余極限(∞圏)
概要
余極限(∞圏)（colimit）とは、図式からの整合的な余錐の∞圏で始対象となる余錐である。対象や射の貼合せだけでなく、関係を実現する道とその高次整合性も保つ。通常圏の脈体では古典的な余極限を回収し、空間ではホモトピー押出しなどを表す。
前提知識: ∞圏, 単体的集合, 写像空間(∞圏), 始対象(∞圏), 余極限(圏論)
動機
通常の余極限（余極限(圏論)）は、図式から出る整合的な写像を一つの対象からの写像として表す普遍的な余錐である。集合の商のように関係を等式として課すだけでは、∞圏の余極限にならないことがある。関係を実現する道と、その道の比較も保存する必要があるためである。
典型的には、二点をそれぞれ一点へ送る二つの写像の押出しが、厳密計算では一点、ホモトピーを保つ計算では円周となる。余極限は「関係の商」だけでなく「関係の整合性を含む貼合せ」である。
定義の準備
単体的集合は、有限非空全順序集合の圏 $\Delta$ 上の反変集合値関手である。準圏は、標準単体 $\Delta^n$ の内部ホーン $\Lambda_i^n$（第 $i$ 面以外の和、$n\ge2,\ 0< i< n$）をすべて充填する単体的集合であり、本稿では $(\infty,1)$-圏のモデルに使う。全ホーンを充填するKan複体は空間を表す。
対象 $x,y$ の右写像空間（写像空間(∞圏)）は、$n$-単体を $\Delta^{n+1}\to\mathcal C$ で最初の $n+1$ 頂点の面全体が $x$ で定値、最後の頂点が $y$ となる写像として定める。これはKan複体であり、その空間を $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ と書く。$\pi_0\operatorname{Map}$ を射集合とするホモトピー圏（∞圏のホモトピー圏）で同型になる辺を同値射という。空間の可縮性（可縮空間）は、一点との弱ホモトピー同値を意味する（HTT09 §§1.2.2–1.2.5）。
宇宙 $\mathbb U\in\mathbb V$ を固定し、小図式は $\mathbb U$-小の添字、圏は $\mathbb V$ 内、写像空間は $\mathbb U$ 内で扱う。小空間の∞圏（空間の∞圏）を $\mathcal S$ と書く。
join $A\star B$ の $n$-単体は $A_n,B_n$ と $i+j+1=n$ を満たす $A_i\times B_j$ からなる。左側の頂点を先に並べ、面・退化は各側で頂点を削除・重複させる。片側が尽きれば他方の純粋な単体へ移る。
図式 $p:K\to\mathcal C$ の余錐準圏 $\mathcal C_{p/}$ の $n$-単体は、$K$ 上で $p$ と一致する写像
$$
K\star\Delta^n\longrightarrow\mathcal C
$$
である。その頂点は、図式からある対象へ向かう整合的な余錐である。
余極限（colimit）は $\mathcal C_{p/}$ の始対象である。すなわち指定余錐 $\lambda$ が余極限であるとは、任意の余錐 $\mu$ に対して
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal C_{p/}}(\lambda,\mu)\simeq *
$$
となることをいう。$\operatorname{colim}p$ と頂点だけを略記する場合も、指定余錐を伴う。
余錐の準圏性（スライス圏の一種、スライス圏(∞圏)）・余極限の定義は HTT09 §§1.2.9, 1.2.13 に従う。
指定余錐の頂点を $Q$ とする。その余錐が余極限であることは、すべての $x$ に対し同じ余錐が誘導する
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal C}(Q,x)
\longrightarrow
\lim_{k\in K^{\mathrm{op}}}\operatorname{Map}_{\mathcal C}(p(k),x)
$$
が空間の同値であることと同値である。
右辺は空間での極限（極限(∞圏)）であり、余極限ではない。Homの第1変数が反変なので添字は $K^{\mathrm{op}}$ になる。Hom双関手と図式の高次整合性を含める。
性質と証明
同じ図式の二つの余極限余錐は、余錐準圏で同値である。頂点の対象も同値となる。
二つの始対象 $\lambda,\lambda'$ の間には両方向の比較射がある。それぞれの自己写像空間は可縮なので、二つの合成のホモトピー類は恒等射になる。従って比較射は同値である。頂点評価 $\mathcal C_{p/}\to\mathcal C$ によって頂点の同値も得られる。
全余極限余錐の空間が、存在すれば可縮となる強い一意性には、HTT09 命題1.2.12.9の双対を余錐準圏へ適用する。
小族 $(X_i)_{i\in I}$ のKan複体の非交差和 $\coprod_iX_i$ は、空間の∞圏での余積を表す。
まず依存関係を切り分ける。$\mathcal S$ の余極限はKan複体のホモトピー余極限で計算でき（HTT09 §4.2.4、定理4.2.4.1 相当）、Kan複体の非交差和はホモトピー余積である。従って示すべきことは、$\coprod_iX_i$ が各成分の包含によってホモトピー余積の普遍性を満たすことに帰着する。
非交差和はKanである。ホーンの像は一つの成分に入り、その成分内で充填できるからである。任意のKan複体 $Y$ に対し
$$
Y^{\coprod_iX_i}\cong\prod_iY^{X_i}
$$
が全次数で成立する。左の写像を各成分へ制限する対応は面・退化と可換し、余積の包含による比較そのものである。豊穣Homと空間の写像空間の比較を通して、上の普遍性を得る。空族でも $Y^\emptyset=*$ なので同じ証明が通る。
通常の余極限への回収
通常関手 $p:I\to A$ の通常の余極限余錐は、脈体 $Np:NI\to NA$ の∞圏での余極限余錐に一致する。
通常の余錐圏 $A_{p/}$ は、対象 $(a,p\Rightarrow\Delta a)$ と、余錐を可換にする射を持つ。$[n]\to A_{p/}$ のデータは、$I$ 上で $p$ となる関手 $I\star[n]\to A$ と同じである。脈体はこのjoinを保つので、全次数で
$$
N(A_{p/})\cong(NA)_{Np/}
$$
となる。面・退化も一致する。
通常圏の脈体の右Homは、恒等射の列と最後の一本の射で決まる離散射集合である。従ってそこでの始対象条件は通常の始対象条件になる。上の同型へ適用すれば、余極限の定義が一致する。
例と反例
$K=\emptyset$ では $\emptyset\star\Delta^n=\Delta^n$ だから、余錐準圏は $\mathcal C$ である。従って空図式の余極限は始対象であり、空間の∞圏では空空間がその例である。
離散添字の余極限は余積であり、空間では非交差和となる。半順序集合の脈体では、二対象の余積は最小上界である。例えば部分集合を包含で並べた圏では、二つの部分集合の和集合がその余積となる。
$S^0=\{0,1\}$ を離散二点とする。空間の∞圏での図式
$$
*\longleftarrow S^0\longrightarrow *
$$
の押出しは円周 $S^1$ と同値である。二点それぞれの上に区間を置き、左端を一つの極、右端をもう一つの極へ貼り合わせると、二本の弧からなる円周になる。
単体的には $Q=\Delta^1\coprod_{\partial\Delta^1}\Delta^1$ とし、ホーン付着によるKan置換 $Q\to RQ$ を取れる。Kan複体 $Y$ に対し
$$
Y^{RQ}\simeq Y^Q
\cong Y^{\Delta^1}\times_{Y\times Y}Y^{\Delta^1}.
$$
定値道 $Y\to Y^{\Delta^1}$ は同値で、端評価はKanファイブレーションである。従って右辺は二つの対角写像 $Y\to Y\times Y$ のホモトピー引戻しを表す。これは上の押出しのHom普遍性にほかならない。
指定余錐は、左右の一点をそれぞれの極へ、中央の二点を両方とも左の極へ送り、左脚の比較を恒等、右脚の比較を二本の弧とする。従って上の比較は、その同じ余錐による前合成である。空間のホモトピー押出しと準圏の余極限の比較は HTT09 §§4.2.4, 4.4.2 を用いる。
直前の図式を単体的集合として厳密に押し出すと、一点になる。二つの極が同じ元へ同一視され、貼合せを証言する二本の道は残らない。しかし∞圏の押出しは $S^1$ であり、基本群が $\mathbb Z$ だから一点と同値でない。
これは「図式の全対象がKanなら、厳密押出しを取れば十分」という含意を破る。置換は対象ごとのホモトピー型をよくするためだけでなく、貼合せの整合性を計算へ反映させるためにも必要である。
豊穣表示と導来計算
小単体的豊穣圏 $D$ と共変図式 $F:D\to\mathbf{Kan}$ を考える。豊穣圏はHom単体的集合・単位・厳密な結合的合成を持つ。自由図式の境界包含 $D(d,-)\times\partial\Delta^n\to D(d,-)\times\Delta^n$ の付着とレトラクトから作る図式をcofibrantとする。
各値で全境界 RLP を持つ $C\to F$ で $C$ をcofibrantに取れば、$F$ がKan値なので $C$ もKan値になる。豊穣余極限 $L_0$ は、$\coprod_dC(d)$ にHomの作用による関係を課した商である。最後にホーンを付着してKan置換 $L_0\to L$ を取ると、任意のKan複体 $Y$ に対して
$$
Y^L\simeq Y^{L_0}
\cong\underline{\operatorname{Nat}}_D(C,\delta Y).
$$
右端の $n$-単体は、作用に両立する族 $C(d)\times\Delta^n\to Y$ である。この式は同じ余錐からの後合成を表す。
自由セル分解の存在、豊穣図式と準圏図式の指定評価比較（ホモトピー整合的脈体を経由する）、通常joinへの移送を通して、これを空間の余極限にする。これらの一般比較は HTT09 §§4.2.4, 5.1.1–5.1.2 に依存する。未置換の厳密商の不変性を主張するものではなく、一般の豊穣圏を無条件で準圏として扱うものでもない。重み付き余極限（重み付き極限(∞圏)）・コエンド（コエンド(∞圏)）はこの計算を整理する別の言語である。
関連項目
参考文献
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