,1;T)$$
となって thm-rds-comparison と合う。ここで $\rho$ を恒等写像に置き換えると等式は成り立たない（下の反例の表の 3 行目）。
空でない許容インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し
$$\sum_{i=1}^{r}\zeta(k_1,\ldots,k_{i-1},k_i+1,k_{i+1},\ldots,k_r)=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{k_i-2}\zeta(k_1,\ldots,k_{i-1},j+1,k_i-j,k_{i+1},\ldots,k_r)$$
が成り立つ（$k_i=1$ のとき内側の和は $0$ とする）。
要点：任意の空でないインデックス $\boldsymbol{k}$ に対し、語の等式
$$y\mathbin{\text{ш}}z_{\boldsymbol{k}}-y\ast z_{\boldsymbol{k}}=\sum_{i=1}^{r}\Bigl(\sum_{j=0}^{k_i-2}z_{(\ldots,k_{i-1},j+1,k_i-j,k_{i+1},\ldots)}-z_{(\ldots,k_{i-1},k_i+1,k_{i+1},\ldots)}\Bigr)$$
が成り立つ。$\boldsymbol{k}$ が許容的なら右辺の語はすべて $x$ で終わる（最後の成分は $k_r-j\ge2$ か $k_r+1$）ので $\mathfrak{H}^0$ に属し、thm-rds-main（$w_1=y$、$w_0=z_{\boldsymbol{k}}$）の $T=0$ での値をとれば主張になる。
詳細
語 $z_{\boldsymbol{k}}$ の長さは $\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})$ で、$y\mathbin{\text{ш}}z_{\boldsymbol{k}}$ は $y$ を $\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})+1$ か所の隙間のどこかに挿入した語の和である。先頭に挿入すると $z_1z_{\boldsymbol{k}}$。第 $i$ ブロック $yx^{k_i-1}$ の $y$ の後ろ、$x$ を $j$ 個過ぎた所（$0\le j\le k_i-1$）に挿入すると、$z_{k_i}$ が $z_{j+1}z_{k_i-j}$ に替わる。$j=k_i-1$ はブロックの直後で、$z_1$ を第 $i$ ブロックの後ろに置いた語になる。一方 $y\ast z_{\boldsymbol{k}}$ は、$z_1$ を $r+1$ か所のブロックの境目に置いた語と、$z_1$ をいずれかの $z_{k_i}$ に足して $z_{k_i+1}$ にした語の和である（多重ゼータ値 の注意「積の具体例」と同じ展開）。境目に $z_1$ を置いた語は、シャッフル側の「先頭」と「$j=k_i-1$」の挿入とちょうど一対一に対応して打ち消し合う。残るのは、シャッフル側の $0\le j\le k_i-2$ の項と、調和側の $z_{k_i+1}$ の項である。$\square$
この関係式は Hoffman が示したもので、IKZ06 p. 324 は、導分関係式の次数 $1$ の場合がこれと同値であると述べている。$\boldsymbol{k}=(2)$ とすれば $\zeta(3)=\zeta(1,2)$（ex-rds-euler）、$\boldsymbol{k}=(1,2)$ とすれば $\zeta(2,2)+\zeta(1,3)=\zeta(1,1,2)$（ex-rds-weight-four）である。
全関係式予想
多重ゼータ値の間の $\mathbb{Q}$ 線形関係式は、すべて許容インデックスどうしの複シャッフル関係式と、正規化複シャッフル関係式 $Z(\operatorname{reg}_{\mathbin{\text{ш}}}(w_1\mathbin{\text{ш}}w_0-w_1\ast w_0))=0$（$w_1\in\mathfrak{H}^1$、$w_0\in\mathfrak{H}^0$）から導かれるであろう。
この予想は IKZ06 の Conjecture 1（p. 315）である。同論文の Theorem 2（p. 314）により、許容インデックスどうしの複シャッフル関係式を仮定すれば、$\operatorname{reg}_{\mathbin{\text{ш}}}$ を $\operatorname{reg}_{\ast}$ に替えた形や、$w_1=y^{m}$ に限った形とも同値である。同論文は、和公式（和公式(多重ゼータ値)）が正規化複シャッフル関係式から導かれること（Corollary 4、p. 321）、導分関係式が導かれること（Corollary 6、p. 324）を示し、大野の関係式 が正規化複シャッフル関係式と双対性から従うことを述べている（p. 324）。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $w_0\in\mathfrak{H}^0$（片方は許容） | $w_1=w_0=y$ | $Z^{\ast}_T(y\mathbin{\text{ш}}y)=T^{2}-\zeta(2)$、$Z^{\ast}_T(y\ast y)=T^{2}$ で、thm-rds-main の等式 |
| 両辺で同じ正規化 $\bullet$ を使う | $w_1=z_1z_1$、$w_0=z_2$ | $Z^{\ast}_T(w_1\mathbin{\text{ш}}w_0)=\frac{\zeta(2)}{2}T^{2}-\frac54\zeta(4)$ だが $Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(w_1\ast w_0)=\frac{\zeta(2)}{2}T^{2}$ |
| 比較写像 $\rho$ を通す | $\rho$ を恒等写像に替え、$w=z_1z_1$ | $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}(1,1;T)=\frac{T^{2}}{2}\neq\frac{T^{2}-\zeta(2)}{2}=\zeta^{\ast}(1,1;T)$ で、thm-rds-comparison の等式 |
1 行目は、$y\ast y=2y^{2}+z_2$、$y\mathbin{\text{ш}}y=2y^{2}$ と $\zeta^{\ast}(1,1;T)=(T^{2}-\zeta(2))/2$ から計算できる。差 $y\ast y-y\mathbin{\text{ш}}y=z_2$ の値 $\zeta(2)$ は $0$ でないので、両方を許容でない語にすると関係式にならない（Hoffman代数 の例「反例：発散する語には二つの積を同時に保つ値を与えられない」も参照）。2 行目は、左辺を調和正規化、右辺をシャッフル正規化で評価したもので、定数項の差 $\frac54\zeta(4)=\frac{\zeta(2)^{2}}{2}$ は、$Z^{\ast}_T(z_1z_1)\zeta(2)$ と $Z^{\mathbin{\text{ш}}}_T(z_1z_1)\zeta(2)$ の違い、すなわち $\rho$ による補正の分である。
関連項目
- 前提: 多重ゼータ値, Hoffman代数, 多重ポリログ
- 道具: Γ関数, 形式的冪級数
- 発展: 大野の関係式, t進対称多重ゼータ値, 対称多重ゼータ値
- 比較: 和公式(多重ゼータ値), 多重ゼータ値の連結和法
参考文献
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