前層(豊穣圏)

積の普遍性により、射 $\phi:T\to\prod_a[P(a),Q(a)]$ は成分 $\phi_a:T\to[P(a),Q(a)]$ の族と一対一に対応し、閉構造の随伴転置により各 $\phi_a$ は $\alpha_a:T\otimes P(a)\to Q(a)$ と一対一に対応する。等化子の普遍性により、$T\to E(P,Q)$ は $u\phi=v\phi$ を満たす $\phi$、すなわち積の普遍性からすべての $a,b$ で $u_{a,b}\phi=v_{a,b}\phi$ を満たす $\phi$ と一対一に対応する。
$u_{a,b}\phi=[\rho^P_{a,b},1]\circ\phi_a$ の随伴転置は、転置が $U$ に自然であることから $\alpha_a\circ(1_T\otimes\rho^P_{a,b})$ である。$v_{a,b}\phi$ の随伴転置は、定義の射の転置に $\phi_b\otimes1\otimes1$ を前合成したもの、すなわち
$$ T\otimes\mathcal A(a,b)\otimes P(b) \xrightarrow{\tau\otimes1} \mathcal A(a,b)\otimes T\otimes P(b) \xrightarrow{1\otimes\alpha_b} \mathcal A(a,b)\otimes Q(b) \xrightarrow{\rho^Q_{a,b}}Q(a) $$
である。ここで $\mathrm{ev}\circ(\phi_b\otimes1)=\alpha_b$ と対称性の自然性を使った。転置は全単射なので、$u_{a,b}\phi=v_{a,b}\phi$ は命題の二射の一致と同値である。
自然性については、$t:T'\to T$ を前合成すると、転置の自然性により各成分は $\alpha_a\circ(t\otimes1)$ に移り、これは可換条件を保つ。$T=I$ のときは単位の同型 $I\otimes P(a)\cong P(a)$ を通して $\alpha_a:P(a)\to Q(a)$ となり、条件は $\alpha_a\rho^P_{a,b}=\rho^Q_{a,b}(1\otimes\alpha_b)$、すなわち豊穣自然変換の自然性条件になる。

$X=\mathcal A(b,c)$、$Y=\mathcal A(a,b)$、$Z=\mathcal A(c,d)$ と置く。示すべき結合の条件は、$X\otimes Y\otimes Z\to\mathcal A(a,d)$ の二射
$$ \rho_{a,c}\circ(m\otimes1)=m\circ\tau_{\mathcal A(a,c),Z}\circ(m\otimes1),\qquad \rho_{a,b}\circ(1\otimes\rho_{b,c})\circ(\tau_{X,Y}\otimes1) =m\circ\tau_{Y,\mathcal A(b,d)}\circ(1\otimes m)\circ(1\otimes\tau_{X,Z})\circ(\tau_{X,Y}\otimes1) $$
の一致である。対称性の自然性 $\tau\circ(m\otimes1)=(1\otimes m)\circ\tau$ と、$\tau_{X\otimes Y,Z}=(\tau_{X,Z}\otimes1)\circ(1\otimes\tau_{Y,Z})$ の形の整合性（六角形公理）により、左の射は
$$ m\circ(1\otimes m)\circ\sigma_1,\qquad \sigma_1=(\tau_{X,Z}\otimes1)\circ(1\otimes\tau_{Y,Z}):X\otimes Y\otimes Z\to Z\otimes X\otimes Y $$
と書ける。同様に右の射は、$\tau_{Y,\mathcal A(b,d)}\circ(1\otimes m)=(m\otimes1)\circ\tau_{Y,Z\otimes X}$ と六角形公理により
$$ m\circ(m\otimes1)\circ\sigma_2,\qquad \sigma_2=(1\otimes\tau_{Y,X})\circ(\tau_{Y,Z}\otimes1)\circ(1\otimes\tau_{X,Z})\circ(\tau_{X,Y}\otimes1):X\otimes Y\otimes Z\to Z\otimes X\otimes Y $$
と書ける。$\sigma_1,\sigma_2$ はどちらも因子の同じ置換（$Z$ を先頭に移す）を実現する対称性の合成なので、対称モノイダル圏の整合性定理により $\sigma_1=\sigma_2$ である。さらに $\mathcal A$ の結合律 $m\circ(1\otimes m)=m\circ(m\otimes1)$ により、二射は一致する。
単位の条件 $\rho_{a,a}\circ(j_a\otimes1)=1$ は、対称性の自然性により $\rho_{a,a}\circ(j_a\otimes1)=m\circ(1\otimes j_a)\circ\tau_{I,\mathcal A(a,d)}$ となり、$m\circ(1\otimes j_a)$ が $\mathcal A$ の右単位律により単位の同型 $\mathcal A(a,d)\otimes I\cong\mathcal A(a,d)$ に等しく、$\tau_{I,-}$ が左右の単位の同型を入れ替えることから従う。