Hecke環
概要
Hecke環（Hecke algebra）とは、群 $G$ の部分群 $K$ の両側剰余類を基底とする畳み込みの代数で、有限群なら置換表現 $\mathbb C[G/K]$ の $G$ 準同型の代数と同型になるものである。Coxeter 系 $(W,S)$ と、共役な生成元で等しいパラメータ $q_s$ からは、基底 $T_w$、規則 $T_sT_w=T_{sw}$（$\ell(sw)>\ell(w)$）、関係式 $(T_s-q_s)(T_s+1)=0$ で定まる岩堀–Hecke環が作られる。Tits 系をもつ有限群と Borel 部分群 $B$ の組の Hecke環は $q_s=[B:B\cap sBs^{-1}]$ の岩堀–Hecke環と同型であり（岩堀の定理）、$\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)$ では対称群の $q$ 変形になる。
Hecke環（Hecke algebra）は、群 $G$ の部分群 $K$ についての両側剰余類 $KgK$ を基底とする畳み込みの代数である。$G$ が有限群のとき、これは置換表現 $\mathbb C[G/K]$ の $G$ 準同型のなす代数と同じものであり、$\mathbb C[G/K]$ がどう既約分解するかを、その自己準同型の代数の側から調べる道具になる。
とくに有限体上の一般線形群 $\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)$ と上三角行列の群 $B$ の場合には、両側剰余類は Bruhat 分解により対称群 $S_n$ の元で番号付けられ、Hecke環は $S_n$ の群環を「$q$ で変形した」代数になる。$\mathbb C$ 上の代数としての積は、隣接互換 $s$ に対応する基底 $T_s$ が二次の関係式
$$
(T_s-q)(T_s+1)=0
$$
を満たし、$q=1$ と置けば $S_n$ の群環の関係式 $s^2=1$ に戻る、という形で与えられる。岩堀長慶（Nagayoshi Iwahori）がこの構造を一般の有限 Chevalley 群について決定した（Lus14 0.3、pp. 4–5 の注記による）。そこで、Coxeter 群 $W$ とパラメータから生成元と関係式で定まる代数を岩堀–Hecke環（Iwahori–Hecke algebra）という。
この記事では、まず有限群と部分群の組の Hecke環を定義して、置換表現の自己準同型の代数と同型であることを示す。次に Coxeter 系 $(W,S)$ の岩堀–Hecke環を、基底 $\{T_w\}_{w\in W}$ と積の規則で構成し、その存在と一意性を証明する。最後に、Tits 系をもつ有限群 $G$ では $G$ と Borel 部分群 $B$ の組の Hecke環が岩堀–Hecke環と同型であること（岩堀の定理）を証明する。
群と部分群の組のHecke環
以下この節では $G$ を有限群、$K$ をその部分群とする。
$K$ の両側で不変な関数 $f\colon G\to\mathbb C$（すべての $k,k'\in K$、$g\in G$ について $f(kgk')=f(g)$）の全体を $\mathcal H(G,K)$ と書き、畳み込み
$$
(f*f')(x):=\frac1{\lvert K\rvert}\sum_{y\in G}f(y)\,f'(y^{-1}x)
$$
を積とする。$\mathcal H(G,K)$ を組 $(G,K)$ の Hecke環という。
$f*f'$ がふたたび $K$ の両側で不変であることは、和の変数を $y\mapsto ky$ と取り替えればわかる。積は結合的で、$K$ の指示関数 $1_K$ が単位元である（$(1_K*f)(x)=\frac1{|K|}\sum_{y\in K}f(y^{-1}x)=f(x)$）。各両側剰余類 $KgK$ の指示関数 $1_{KgK}$ は $\mathcal H(G,K)$ の基底をなすので、$\dim\mathcal H(G,K)$ は両側剰余類の個数 $\lvert K\backslash G/K\rvert$ に等しい。
$V:=\{\varphi\colon G\to\mathbb C\mid \varphi(gk)=\varphi(g)\ (k\in K)\}$ に $G$ を左移動 $(g\cdot\varphi)(x):=\varphi(g^{-1}x)$ で作用させる。$1_{gK}\in V$ は剰余類 $gK$ の指示関数であり、$V$ は $G/K$ 上の置換表現 $\mathbb C[G/K]$、すなわち $K$ の自明な表現から誘導した表現 $\operatorname{Ind}_K^G\mathbf 1$（誘導表現）である。
$f\in\mathcal H(G,K)$ に対し $R_f(\varphi):=\varphi*f$（$\varphi\in V$。畳み込みは上と同じ式）とおく。
- $R_f$ は $V$ の $G$ 準同型であり、$f\mapsto R_f$ は線形同型 $\mathcal H(G,K)\to\operatorname{End}_G(V)$ で、$R_{f*f'}=R_{f'}\circ R_f$ を満たす。
- $f^\vee(x):=f(x^{-1})$ とおくと $(f*f')^\vee=f'^\vee*f^\vee$ である。したがって $f\mapsto R_{f^\vee}$ は代数の同型 $\mathcal H(G,K)\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{End}_G(V)$ である。
1：$\varphi*f$ が右から $K$ で不変なことは $f$ の右不変性から、左移動と可換なことは畳み込みの式の $y\mapsto g y$ の取り替えからわかる。結合律から $R_f(R_{f'}(\varphi))=(\varphi*f')*f=\varphi*(f'*f)=R_{f'*f}(\varphi)$ である。$\varphi_0:=1_K\in V$ とおくと
$$
R_f(\varphi_0)(x)=\frac1{|K|}\sum_{y\in K}f(y^{-1}x)=f(x)
$$
なので、$f\mapsto R_f$ は単射である。逆に $T\in\operatorname{End}_G(V)$ とする。$h\in K$ について $h\cdot\varphi_0=\varphi_0$ だから $h\cdot T(\varphi_0)=T(\varphi_0)$ であり、$f:=T(\varphi_0)$ は左からも $K$ で不変、すなわち $f\in\mathcal H(G,K)$ である。$T$ と $R_f$ はともに $G$ 準同型で $\varphi_0$ で値が一致し、$V$ は $g\cdot\varphi_0=1_{gK}$ たちで張られるので $T=R_f$ である。
2：$(f*f')^\vee(x)=\frac1{|K|}\sum_yf(y)f'(y^{-1}x^{-1})$ で、$y=x^{-1}z$ と置き換えると $\frac1{|K|}\sum_zf'^\vee(z)f^\vee(z^{-1}x)=(f'^\vee*f^\vee)(x)$ になる。よって $f\mapsto f^\vee$ は $\mathcal H(G,K)$ の反自己同型で、1 と合わせて $R_{(f*f')^\vee}=R_{f'^\vee*f^\vee}=R_{f^\vee}\circ R_{f'^\vee}$ を得る。$\square$
$\mathbb C[G/K]$ を既約表現の直和 $\bigoplus_i U_i^{\oplus m_i}$ に分けると、Schur の補題により $\operatorname{End}_G(V)\cong\prod_iM_{m_i}(\mathbb C)$ である。したがって $\mathcal H(G,K)$ は半単純環（半単純環）で、その既約表現は $\mathbb C[G/K]$ に現れる既約表現 $U_i$ と一対一に対応し、$U_i$ の重複度 $m_i$ がその次元になる。$\mathcal H(G,K)$ が可換であることは、すべての $m_i$ が $1$ であることと同値である。
岩堀–Hecke環
$(W,S)$ を Coxeter 系、$\ell$ をその長さ関数とする（Coxeter系 の定義「生成系に関する長さ関数」）。$s\in S$、$w\in W$ について $\ell(sw)=\ell(w)\pm1$、$\ell(ws)=\ell(w)\pm1$ である（$\ell(sw)\le\ell(w)+1$ と、符号 $w\mapsto(-1)^{\ell(w)}$ が準同型であることによる。Lus14 Lemma 1.2、p. 11）。
$A$ を可換環とし、各 $s\in S$ に $q_s\in A$ を与える。次の条件を課す。
$$
(\ast)\qquad s,t\in S\text{ が }W\text{ で共役ならば }q_s=q_t.
$$
$\{T_w\}_{w\in W}$ を基底とする自由 $A$ 加群 $\mathcal H=\mathcal H_A(W,(q_s))$ に、$T_1$ を単位元とし、$s\in S$、$w\in W$ について
$$
T_sT_w=\begin{cases}T_{sw}&(\ell(sw)>\ell(w)),\\ q_sT_{sw}+(q_s-1)T_w&(\ell(sw)< \ell(w))\end{cases}
$$
を満たす結合的な $A$ 代数の構造を入れたものを、$(W,S)$ のパラメータ $(q_s)$ に関する岩堀–Hecke環という。すべての $q_s$ が同じ $q$ のときは $\mathcal H_q(W)$ と書く。
この定義が意味をもつ、すなわちそのような積がただ一つ存在することが次の定理である。証明には、Coxeter系 の系「Coxeter系は交換条件を満たす」から従う次の補題を使う。
$w\in W$、$s,t\in S$ が $\ell(swt)=\ell(w)$ かつ $\ell(sw)=\ell(wt)$ を満たすならば、$sw=wt$ である。
まず $\ell(sw)=\ell(w)+1$ の場合を考える。$k:=\ell(w)$ とし、簡約表示 $w=s_1\cdots s_k$ をとると、$sw=s\,s_1\cdots s_k$ は長さ $k+1$ の簡約表示である。$\ell(sw\cdot t)=\ell(w)=k< k+1$ なので、交換条件により、この表示から 1 文字を除いたものが $swt$ に等しい。除くのが先頭の $s$ なら $swt=w$、すなわち $sw=wt$ である。除くのが $s_i$ なら $swt=s\,s_1\cdots\widehat{s_i}\cdots s_k$、すなわち $wt=s_1\cdots\widehat{s_i}\cdots s_k$ となり、$\ell(wt)\le k-1$ が $\ell(wt)=\ell(sw)=k+1$ に反する。
次に $\ell(sw)=\ell(w)-1$ とし、$w':=sw$ とおく。$\ell(sw')=\ell(w)=\ell(w')+1$、$\ell(w't)=\ell(swt)=\ell(w)=\ell(sw')$、$\ell(sw't)=\ell(wt)=\ell(sw)=\ell(w')$ なので、$w'$ は前半の場合の仮定を満たし、$sw'=w't$、すなわち $w=swt$ を得る。これは $sw=wt$ と同値である。$\square$
$(\ast)$ を満たすパラメータ $(q_s)$ について、def-hecke-iwahori の条件を満たす $A$ 代数の構造はただ一つ存在する。この構造では、$s\in S$、$w\in W$ について右からの掛け算も
$$
T_wT_s=\begin{cases}T_{ws}&(\ell(ws)>\ell(w)),\\ q_sT_{ws}+(q_s-1)T_w&(\ell(ws)< \ell(w))\end{cases}
$$
で与えられ、$w=s_1\cdots s_k$ が簡約表示なら $T_w=T_{s_1}\cdots T_{s_k}$ である。
要点：$\mathcal H$ の上に「左から $T_s$ を掛ける」線形写像 $\lambda_s$ と「右から $T_t$ を掛ける」線形写像 $\rho_t$ を規則どおりに定め、両者が可換であることを確かめる。可換性が分かれば、$\lambda_s$ たちの生成する $\operatorname{End}_A(\mathcal H)$ の部分代数を $\mathcal H$ に写し取ることで積が得られる。可換性の確認は $w,sw,wt,swt$ の長さの並び方の 6 通りの計算で、そのうち 2 通りで lem-hecke-sw-wt と $(\ast)$ を使う。
詳しい証明を開く
一意性。簡約表示 $w=s_1\cdots s_k$ について、$\ell(s_is_{i+1}\cdots s_k)=k-i+1$ なので、左の規則を $k$ 回使うと $T_{s_1}\cdots T_{s_k}=T_w$ を得る。よって積 $T_xT_y$ は $T_{s_1}(\cdots(T_{s_k}T_y))$ として規則から決まり、構造は一意である。
写像の定義。$\mathcal H$ の上の $A$ 線形写像 $\lambda_s,\rho_t$（$s,t\in S$）を、$\lambda_s(T_w)$ は $\ell(sw)>\ell(w)$ なら $T_{sw}$、そうでなければ $q_sT_{sw}+(q_s-1)T_w$、$\rho_t(T_w)$ は $\ell(wt)>\ell(w)$ なら $T_{wt}$、そうでなければ $q_tT_{wt}+(q_t-1)T_w$ として定める。$q:=q_s$、$p:=q_t$ と書く。
可換性 $\lambda_s\rho_t=\rho_t\lambda_s$。$m:=\ell(w)$ とする。$\ell(sw),\ell(wt)\in\{m\pm1\}$ で、$\ell(swt)$ は $\ell(sw)$ とも $\ell(wt)$ とも $1$ だけ違うので、場合は次の 6 通りである。(1) $\ell(sw)=\ell(wt)=m+1$、$\ell(swt)=m+2$：両辺とも $T_{swt}$。(2) $\ell(sw)=\ell(wt)=m-1$、$\ell(swt)=m-2$：両辺とも $pqT_{swt}+p(q-1)T_{wt}+(p-1)qT_{sw}+(p-1)(q-1)T_w$。(3) $\ell(sw)=m-1$、$\ell(wt)=m+1$、$\ell(swt)=m$：両辺とも $qT_{swt}+(q-1)T_{wt}$。(4) $\ell(sw)=m+1$、$\ell(wt)=m-1$、$\ell(swt)=m$：両辺とも $pT_{swt}+(p-1)T_{sw}$。(5) $\ell(sw)=\ell(wt)=m-1$、$\ell(swt)=m$：$\lambda_s\rho_t(T_w)=pT_{swt}+(p-1)(qT_{sw}+(q-1)T_w)$、$\rho_t\lambda_s(T_w)=qT_{swt}+(q-1)(pT_{wt}+(p-1)T_w)$。(6) $\ell(sw)=\ell(wt)=m+1$、$\ell(swt)=m$：$\lambda_s\rho_t(T_w)=qT_{swt}+(q-1)T_{wt}$、$\rho_t\lambda_s(T_w)=pT_{swt}+(p-1)T_{sw}$。(5) と (6) では lem-hecke-sw-wt により $sw=wt$ で、$s=wtw^{-1}$ と $t$ は共役だから $(\ast)$ により $p=q$ である。よって両辺は一致する。各場合の計算は定義を 2 回当てるだけである。たとえば (3) では $\lambda_s\rho_t(T_w)=\lambda_s(T_{wt})=qT_{swt}+(q-1)T_{wt}$（$\ell(s\cdot wt)=m< m+1$）、$\rho_t\lambda_s(T_w)=\rho_t(qT_{sw}+(q-1)T_w)=qT_{swt}+(q-1)T_{wt}$（$\ell(sw\cdot t)=m>m-1$）である。
積の構成。$\mathcal A\subset\operatorname{End}_A(\mathcal H)$ を $\{\lambda_s\}_{s\in S}$ と恒等写像が生成する部分代数とし、$\varepsilon\colon\mathcal A\to\mathcal H$、$\phi\mapsto\phi(T_1)$ とおく。簡約表示 $w=s_1\cdots s_k$ について $\lambda_{s_1}\cdots\lambda_{s_k}(T_1)=T_w$ なので $\varepsilon$ は全射である。また $\rho_{s_k}\cdots\rho_{s_1}(T_1)=T_w$ である（$\ell(s_1\cdots s_i)=i$）。$\varepsilon(\phi)=0$ なら、$\phi$ はすべての $\rho_t$ と可換なので $\phi(T_w)=\rho_{s_k}\cdots\rho_{s_1}\phi(T_1)=0$ がすべての $w$ で成り立ち、$\phi=0$ である。よって $\varepsilon$ は $A$ 加群の同型で、$x\cdot y:=\varepsilon^{-1}(x)(y)$ により $\mathcal H$ は $T_1$ を単位元とする結合的な $A$ 代数になる（$\mathcal A$ の積を写したもの）。$\varepsilon^{-1}(T_s)=\lambda_s$ なので $T_s\cdot T_w=\lambda_s(T_w)$ であり、左の規則が成り立つ。右の規則は、$\phi=\varepsilon^{-1}(T_w)$ が $\rho_s$ と可換であることから $T_w\cdot T_s=\phi(\rho_s(T_1))=\rho_s(\phi(T_1))=\rho_s(T_w)$ として従う。$\square$
この証明は Lus14 Proposition 3.3（pp. 23–24）の証明の筋に従い、パラメータの書き方だけを変えたものである。Lus14 は $v_s-v_s^{-1}$ を係数とする規格化 $(T_s-v_s)(T_s+v_s^{-1})=0$ を使っており、$q_s=v_s^2$ のとき Lus14 の $T_s$ はこの記事の $v_s^{-1}T_s$ にあたる（$T_s=v_sT_s'$ とおくと $(T_s-q_s)(T_s+1)=v_s^2(T_s'-v_s)(T_s'+v_s^{-1})$）。
$\mathcal H_A(W,(q_s))$ において次が成り立つ。
- $s\in S$ について $(T_s-q_s)(T_s+1)=0$。とくに $q_s$ が $A$ で可逆なら $T_s$ は可逆で $T_s^{-1}=q_s^{-1}\bigl(T_s-(q_s-1)\bigr)$ であり、すべての $T_w$ も可逆である。
- $s\ne t$ で $st$ の位数 $m$ が有限なら、$T_sT_tT_s\cdots=T_tT_sT_t\cdots$（両辺とも $m$ 個の積）。
- すべての $q_s=1$ なら、$T_w\mapsto w$ は環の同型 $\mathcal H_A(W,(1))\cong A[W]$（群環）を与える。
1：左の規則で $w=s$ とすると $T_sT_s=q_sT_1+(q_s-1)T_s$ であり、これを整理すると $(T_s-q_s)(T_s+1)=0$ になる。$T_s\bigl(T_s-(q_s-1)\bigr)=q_s$ から逆元の式を得る。$T_w=T_{s_1}\cdots T_{s_k}$ なので $T_w$ も可逆である。
2：$x:=sts\cdots$、$y:=tst\cdots$（$m$ 文字）とおくと、$st$ の位数が $m$ なので $x=y$ であり、どちらの表示も簡約である（Lus14 Corollary 1.4 (a)、pp. 11–12：$\langle s,t\rangle$ の中で交互の積は長さ $k\le m$ をもつ）。thm-hecke-basis の最後の主張から両辺はともに $T_x$ に等しい。
3：$q_s=1$ なら左の規則は $T_sT_w=T_{sw}$ だけになる。$W$ の群環でも $s\cdot w=sw$ なので、$A$ 線形同型 $T_w\mapsto w$ は左から生成元を掛ける操作と可換であり、$T_w=T_{s_1}\cdots T_{s_k}$ と $w=s_1\cdots s_k$ を比べれば積を保つ。$\square$
1 と 2 は $\mathcal H$ の表示を与える。すなわち、$\mathcal H_A(W,(q_s))$ は $\{T_s\}_{s\in S}$ で生成され、1 の二次の関係式と 2 の組紐関係式を基本関係とする $A$ 代数として表示される（この記事では証明しない。Lus14 3.2–3.3、pp. 22–24 は上の規格化で $A=\mathbb Z[v,v^{-1}]$ の場合に、表示で定めた代数で $\{T_w\}$ が基底になることを示している）。その証明には、同じ元の二つの簡約表示が組紐関係式の取り替えで移り合うという Matsumoto–Titsの定理（Lus14 Theorem 1.9、p. 13）が要る。表示で定めた代数で $T_{s_1}\cdots T_{s_k}$ が簡約表示 $s_1\cdots s_k$ の取り方によらないことは、同記事の系「簡約表示に沿った積」の形で従う。
岩堀の定理
この節では $G$ を有限群、$(G,B,N,S)$ をその Tits 系（Tits系）、$W=N/(B\cap N)$ とする。Tits系 の定理「Tits系の基本定理」により $(W,S)$ は Coxeter 系で、$G$ は Bruhat 細胞 $C(w)=B\dot wB$（$w\in W$）の交わらない和集合である。$s\in S$ について
$$
q_s:=\bigl[B:B\cap\dot sB\dot s^{-1}\bigr]
$$
とおき、$a_w:=1_{C(w)}\in\mathcal H(G,B)$、$\operatorname{ind}(w):=|C(w)|/|B|$（$C(w)$ に含まれる左剰余類 $gB$ の個数）とする。
- $\operatorname{ind}(w^{-1})=\operatorname{ind}(w)$、$\operatorname{ind}(s)=q_s$ である。
- $\ell(sw)>\ell(w)$ なら $\operatorname{ind}(sw)=q_s\operatorname{ind}(w)$、$\ell(ws)>\ell(w)$ なら $\operatorname{ind}(ws)=\operatorname{ind}(w)\,q_s$ である。
- $s,t\in S$ が $W$ で共役なら $q_s=q_t$ である。すなわち $(q_s)$ は $(\ast)$ を満たす。
要点：1 は $C(w)^{-1}=C(w^{-1})$ と、$B$ の $C(s)/B$ への推移的な作用から従う。2 は、$C(sw)=C(s)C(w)$ が $C(s)/B$ の $q_s$ 個の元に対応する互いに交わらない $q_s$ 個の集合 $b\dot sC(w)$ に分かれることによる。3 は、$s=xtx^{-1}$ となる長さ最小の $x$ では $\ell(sx)=\ell(xt)=\ell(x)+1$ となることに 2 を当てる。
詳しい証明を開く
1：$C(w)^{-1}=C(w^{-1})$ なので $|C(w^{-1})|=|C(w)|$ である。$B$ は $C(s)/B$ に左から推移的に作用し、$\dot sB$ の固定部分群は $B\cap\dot sB\dot s^{-1}$ なので、$\operatorname{ind}(s)=q_s$ である。
2：$\ell(sw)>\ell(w)$ とする。Tits系 の補題「長さと細胞の積」の 1 から $C(sw)=C(s)C(w)=\bigcup_{b\in B}b\dot sC(w)$ である。$b,b'\in B$ について $b\dot sC(w)$ と $b'\dot sC(w)$ が交われば $b\dot sB=b'\dot sB$ であることを示す。$b\dot su=b'\dot sv$（$u,v\in C(w)$）とし、$c:=b'^{-1}b$ とおくと、$\dot s^{-1}c\dot s=vu^{-1}\in C(w)C(w)^{-1}=C(w)C(w^{-1})$ である。一方 $\dot s^{-1}c\dot s\in C(s)C(s)=B\cup C(s)$（同じ記事の補題「単純生成元の細胞の平方」）である。もし $z:=\dot s^{-1}c\dot s\in C(s)$ なら、$z=vu^{-1}$ から $v=zu\in C(s)C(w)=C(sw)$ となり、$v\in C(w)$ なので $C(w)$ と $C(sw)$ が交わる。$sw\ne w$ だから同じ記事の補題「細胞の非交差性」に反する。よって $\dot s^{-1}c\dot s\in B$ であり、$b\dot sB=b'c\dot sB=b'\dot s(\dot s^{-1}c\dot s)B=b'\dot sB$ である。集合 $b\dot sC(w)$ は剰余類 $b\dot sB\in C(s)/B$ だけで決まるので、$C(sw)$ は、$C(s)/B$ の $q_s$ 個の元に対応する互いに交わらない $q_s$ 個の集合 $b\dot sC(w)$ に分かれる。左から $b\dot s$ を掛ける写像は全単射なので、それぞれは $\operatorname{ind}(w)$ 個の左剰余類を含み、$\operatorname{ind}(sw)=q_s\operatorname{ind}(w)$ を得る。右側の主張は、$\ell(ws)=\ell(sw^{-1})$ と 1 から従う。
3：$s=xtx^{-1}$ となる $x\in W$ のうち長さ最小のものをとる。$x=1$ なら明らか。$x\ne1$ とし、$\ell(sx)=\ell(x)-1$ と仮定すると、$sx=xt$ なので $x':=sx$ も $sx'=x=x't$、すなわち $s=x'tx'^{-1}$ を満たし、最小性に反する。よって $\ell(sx)=\ell(xt)=\ell(x)+1$ で、2 から $q_s\operatorname{ind}(x)=\operatorname{ind}(sx)=\operatorname{ind}(xt)=\operatorname{ind}(x)\,q_t$ である。$\square$
上の設定で、$T_w\mapsto a_w$ は $\mathbb C$ 代数の同型
$$
\mathcal H_{\mathbb C}\bigl(W,(q_s)\bigr)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathcal H(G,B)
$$
を与える。とくに $\operatorname{End}_G\mathbb C[G/B]$ は $\mathcal H_{\mathbb C}(W,(q_s))$ と同型である（prop-hecke-pair-end）。
$f\colon G\to\mathbb C$ について $\mu(f):=\sum_{x\in G}f(x)$ とおくと、畳み込みの定義から $\mu(f*f')=\mu(f)\mu(f')/|B|$ であり、$\mu(a_w)=|B|\operatorname{ind}(w)$ である。$\mathcal H(G,B)$ の元は $B$ の両側で不変なので、$C(w)$ の上で定数である。
(i) $\ell(sw)>\ell(w)$ のとき：$a_s*a_w$ の台は $C(s)C(w)=C(sw)$ に含まれるので、$a_s*a_w=c\,a_{sw}$ と書ける。$\mu$ を比べると $c\,|B|\operatorname{ind}(sw)=|B|\,q_s\operatorname{ind}(w)$ で、lem-hecke-cell-size の 2 から $c=1$、すなわち $a_s*a_w=a_{sw}$ である。
(ii) $w=s$ のとき：$a_s*a_s$ の台は $C(s)C(s)=B\cup C(s)$ に含まれるので $a_s*a_s=\alpha a_1+\beta a_s$ と書ける。$C(s)^{-1}=C(s)$ なので $\alpha=(a_s*a_s)(1)=\frac1{|B|}\sum_ya_s(y)a_s(y^{-1})=|C(s)|/|B|=q_s$ であり、$\mu$ を比べて $q_s^2|B|=q_s|B|+\beta q_s|B|$、すなわち $\beta=q_s-1$ である。
(iii) $\ell(sw)< \ell(w)$ のとき：$w':=sw$ とおくと $\ell(sw')>\ell(w')$ なので (i) から $a_w=a_s*a_{w'}$ であり、(ii) から $a_s*a_w=(a_s*a_s)*a_{w'}=q_sa_{w'}+(q_s-1)a_w$ である。
Bruhat 分解により $\{a_w\}_{w\in W}$ は $\mathcal H(G,B)$ の基底で、$a_1=1_B$ は単位元である。(i)〜(iii) は def-hecke-iwahori の左の規則そのものであり、lem-hecke-cell-size の 3 から $(\ast)$ も成り立つ。thm-hecke-basis の一意性から、$T_w\mapsto a_w$ は代数の同型である。$\square$
$G=\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)$、$B$ を上三角行列の群、$N$ を単項行列の群とすると、$(G,B,N,S)$ は Tits 系で $W\cong S_n$、$S$ は隣接互換の集合である（Bruhat分解 の命題「$(B,N)$ は Tits 系をなす」）。$s=(i\ i{+}1)$ のとき、$\dot sB\dot s^{-1}$ は、対角より下では $(i{+}1,i)$ 成分だけが $0$ でなくてよく、$(i,i{+}1)$ 成分が $0$ の行列からなるので、$B\cap\dot sB\dot s^{-1}$ は $(i,i{+}1)$ 成分が $0$ の上三角行列の群で、$q_s=q$ である。したがって
$$
\operatorname{End}_G\mathbb C[G/B]\cong\mathcal H(G,B)\cong\mathcal H_q(S_n)
$$
であり、この代数の次元は $n!$ である。$G/B$ は $\mathbb F_q^n$ の完全旗の集合である（有限簡約群 の例「$\mathbb{F}_q$ 上の完全旗」）。
$n=2$ では $G/B$ は射影直線 $\mathbb P^1(\mathbb F_q)$ の $q+1$ 個の点で、$V=\mathbb C[G/B]$ は $\mathbb P^1(\mathbb F_q)$ 上の関数の空間である。$a_s^\vee=a_s$ なので、prop-hecke-pair-end の同型で $a_s$ は $R_{a_s}\colon\varphi\mapsto\varphi*a_s$ に対応する。$y^{-1}x\in C(s)$ は、$x,y$ の定める直線 $xB$、$yB$ が異なることと同じなので、
$$
(R_{a_s}\varphi)(x)=\sum_{yB\ne xB}\varphi(y)=\Bigl(\sum_{P\in\mathbb P^1(\mathbb F_q)}\varphi(P)\Bigr)-\varphi(x)
$$
である。$R_{a_s}$ は定数関数の上で $q$ 倍、和が $0$ の関数（$q$ 次元）の上で $-1$ 倍であり、二次の関係式 $(T_s-q)(T_s+1)=0$ の二つの根が現れる。$\mathcal H(G,B)\cong\mathbb C\times\mathbb C$ なので、$V$ は互いに同型でない二つの既約表現の直和で、それは自明な表現と $q$ 次元の既約表現（Steinberg 表現）である。これは 放物型誘導表現 の例「自明な指標の主系列」と同じ分解である。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| パラメータの条件 $(\ast)$ | $W=S_3$、$s=(1\,2)$、$t=(2\,3)$ で $q_s\ne q_t$ | thm-hecke-basis の積の存在 |
| 左の規則の $\ell(sw)>\ell(w)$ | $\mathrm{GL}_2(\mathbb F_q)$ で $w=s$ | $a_s*a_w=a_{sw}$（実際は $a_s*a_s=q\,a_1+(q-1)a_s$） |
| $q$ が $-1$ でないこと | $\mathcal H_{-1}(S_2)=\mathbb C[T]/(T+1)^2$ | 半単純性と、群環 $\mathbb C[S_2]$ との同型 |
1 行目。$s,t$ は $tst=sts$ により共役で、$q:=q_s$、$p:=q_t$ とする。条件を満たす代数があったとすると、thm-hecke-basis の一意性の証明は $(\ast)$ を使わないので、$T_{sts}=T_sT_tT_s=T_tT_sT_t$ であり、$T_s^2=q+(q-1)T_s$、$T_t^2=p+(p-1)T_t$ も成り立つ。$T_sT_{sts}$ を二通りに計算すると
$$
T_s(T_sT_tT_s)=T_s^2T_tT_s=qT_{ts}+(q-1)T_{sts},\qquad T_s(T_tT_sT_t)=T_{sts}T_t=T_{ts}T_t^2=pT_{ts}+(p-1)T_{sts}
$$
である（2 つ目は $T_{sts}=T_tT_sT_t=T_{ts}T_t$ による）。左辺は同じ元なので、$T_{ts}$ の係数を比べると $q=p$ となり、$q\ne p$ に反する。
2 行目は thm-hecke-iwahori の証明の (ii) の計算である。3 行目。$q\ne-1$ なら $\mathbb C[T]/((T-q)(T+1))\cong\mathbb C\times\mathbb C\cong\mathbb C[S_2]$ だが、$q=-1$ では $T+1$ が $0$ でない冪零元で、代数は半単純でない。$q=-1$ は $S_2$ の Poincaré 多項式 $\sum_{w}q^{\ell(w)}=1+q$ の根である。
補足
Kazhdan–Lusztig 基底。$A=\mathbb Z[v,v^{-1}]$ でパラメータがすべて $q=v^2$ のとき、$T_w':=v^{-\ell(w)}T_w$ とおく。$\mathcal H$ には $T_w'\mapsto(T_{w^{-1}}')^{-1}$、$v\mapsto v^{-1}$ で定まる環の対合があり、各 $w$ について、この対合で不変で $c_w-T_w'$ が $T_y'$（$y\in W$）の $v^{-1}\mathbb Z[v^{-1}]$ 係数の和になる元 $c_w$ がただ一つあって、$\{c_w\}$ は基底をなす（Lus14 Lemma 4.2（p. 24）と Theorem 5.2（p. 27）。この記事では証明しない）。展開の係数から Kazhdan–Lusztig 多項式 $P_{y,w}$ が定まる。$W$ が Weyl 群のときは、この係数が旗多様体の Schubert 多様体の交叉コホモロジー（交叉コホモロジー）の次元を与え、とくに係数は $0$ 以上である（Spr82 Théorème 2.8、p. 254 と Corollaire 2.9、p. 255）。代数の構造が偏屈層の幾何で読み取れるこの関係は、Springer対応 と並んで、Weyl 群の表現論と偏屈層を結ぶ代表例である。
アフィン Hecke環。局所体 $\mathbb F_q((\varepsilon))$ の上の分裂した単連結な概単純群 $G$ と岩堀部分群 $I$ の組では、Hecke環 $\mathcal H(G,I)$（$I$ の両側で不変で台がコンパクトな関数の畳み込みの代数）が、アフィン Weyl 群（アフィンWeyl群）のパラメータ $q$ の岩堀–Hecke環と同型になる。これは岩堀と Hideya Matsumoto が示した（Lus14 0.6、pp. 6–8。この記事では証明しない）。岩堀部分群は アフィンWeyl群 の例で述べられている部屋の固定部分群である。
保型形式の Hecke 作用素との違い。保型形式の理論で「Hecke環」というと、Hecke 作用素 $T_n$（Hecke作用素）が生成する可換な代数を指すことが多い。これも $\mathrm{GL}_2$ の部分群 $\Gamma$ についての両側剰余類 $\Gamma g\Gamma$ の代数として作られ、def-hecke-pair と同じ考え方に基づくが、岩堀–Hecke環のような Coxeter 群の群環の変形にはならない。
関連項目
参考文献
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