双対アーベル多様体

$P\in E(\bar k)$ とする。同型 $t_P$ による因子の引き戻しは $t_P^*\mathcal{O}_E(D)=\mathcal{O}_E(t_P^{-1}(D))$ を満たし、$t_P^{-1}(O)=\{Q\in E(\bar k)\mid Q+P=O\}=\{-P\}$ なので $t_P^*\mathcal{O}_E(O)=\mathcal{O}_E((-P))$ である。したがって
$$ \varphi_L(P)=[t_P^*L\otimes L^{-1}]=[\mathcal{O}_E((-P)-(O))]. $$
楕円曲線の記事の「群構造と因子類群」の定理により、$\kappa\colon E(\bar k)\to\operatorname{Pic}^0(E_{\bar k})$、$P\mapsto[(P)-(O)]$ は次数 $0$ の因子類のなす群への群の同型であり、$\varphi_L(P)=\kappa(-P)=-\kappa(P)$ である。ここで、曲線上では次数 $0$ の因子類と代数的に $0$ に同値な可逆層の類は一致する。実際、$E_{\bar k}\times E_{\bar k}$ 上の可逆層 $\mathcal{O}(\Delta)\otimes p_1^*\mathcal{O}_E(-O)$（$\Delta$ は対角線）を第 2 因子をパラメータとする族とみると、$P$ でのファイバーは $\mathcal{O}_E((P)-(O))$、$O$ でのファイバーは自明なので、$\kappa$ の像は代数的に $0$ に同値である。逆に代数的に $0$ に同値な可逆層は、連結な底上の族の中で次数（Euler 標数）が一定であることから次数 $0$ である。よって $\varphi_L$ は $\bar k$ 有理点の上で $E(\bar k)$ から $E^\vee(\bar k)=\operatorname{Pic}^0(E_{\bar k})$ への全単射（全単射）であり、特に $K(L)(\bar k)=\{O\}$ で $K(L)$ は有限、$\varphi_L$ は同種（thm-dual-abelian-variety-phi-properties の 1）である。
次数を計算する。thm-dual-abelian-variety-phi-properties の 2 により $\deg\varphi_L=\chi(L)^2$ である。種数（種数）$1$ の曲線に対する Riemann–Roch の定理（Riemann–Rochの定理、Har77 IV.1.3）により、Euler 標数（Euler標数）は $\chi(\mathcal{O}_E(O))=\deg(O)+1-1=1$ である。よって $\deg\varphi_L=1$。同種は有限平坦な全射（アーベル多様体の記事の「同種の特徴づけ」）なので、$\varphi_L$ は次数 $1$ の有限（有限射）平坦（平坦射）射、すなわち $\mathcal{O}_E$ が $\varphi_L^{-1}\mathcal{O}_{E^\vee}$ 上局所的に階数 $1$ の自由加群（自由加群）になる射である。局所的に $B\to C$ を $C$ が $B$ 上階数 $1$ の自由加群である環準同型（環準同型）とすると、$1\in C$ を含む基底（基底）がとれるから、$B\to C$ は同型である。ゆえに $\varphi_L$ は同型である。$\bar k$ 有理点の上で全単射であることは、標数 $p>0$ で純非分離な同種（Frobenius 射、Frobenius射）が同型でないことからわかるように、それだけでは同型を導かないことに注意する。次数の計算がその隙間を埋めている。

$\mathcal{Q}$ を第 3・4 因子 $A^\vee\times B^\vee$ をパラメータとする $A\times B$ 上の可逆層の族とみる。幾何学的点 $(\xi,\eta)$ でのファイバーは $p_1^*L_\xi\otimes p_2^*M_\eta$（$L_\xi=\mathcal{P}_A|_{A\times\{\xi\}}$、$M_\eta=\mathcal{P}_B|_{B\times\{\eta\}}$）である。$L_\xi$ を $\mathcal{O}_A$ と結ぶ連結族を $p_1$ で、$M_\eta$ を $\mathcal{O}_B$ と結ぶ連結族を $p_2$ で引き戻してテンソル積をとれば、$p_1^*L_\xi\otimes p_2^*M_\eta$ は $A\times B$ 上で代数的に $0$ に同値である。また $\{(0,0)\}\times A^\vee\times B^\vee$ への制限は $\mathcal{P}_A|_{\{0\}\times A^\vee}$ と $\mathcal{P}_B|_{\{0\}\times B^\vee}$ の引き戻しのテンソル積であり、正規化により自明である。したがって普遍性から射 $\Phi\colon A^\vee\times B^\vee\to(A\times B)^\vee$ で $(1\times\Phi)^*\mathcal{P}_{A\times B}\cong\mathcal{Q}$ となるものがただ 1 つ定まる。
次に $\psi:=(i_A^\vee,i_B^\vee)\colon(A\times B)^\vee\to A^\vee\times B^\vee$ とおき、$\psi\circ\Phi=1$ を示す。$i_A^\vee\circ\Phi\colon A^\vee\times B^\vee\to A^\vee$ を分類する $A\times A^\vee\times B^\vee$ 上の可逆層は、def-dual-abelian-variety-dual-hom により
$$ (1_A\times\Phi)^*(i_A\times1)^*\mathcal{P}_{A\times B}=(i_A\times1_{A^\vee\times B^\vee})^*(1_{A\times B}\times\Phi)^*\mathcal{P}_{A\times B}\cong(i_A\times1)^*\mathcal{Q} $$
である。$(i_A\times1)^*p_{13}^*\mathcal{P}_A$ は射影 $A\times A^\vee\times B^\vee\to A\times A^\vee$ による $\mathcal{P}_A$ の引き戻し、$(i_A\times1)^*p_{24}^*\mathcal{P}_B$ は $\mathcal{P}_B|_{\{0\}\times B^\vee}$ の引き戻しで自明である。よって $(i_A\times1)^*\mathcal{Q}\cong(1_A\times\mathrm{pr}_1)^*\mathcal{P}_A$ であり、普遍性の一意性から $i_A^\vee\circ\Phi=\mathrm{pr}_1$ を得る。同様に $i_B^\vee\circ\Phi=\mathrm{pr}_2$ であり、$\psi\circ\Phi=1_{A^\vee\times B^\vee}$ である。
$\Phi$ が同型であることを示す。$\psi$ は分離的（分離射）な $k$ スキームの間の射なので分離射であり、その切断 $\Phi$ は閉埋め込み（閉埋め込み）である（Har77 II 演習 4.8：切断は対角射 $\Delta_\psi$ の底変換である）。$(A\times B)^\vee$ は thm-dual-abelian-variety-existence の 1 により既約（既約）かつ被約（被約スキーム）で次元 $\dim A+\dim B$ をもち、閉部分スキーム $\Phi(A^\vee\times B^\vee)$ も同じ次元 $\dim A^\vee+\dim B^\vee=\dim A+\dim B$ をもつから、両者は集合として一致する。被約スキームの上で台が全体であるような閉埋め込みは同型である（定義イデアル層（イデアル層）は各茎で冪零元（冪零元）からなり、被約なので $0$）。ゆえに $\Phi$ は同型である。$\Phi(0,0)=0$ なので $\Phi$ は準同型でもあり（def-dual-abelian-variety-dual-hom の末尾と同じ剛性の議論）、アーベル多様体の同型である。

$\bar k$ に底変換した射 $u',v'\colon X_{\bar k}\to Y_{\bar k}$ を考える。$Y_{\bar k}$ は $\bar k$ 上分離的なので、対角射 $\Delta\colon Y_{\bar k}\to Y_{\bar k}\times Y_{\bar k}$ は閉埋め込みであり、その $(u',v')\colon X_{\bar k}\to Y_{\bar k}\times Y_{\bar k}$ による逆像 $Z\subset X_{\bar k}$ は閉部分スキームである。仮定により $Z$ は $X_{\bar k}$ のすべての閉点（閉点。$\bar k$ 有理点）を含む。$X_{\bar k}$ は $\bar k$ 上有限型なので、閉点はその任意の閉部分集合で稠密（稠密集合）であり（Hilbert の零点定理（Hilbertの零点定理）の帰結）、$X_{\bar k}\setminus Z$ が空でない開集合（開集合）なら閉点を含んで矛盾する。よって $Z$ は集合として $X_{\bar k}$ 全体であり、$X_{\bar k}$ は被約なので $Z=X_{\bar k}$、すなわち $u'=v'$ である。最後に $\pi\colon X_{\bar k}\to X$ は忠実平坦（忠実平坦射）であり、$u\circ\pi=v\circ\pi$ から $u=v$ が従う（忠実平坦射はスキームの圏のエピ射である。忠実平坦降下）。

1. $A\times\{a\}$ 上では $m$ は $t_a$、$p_1$ は恒等射、$p_2$ は定数射 $a$ になるから、$\Lambda(L)|_{A\times\{a\}}\cong t_a^*L\otimes L^{-1}\otimes\mathcal{O}_A=t_a^*L\otimes L^{-1}$ である。$\{0\}\times A$ 上では $m$ と $p_2$ は恒等射、$p_1$ は定数射 $0$ になるから、$\Lambda(L)|_{\{0\}\times A}\cong L\otimes\mathcal{O}_A\otimes L^{-1}=\mathcal{O}_A$ である。$A_{\bar k}$ は連結で、族 $\Lambda(L)_{\bar k}$ の $a=0$ でのファイバーは $t_0^*L\otimes L^{-1}=\mathcal{O}_{A_{\bar k}}$ なので、代数的同値の定義（$T=A_{\bar k}$、$t_0=0$、$t_1=a$）により各ファイバー $t_a^*L\otimes L^{-1}$ は代数的に $0$ に同値である。$\Lambda(L)$ は $k$ 上定義されているから、Poincaré 束の普遍性（正規化つき）により $k$ 上の射 $\varphi_L\colon A\to A^\vee$ が一意に定まり、$\bar k$ 有理点 $a$ での値は $\Lambda(L)|_{A\times\{a\}}$ の類 $[t_a^*L\otimes L^{-1}]$ である。
2. $a,b\in A(\bar k)$ とする。平方定理（アーベル多様体の記事の「立方定理と平方定理」の定理の 3）により $t_{a+b}^*L\otimes L\cong t_a^*L\otimes t_b^*L$ であり、両辺に $L^{-2}$ をテンソルして
   $$ t_{a+b}^*L\otimes L^{-1}\cong(t_a^*L\otimes L^{-1})\otimes(t_b^*L\otimes L^{-1}) $$
   を得る。$A^\vee(\bar k)=\operatorname{Pic}^0(A_{\bar k})$ の群構造はテンソル積なので、これは $\varphi_L(a+b)=\varphi_L(a)+\varphi_L(b)$ を意味する。すなわち 2 つの射 $\varphi_L\circ m$ と $m_{A^\vee}\circ(\varphi_L\times\varphi_L)\colon A\times A\to A^\vee$ は $\bar k$ 有理点の上で一致する。$A\times A$ は $k$ 上有限型で幾何的被約（アーベル多様体は幾何的整）、$A^\vee$ は分離的なので、lem-dual-abelian-variety-points により両者は等しい。単位元・逆元との両立は加法との両立から従う。

いずれも $\bar k$ 有理点 $a$ での等式を示せば、lem-dual-abelian-variety-points により射の等式が従う。

1. $t_a^*(L\otimes M)\otimes(L\otimes M)^{-1}\cong(t_a^*L\otimes L^{-1})\otimes(t_a^*M\otimes M^{-1})$ であり、$\operatorname{Pic}^0(A_{\bar k})$ の群構造はテンソル積なので $\varphi_{L\otimes M}(a)=\varphi_L(a)+\varphi_M(a)$ である。残りは繰り返しである。
2. $t_a\circ t_b=t_b\circ t_a$ なので $t_a^*t_b^*L\otimes(t_b^*L)^{-1}\cong t_b^*(t_a^*L\otimes L^{-1})$ である。$t_a^*L\otimes L^{-1}$ は代数的に $0$ に同値だから、thm-dual-abelian-variety-existence の 2 の (iii) により平行移動で不変であり、$\varphi_{t_b^*L}(a)=\varphi_L(a)$ を得る。
3. 同じく (iii) により $t_a^*M\cong M$、したがって $\varphi_M(a)=0$ である。$L$ と $L'$ が $\operatorname{NS}(A)$ で同じ類をもてば $L'\cong L\otimes M$（$M\in\operatorname{Pic}^0$）なので、1 と合わせて $\varphi_{L'}=\varphi_L$ である。
4. $f$ は準同型なので $f\circ t_a=t_{f(a)}\circ f$ である。よって
   $$ t_a^*f^*L\otimes(f^*L)^{-1}\cong f^*(t_{f(a)}^*L\otimes L^{-1}) $$
   であり、def-dual-abelian-variety-dual-hom により右辺の類は $f^\vee(\varphi_L(f(a)))$ である。

1. thm-dual-abelian-variety-existence の 2 により $\Lambda(L)$ は自明である。$\Lambda(L)$ を反対角射 $\delta\colon A\to A\times A$、$x\mapsto(x,-x)$ で引き戻す。$m\circ\delta$ は定数射 $0$、$p_1\circ\delta=1_A$、$p_2\circ\delta=-1_A$ なので、
   $$ \mathcal{O}_A\cong\delta^*\Lambda(L)\cong\mathcal{O}_A\otimes L^{-1}\otimes(-1_A)^*L^{-1} $$
   であり、$(-1_A)^*L\cong L^{-1}$ を得る。
2. アーベル多様体の記事の「立方定理と平方定理」の定理の 4 により、任意の可逆層 $L$ について $n_A^*L\cong L^{\otimes(n^2+n)/2}\otimes(-1_A)^*L^{\otimes(n^2-n)/2}$ である。$L\in\operatorname{Pic}^0$ なら 1 により右辺は $L^{\otimes(n^2+n)/2-(n^2-n)/2}=L^{\otimes n}$ である。
3. $\xi\in A^\vee(\bar k)$ に対し、def-dual-abelian-variety-dual-hom と 2 により $(n_A)^\vee(\xi)=[n_A^*L_\xi]=[L_\xi^{\otimes n}]=n\xi$ である。lem-dual-abelian-variety-points により $(n_A)^\vee=n_{A^\vee}$ であり、核をとって $A^\vee[n]=\ker(n_A)^\vee$ を得る。