加藤の不等式

$v^2=|u|^2+\varepsilon^2>0$ なので $v$ は滑らかである。$\partial_j(u\overline u)=2\operatorname{Re}(\overline u\,\partial_ju)$ から $v\nabla v=\operatorname{Re}(\overline u\nabla u)$ で、$|u|\le v$ なので $|\nabla v|\le|u||\nabla u|/v\le|\nabla u|$ である。もう 1 回微分すると
$$ \frac12\Delta(v^2)=|\nabla v|^2+v\Delta v,\qquad\frac12\Delta(|u|^2)=|\nabla u|^2+\operatorname{Re}(\overline u\,\Delta u) $$
で、左辺どうしは等しいので $v\Delta v=|\nabla u|^2-|\nabla v|^2+\operatorname{Re}(\overline u\Delta u)\ge\operatorname{Re}(\overline u\Delta u)$ である。$v>0$ で割ればよい。$\square$

$f:=\Delta u$ とおき、$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$、$\varphi\ge0$ を固定し、その台を $K$ とする。$\rho$ を軟化子、$\rho_\eta(x)=\eta^{-n}\rho(x/\eta)$、$u_\eta:=\rho_\eta*u$、$f_\eta:=\rho_\eta*f$ とする（軟化子）。
段 1（近似の Laplacian）：$K$ のある近傍 $U$ と $\eta_0>0$ があって、$\eta<\eta_0$ なら $u_\eta,f_\eta$ は $U$ で滑らかに定義され、$U$ で $\Delta u_\eta=f_\eta$ である。実際、$x\in U$ なら $y\mapsto\rho_\eta(x-y)$ は $C_c^\infty(\Omega)$ に入るので、
$$ \Delta u_\eta(x)=\int u(y)\,\Delta_y\bigl[\rho_\eta(x-y)\bigr]dy=\int f(y)\rho_\eta(x-y)\,dy=f_\eta(x) $$
である。軟化子 の定理「軟化による近似」の 3（$p=1$）から、$\eta\to0$ で $\|u_\eta-u\|_{L^1(K)}\to0$、$\|f_\eta-f\|_{L^1(K)}\to0$ であり、列 $\eta_k\to0$ を選べば $K$ の上でほとんど至る所 $u_{\eta_k}\to u$ である。
段 2（滑らかな場合の積分）：$\varepsilon>0$ を固定し、$v_\eta:=\sqrt{|u_\eta|^2+\varepsilon^2}$、$\sigma_\eta:=\overline{u_\eta}/v_\eta$ とおく。lem-ki-smooth を $U$ で使い、$\varphi\ge0$ を掛けて部分積分すると
$$ \int v_\eta\,\Delta\varphi\,dx=\int\Delta v_\eta\,\varphi\,dx\ \ge\ \int\operatorname{Re}(\sigma_\eta f_\eta)\,\varphi\,dx $$
である。
段 3（$\eta\to0$）：$v^{(\varepsilon)}:=\sqrt{|u|^2+\varepsilon^2}$、$\sigma^{(\varepsilon)}:=\overline u/v^{(\varepsilon)}$ とおく。写像 $w\mapsto\sqrt{|w|^2+\varepsilon^2}$ は 1-Lipschitz なので $|v_\eta-v^{(\varepsilon)}|\le|u_\eta-u|$ で、左辺は $\int v^{(\varepsilon)}\Delta\varphi$ に収束する。右辺については
$$ \Bigl|\int(\sigma_\eta f_\eta-\sigma^{(\varepsilon)}f)\varphi\Bigr|\le\|\varphi\|_\infty\|f_\eta-f\|_{L^1(K)}+\int_K|\sigma_\eta-\sigma^{(\varepsilon)}||f|\varphi\,dx $$
である。$|\sigma_\eta|,|\sigma^{(\varepsilon)}|\le1$ で、$w\mapsto\overline w/\sqrt{|w|^2+\varepsilon^2}$ は連続なので、列 $\eta_k$ に沿って $\sigma_{\eta_k}\to\sigma^{(\varepsilon)}$ がほとんど至る所成り立ち、優収束定理から第 2 項は $0$ に収束する。よって
$$ \int v^{(\varepsilon)}\Delta\varphi\,dx\ \ge\ \int\operatorname{Re}(\sigma^{(\varepsilon)}f)\,\varphi\,dx $$
である。
段 4（$\varepsilon\to0$）：$0\le v^{(\varepsilon)}-|u|\le\varepsilon$ なので左辺は $\int|u|\Delta\varphi$ に収束する。各点で $\sigma^{(\varepsilon)}\to\operatorname{sgn}\overline u$（$u=0$ の点では両辺とも $0$）で $|\sigma^{(\varepsilon)}f\varphi|\le|f|\varphi$ なので、優収束定理から右辺は $\int\operatorname{Re}((\operatorname{sgn}\overline u)f)\varphi$ に収束する。$\square$

要点：滑らかな $w$ では $\Delta\Phi(w)=\Phi''(w)|\nabla w|^2+\Phi'(w)\Delta w\ge\Phi'(w)\Delta w$ であり、thm-ki-main の証明の段 1〜3 と同じ極限をとる。

$\chi\in C^\infty(\mathbb{R})$ を単調増加で、$(-\infty,0]$ で $0$、$[1,\infty)$ で $1$ となる関数とし、$\varepsilon>0$ について $\Phi_\varepsilon(t):=\int_{-\infty}^t\chi(s/\varepsilon)\,ds$ とおく。$\Phi_\varepsilon$ は $C^\infty$ 級で、$\Phi_\varepsilon'=\chi(\cdot/\varepsilon)\in[0,1]$、$\Phi_\varepsilon''\ge0$ である。$t\le0$ なら $\Phi_\varepsilon(t)=0$、$0\le t\le\varepsilon$ なら $0\le\Phi_\varepsilon(t)\le t$、$t\ge\varepsilon$ なら $\Phi_\varepsilon(t)=t-\varepsilon+\int_0^\varepsilon\chi(s/\varepsilon)ds$ なので、つねに $|\Phi_\varepsilon(t)-t^+|\le\varepsilon$ である。また各 $t$ で $\Phi_\varepsilon'(t)\to\mathbf 1_{(0,\infty)}(t)$（$\varepsilon\to0$）である。prop-ki-convex から $\int\Phi_\varepsilon(u)\Delta\varphi\ge\int\Phi_\varepsilon'(u)\Delta u\,\varphi$ で、$\varepsilon\to0$ とすると、左辺は一様収束により $\int u^+\Delta\varphi$ に、右辺は優収束定理により $\int\mathbf 1_{\{u>0\}}\Delta u\,\varphi$ に収束する。$\square$

要点：$\overline T+1$ の値域が閉で稠密になり、そこから $D(T^*)\subset D(\overline T)$ が出る。

要点：熱核 $\Phi(\cdot,t)$ で $\phi:=\int_0^\infty e^{-t}\,\Phi(\cdot,t)*\psi\,dt$ とおく。

$\Delta u=(V+1)u\in L^1_{\mathrm{loc}}$ なので thm-ki-main が使え、$(\operatorname{sgn}\overline u)(V+1)u=(V+1)|u|\ge|u|$ から、$\varphi\in C_c^\infty$、$\varphi\ge0$ について
$$ \int|u|\,(1-\Delta)\varphi\,dx\le0 $$
である。$\psi\in C_c^\infty$、$\psi\ge0$ をとり、$\phi$ を lem-ki-resolvent の関数とする。$\chi\in C_c^\infty$ を $0\le\chi\le1$、$|x|\le1$ で $\chi=1$ となる関数とし、$\phi_R(x):=\chi(x/R)\phi(x)$ とおく。$\phi_R\in C_c^\infty$、$\phi_R\ge0$ で、
$$ (1-\Delta)\phi_R=\chi(\cdot/R)\,\psi-\frac2R(\nabla\chi)(\cdot/R)\cdot\nabla\phi-\frac1{R^2}(\Delta\chi)(\cdot/R)\,\phi $$
である。$R$ が大きければ第 1 項は $\psi$ に等しく、残りの 2 項の $L^2$ ノルムは $\nabla\phi,\phi\in L^2$ から $O(1/R)$ である。$|u|\in L^2$ なので Cauchy–Schwarz の不等式により $\int|u|\psi\,dx=\lim_{R\to\infty}\int|u|(1-\Delta)\phi_R\,dx\le0$ である。$\psi$ を球 $B$ の上で $1$ となるようにとれば $\int_B|u|=0$ なので、$u=0$ である。$\square$

$\varphi\in C_c^\infty$ について $\langle\varphi,H\varphi\rangle=\int|\nabla\varphi|^2dx+\int V|\varphi|^2dx\ge0$ である。lem-ki-criterion により、$\ker(H^*+1)=\{0\}$ を示せばよい。$u\in D(H^*)$、$H^*u=-u$ とすると、すべての $\varphi\in C_c^\infty$ で $\langle u,(H+1)\varphi\rangle=0$ である。実数値の $\varphi$ について複素共役をとると $\int u\,(-\Delta\varphi+V\varphi+\varphi)\,dx=0$ で、線形性から複素数値の $\varphi$ でも成り立つので、超関数の意味で $\Delta u=(V+1)u$ である。$V\in L^2_{\mathrm{loc}}$、$u\in L^2$ なので Cauchy–Schwarz の不等式から $Vu\in L^1_{\mathrm{loc}}$ で、prop-ki-vanishing により $u=0$ である。$\square$