整閉包の有限性

$\mu(T)=T^m+c_{m-1}T^{m-1}+\cdots+c_0\in K[T]$ を $x$ の $K$ 上の最小多項式とし、$L$ の代数閉包 $\Omega$ で $\mu(T)=\prod_{i=1}^m(T-x_i)$ と分解する。$\mu$ は既約なので、各 $i$ について $K$ 上の環準同型 $K(x)\cong K[T]/(\mu)\to\Omega$ で $x$ を $x_i$ に送るものがある。$x$ が満たす $A$ 係数のモニックな式をこの準同型で移せば、$x_i$ も同じ式を満たすので $A$ 上整である。$\Omega$ の中で $A$ 上整な元の全体は部分環をなすから（整拡大 の記事の命題「整な元の和と積」）、$x_i$ の基本対称式である $\pm c_j$ も $A$ 上整である。$c_j\in K$ であり $A$ は整閉なので、$c_j\in A$ である。
次にトレースを計算する。$d=[L:K(x)]$ とし、$e_1,\dots,e_d$ を $L$ の $K(x)$ 上の基底とすると、$x^ie_l$（$0\le i< m$、$1\le l\le d$）は $L$ の $K$ 上の基底である。$x\cdot x^ie_l=x^{i+1}e_l$ であり、$x^me_l=-(c_{m-1}x^{m-1}+\cdots+c_0)e_l$ なので、この基底に関する $m_x$ の表現行列は $\mu$ の同伴行列を $d$ 個並べたブロック対角行列である。同伴行列の対角成分の和は $-c_{m-1}$ だから、$\operatorname{Tr}_{L/K}(x)=-d\,c_{m-1}\in A$ である。$\square$

分離拡大 の記事の定理「原始元定理」により $L=K(\theta)$ と書ける。$\theta$ の $K$ 上の最小多項式 $f$ は次数 $n$ の分離多項式なので、$\Omega$ で相異なる根 $\theta_1,\dots,\theta_n$ をもつ。$1,\theta,\dots,\theta^{n-1}$ は $L$ の $K$ 上の基底であり、この基底に関する $m_\theta$ の表現行列 $C$ は $f$ の同伴行列である。$C$ の固有多項式は $f$ で、$\Omega$ 上で相異なる $n$ 個の固有値 $\theta_1,\dots,\theta_n$ をもつから、$\Omega$ 上で対角化できる：$P^{-1}CP=\operatorname{diag}(\theta_1,\dots,\theta_n)$。$m_{\theta^k}=(m_\theta)^k$ の表現行列は $C^k$ で、$P^{-1}C^kP=\operatorname{diag}(\theta_1^k,\dots,\theta_n^k)$ なので
$$ \operatorname{Tr}_{L/K}(\theta^k)=\operatorname{tr}(C^k)=\sum_{l=1}^n\theta_l^k\qquad(k\ge0) $$
である。よって基底 $\theta^0,\dots,\theta^{n-1}$ に関する行列 $G=\bigl(\operatorname{Tr}_{L/K}(\theta^{a+b})\bigr)_{a,b}$ は、$V=(\theta_l^{\,b})_{l,b}$ とおくと $G=V^{\mathsf T}V$ と書ける。Vandermondeの行列式 により $\det V=\prod_{l< l'}(\theta_{l'}-\theta_l)\neq0$ なので $\det G=(\det V)^2\neq0$ である。
任意の基底 $\omega_i$ は可逆な $Q\in GL_n(K)$ により $\omega_i=\sum_aQ_{ia}\theta^a$ と書け、$\bigl(\operatorname{Tr}_{L/K}(\omega_i\omega_j)\bigr)=QGQ^{\mathsf T}$ なので、その行列式も $0$ でない。双対基底は、行列 $\bigl(\operatorname{Tr}_{L/K}(\omega_i\omega_j)\bigr)$ の逆行列を使って $\omega_j^{*}=\sum_iu_{ij}\omega_i$ と係数 $u_{ij}$ を一意に解けば得られる。$\square$

$L$ の $K$ 上の基底 $v_1,\dots,v_n$ を一つとる。整閉包 の記事の命題「分母を払うことと正規化」の 1 により、$0$ でない $a_j\in A$ で $a_jv_j\in B$ となるものがある。$\omega_j:=a_jv_j$ はふたたび $L$ の $K$ 上の基底で、$B$ に属する。$B$ は部分環なので $\sum_jA\omega_j\subset B$ である。
lem-fic-trace-nondegenerate により双対基底 $\omega_1^{*},\dots,\omega_n^{*}$ をとる。$b\in B$ を $b=\sum_jc_j\omega_j^{*}$（$c_j\in K$）と書くと、トレースの $K$ 線形性から
$$ \operatorname{Tr}_{L/K}(b\,\omega_i)=\sum_jc_j\operatorname{Tr}_{L/K}(\omega_j^{*}\omega_i)=c_i $$
である。$b\omega_i\in B$ は $A$ 上整なので、lem-fic-trace-integral により $c_i\in A$ である。よって $B\subset\sum_jA\omega_j^{*}$ である。
右辺 $M:=\sum_jA\omega_j^{*}$ は、$\omega_j^{*}$ が $K$ 上一次独立なので階数 $n$ の自由 $A$ 加群である。Noether 環上の有限生成加群は Noether加群 なので、その部分加群 $B$ も有限生成である。$\square$

$B$ は自由加群 $\sum_jA\omega_j^{*}$ の部分加群なので、自由加群 の記事の定理「任意階数の自由加群の部分加群」により自由で、階数は $n$ 以下である。一方 $B$ は一次独立な $n$ 個の元 $\omega_1,\dots,\omega_n$ を含むので、階数は $n$ 以上である。$\mathbb{Q}$ は 完全体 なので代数体は $\mathbb{Q}$ 上分離的であり、$\mathbb{Z}$ は単項イデアル整域で整閉整域だから、後半は前半の特別な場合である。$\square$

要点：各生成元の最小多項式を $g(T^{p^{e}})$（$g$ は分離多項式）の形に書き、$g$ の係数の $p^{e}$ 乗根を含むように係数体と変数に $q$ 乗根を添加すると、生成元は分離多項式 $\tilde g$ の根になる。$P'$ は変数の $q$ 乗根を変数とする多項式環である。

整拡大 の記事の定理「正規化の定理」により、$k$ 上代数的独立な $y_1,\dots,y_r\in A$ で、$A$ が $P:=k[y_1,\dots,y_r]$ 上有限になるものがとれる。$F:=\operatorname{Frac}(P)$ とする。$A=P[a_1,\dots,a_m]$ の各 $a_i$ は $P$ 上整なので $F$ 上代数的であり、体 $F(a_1,\dots,a_m)$ は $A$ を含み $K$ に含まれるから $K$ に等しい。よって $K/F$、したがって $L/F$ は有限次拡大である。
$P\subset A\subset L$ で $A$ は $P$ 上整なので、整閉包 の記事の命題「中間の環の整閉包」の 2 により $C:=\overline{A}^{L}=\overline{P}^{L}$ である。$C$ が $P$ 上有限なら、同じ生成元で $A$ 上有限でもある。そこで $C$ が $P$ 上有限であることを示す。
標数が $0$ の場合：$L/F$ は分離拡大である（分離拡大 の記事の命題「標数が 0 の体と有限体の上の代数拡大」）。$P$ は多項式環なので Noether 環である整閉整域であり、thm-fic-separable により $C$ は $P$ 上有限である。
標数が $p>0$ の場合：lem-fic-separabilize の $q$、$k'$、$P'$、$F'$、$L'$ をとる。$L'/F'$ は有限次分離拡大で、$P'$ は Noether 環である整閉整域、商体は $F'$ なので、thm-fic-separable により $D:=\overline{P'}^{L'}$ は $P'$ 上有限である。$P'$ は $P$ 上有限なので、$D$ は $P$ 上有限である（整拡大 の記事の補題「有限性の推移性」）。$C$ の元は $L\subset L'$ に属し、$P\subset P'$ 係数のモニックな式を満たすので $D$ に属する。よって $C$ は有限生成 $P$ 加群 $D$ の部分加群であり、$P$ は Noether 環なので $C$ は $P$ 上有限である。$\square$

$x_i=x_i^3/x_i^2$ なので $\operatorname{Frac}(A)=\operatorname{Frac}(R)$ である。各 $x_i$ は $T^2-x_i^2$ の根なので $A$ 上整で、$R$ は整な元で生成されるから $A$ 上整である。$R$ は一意分解整域なので整閉であり、$\widetilde{A}$ の元は $R$ 上整だから $R$ に属する。よって $\widetilde{A}=R$ である。
次に、$A$ は単項式 $x^\alpha=\prod_ix_i^{\alpha_i}$ のうち、すべての $i$ で $\alpha_i\ne1$ を満たすもの全体で $k$ 上張られることを確かめる。$2$ 以上の整数は $2a+3b$（$a,b\ge0$）と書けるので、そのような単項式は $A$ に属する。逆に、それらの張る部分空間は生成元 $x_i^2,x_i^3$ を含み、指数の各成分が $\{0\}\cup\{2,3,\dots\}$ に属するという条件は和で保たれるから、積で閉じた部分環であり $A$ を含む。
$R=\sum_{j=1}^mAf_j$ と仮定し、$f_j$ に現れる変数がすべて $x_1,\dots,x_N$ に含まれるように $N$ をとる。$x_{N+1}=\sum_ja_jf_j$（$a_j\in A$）と書き、両辺の単項式 $x_{N+1}$ の係数を比べる。右辺の単項式は $x^\alpha x^\beta$（$x^\alpha$ は $a_j$ の、$x^\beta$ は $f_j$ の単項式）の形で、$\beta_{N+1}=0$、$\alpha_{N+1}\ne1$ だから、$x_{N+1}$ の指数は $1$ にならない。よって右辺の $x_{N+1}$ の係数は $0$ で、矛盾である。
最後に、$A$ が体上有限生成なら thm-fic-finite-type により $\widetilde{A}$ は $A$ 上有限のはずなので、$A$ は体上有限生成でない。$\square$