算術関数の平均位数

要点：和を $d\le y$ と $y < d\le x$ に分け、後者では $\lvert g(d)\rvert\le x\lvert g(d)\rvert/d$ を使って収束する級数の残りで押さえる。

段 1（和の順序の入れ替え）． $x\ge1$ とする。$\sum_{n\le x}f(n)=\sum_{n\le x}\sum_{d\mid n}g(d)$ は、$d\mid n\le x$ を満たす組 $(d,n)$ にわたる $g(d)$ の和である。$d$ を固定すると、$n$ は $d$ の倍数 $d,2d,\dots$ のうち $x$ 以下のもので、その個数は $\lfloor x/d\rfloor$ である。よって
$$ \sum_{n\le x}f(n)=\sum_{d\le x}g(d)\Bigl\lfloor\frac xd\Bigr\rfloor $$
である（Möbius関数 の記事の系「床関数を使った和」と同じ数え方）。
段 2（床関数を外す）． $\lfloor x/d\rfloor=x/d-\theta_d$（$0\le\theta_d < 1$）と書くと
$$ \frac1x\sum_{n\le x}f(n)-\sum_{d=1}^\infty\frac{g(d)}d=-\sum_{d>x}\frac{g(d)}d-\frac1x\sum_{d\le x}\theta_dg(d) $$
である。右辺の第 1 項の絶対値は、収束する級数 $\sum\lvert g(d)\rvert/d$ の $x$ より先の部分以下なので、$x\to\infty$ で $0$ に近づく。第 2 項の絶対値は $\frac1x\sum_{d\le x}\lvert g(d)\rvert$ 以下で、lem-avo-kronecker により $0$ に近づく。$\square$

要点：(1) $\varphi(n)/n=\sum_{d\mid n}\mu(d)/d$、(2) $\sigma(n)/n=\sum_{d\mid n}1/d$、(3) $\mu^2(n)=\sum_{d^2\mid n}\mu(d)$、(4) $n/\varphi(n)=\sum_{d\mid n}\mu^2(d)/\varphi(d)$ と書いて thm-avo-convolution を当てはめる。$\sum_d\mu(d)/d^2=6/\pi^2$ を使う。

段 1（Dirichlet 積で書く）． $\varphi(n)=\sum_{dm=n}\mu(d)\,m$（$dm=n$ となる正の整数の組 $(d,m)$ にわたる和）である（Eulerのφ関数 の記事の命題「Möbius関数による表示」）。prf-avo-convolution の段 1 と同じく $d$ を固定して $m$ について先に足すと、$m$ は $1$ から $N_d:=\lfloor x/d\rfloor$ まで動くので
$$ \sum_{n\le x}\varphi(n)=\sum_{d\le x}\mu(d)\frac{N_d(N_d+1)}2 $$
である。
段 2（床関数を外す）． $y:=x/d\ge1$、$N_d=y-\theta$（$0\le\theta < 1$）とおくと
$$ \frac{N_d(N_d+1)}2=\frac{y^2}2+\frac{y(1-2\theta)}2+\frac{\theta^2-\theta}2 $$
で、最後の 2 項の絶対値の和は $y/2+1/8\le y$ 以下である。$\lvert\mu(d)\rvert\le1$ なので
$$ \Bigl\lvert\sum_{n\le x}\varphi(n)-\frac{x^2}2\sum_{d\le x}\frac{\mu(d)}{d^2}\Bigr\rvert\le\sum_{d\le x}\frac xd\le x(1+\log x) $$
である（最後の不等式は 調和級数 の記事の命題「積分による上下の評価」）。
段 3（和を無限和にのばす）． prf-avo-means で見たとおり $\sum_{d\ge1}\mu(d)/d^2=6/\pi^2$ である。$N:=\lfloor x\rfloor$ とすると $N\ge x/2$ であり、$d\ge2$ で $1/d^2 < 1/(d(d-1))=1/(d-1)-1/d$ なので $\sum_{d>N}1/d^2 < 1/N\le2/x$ である。よって
$$ \Bigl\lvert\frac3{\pi^2}x^2-\frac{x^2}2\sum_{d\le x}\frac{\mu(d)}{d^2}\Bigr\rvert=\frac{x^2}2\Bigl\lvert\sum_{d>N}\frac{\mu(d)}{d^2}\Bigr\rvert < \frac{x^2}2\cdot\frac2x=x $$
である。段 2 と合わせて結論を得る。$\square$

$N=\lfloor x\rfloor$ とすると $\sum_{n\le x}\frac6{\pi^2}n=\frac6{\pi^2}\cdot\frac{N(N+1)}2$ で、$x-1 < N\le x$ から $\frac3{\pi^2}x^2+O(x)$ である。thm-avo-phi と比べると、2 つの和の比は $1+O(\log x/x)$ なので $1$ に近づく。$\square$

段 1（$\omega$ の和）． $\omega(n)$ は $n$ を割り切る素数 $p$ の個数なので、$\sum_{n\le x}\omega(n)$ は $p\mid n\le x$ を満たす組 $(p,n)$ の個数である。$p$ を固定すると $n$ は $\lfloor x/p\rfloor$ 個あるので
$$ \sum_{n\le x}\omega(n)=\sum_{p\le x}\Bigl\lfloor\frac xp\Bigr\rfloor $$
である。$x/p-1 < \lfloor x/p\rfloor\le x/p$ と、$x$ 以下の素数の個数 $\pi(x)$ が $x$ 以下であることから
$$ x\sum_{p\le x}\frac1p-x\le\sum_{n\le x}\omega(n)\le x\sum_{p\le x}\frac1p $$
である。rem-avo-mertens の不等式を代入すると $\bigl\lvert\sum_{n\le x}\omega(n)-x\log\log x\bigr\rvert\le(C+1)x$ を得る。
段 2（$\Omega-\omega$ の和）． $n$ の素因数分解での $p$ の指数を $v_p(n)$ とすると、$\Omega(n)=\sum_pv_p(n)$ は $p^k\mid n$ を満たす組 $(p,k)$（$k\ge1$）の個数で、$\omega(n)$ はそのうち $k=1$ の組の個数である。よって $\Omega(n)-\omega(n)$ は $p^k\mid n$、$k\ge2$ となる組 $(p,k)$ の個数であり、$n\le x$ にわたって足すと
$$ 0\le\sum_{n\le x}\bigl(\Omega(n)-\omega(n)\bigr)=\sum_{\substack{p,\,k\ge2\\p^k\le x}}\Bigl\lfloor\frac x{p^k}\Bigr\rfloor\le x\sum_p\sum_{k\ge2}\frac1{p^k}=x\sum_p\frac1{p(p-1)}\le x\sum_{m\ge2}\frac1{m(m-1)}=x $$
である。
段 3（平均位数）． $g(n):=\log\log n$（$n\ge3$）、$g(1)=g(2)=0$ とする。$x\ge e^2$ のとき、$\sqrt x < n\le x$ では $\log n > \frac12\log x$ なので $\log\log x-\log2 < g(n)\le\log\log x$ であり、そのような $n$ は $x-\sqrt x-1$ 個以上ある。よって
$$ (x-\sqrt x-1)(\log\log x-\log2)\le\sum_{n\le x}g(n)\le x\log\log x $$
で、$\sqrt x\log\log x=O(x)$ だから $\sum_{n\le x}g(n)=x\log\log x+O(x)$ である。段 1・段 2 の和もこれと $O(x)$ しか違わず、$x\log\log x$ に比べて $O(x)$ は小さいので、比は $1$ に近づく。$\square$

$L:=\log\log x$、$S:=\sum_{p\le x}1/p$ とおく。$x\ge3$ なので $L>0$ である。
段 1（2 乗の和）． $\omega(n)^2=\sum_{p\mid n}\sum_{q\mid n}1$ は、$n$ を割り切る素数の順序付きの組 $(p,q)$ の個数である。$p=q$ の組は $\omega(n)$ 個ある。$p\ne q$ のとき、$p\mid n$ かつ $q\mid n$ は $pq\mid n$ と同値である。よって
$$ \sum_{n\le x}\omega(n)^2=\sum_{p\le x}\Bigl\lfloor\frac xp\Bigr\rfloor+\sum_{\substack{p\ne q\\pq\le x}}\Bigl\lfloor\frac x{pq}\Bigr\rfloor\le xS+x\Bigl(\sum_{p\le x}\frac1p\Bigr)^2=xS+xS^2 $$
である。中央の不等式では、$pq\le x$ なら $p,q\le x$ なので、$p\ne q$、$pq\le x$ の組にわたる $1/(pq)$ の和が $p,q\le x$ のすべての組にわたる和 $S^2$ 以下であることを使った。
段 2（展開する）． prf-avo-omega の段 1 により $\sum_{n\le x}\omega(n)\ge xS-x$ である。$L>0$ なので
$$ \sum_{n\le x}(\omega(n)-L)^2=\sum_{n\le x}\omega(n)^2-2L\sum_{n\le x}\omega(n)+L^2\lfloor x\rfloor\le xS^2+xS-2L(xS-x)+L^2x $$
であり、右辺は $x(S-L)^2+xS+2Lx$ に等しい。
段 3（Mertens の定理を使う）． rem-avo-mertens により $\lvert S-L\rvert\le C$ なので、右辺は $x(C^2+L+C+2L)$ 以下である。$x\ge3$ では $L\ge\log\log3 > 0.09$ なので、$C^2+C\le(C^2+C)L/0.09$ であり、$C':=(C^2+C)/0.09+3$ とおけば結論を得る。$\square$

1． $L=\log\log x$ とし、条件を満たす $n\le x$ の個数を $E$ とする。そのような $n$ は thm-avo-turan の左辺に $L^{1+2\delta}$ より大きい寄与をするので、$EL^{1+2\delta}\le C'xL$、すなわち $E\le C'xL^{-2\delta}$ である。$L\to\infty$ なので $E=o(x)$ である。
2． $\varepsilon\in(0,1)$ をとり、$\lvert\omega(n)-\log\log n\rvert>\varepsilon\log\log n$ を満たす $n\le x$（$n\ge3$）の個数を数える。$n\le\sqrt x$ のものは $\sqrt x=o(x)$ 個以下である。$\sqrt x < n\le x$ では $L-\log2 < \log\log n\le L$ なので、
$$ \lvert\omega(n)-L\rvert\ge\lvert\omega(n)-\log\log n\rvert-\log2>\varepsilon(L-\log2)-\log2 $$
である。$x$ が十分大きければ右辺は $L^{3/4}$ より大きい（$\varepsilon L$ は $L^{3/4}$ より速く増える）ので、そのような $n$ は 1 で $\delta=1/4$ とした個数以下で、$o(x)$ である。よって $\omega(n)$ の正規位数は $\log\log n$ である。
$\Omega(n)$ については、thm-avo-omega の $\sum_{n\le x}(\Omega(n)-\omega(n))\le x$ から、$\Omega(n)-\omega(n)>L^{1/2}$ となる $n\le x$ は $x/L^{1/2}=o(x)$ 個以下である。残りの $n$ で $\sqrt x < n\le x$ かつ $\lvert\Omega(n)-\log\log n\rvert>\varepsilon\log\log n$ となるものは、$\lvert\omega(n)-\log\log n\rvert>\varepsilon\log\log n-L^{1/2}$ を満たす。$\log\log n > L-\log2$ なので、$x$ が十分大きければ右辺は $\frac\varepsilon2\log\log n$ より大きく、そのような $n$ の個数は $\omega(n)$ について $\varepsilon/2$ で数えた個数以下で $o(x)$ である。$\square$