局所コホモロジー

$A = k[x]$（$k$ は体）、$I = (x)$ とする。Čech 複体は $0 \to A \to A_x \to 0$ であり、
$$ H^0_{(x)}(A) = 0, \qquad H^1_{(x)}(A) = k[x, x^{-1}]/k[x] $$
である。$H^1$ は $x^{-1}, x^{-2}, \ldots$ の類を基底とする $k$ ベクトル空間である。prop-local-cohomology-long-exact の言葉では、原点を除いた直線上の関数 $k[x, x^{-1}]$ のうち、直線全体に延びないもの（極の部分）を測っている。

$A = k[x, y]$、$I = (x, y)$、$X = \mathbb{A}^2_k$、$Z = \{0\}$、$U = X \smallsetminus Z$ とする。Čech 複体 $0 \to A \to A_x \oplus A_y \to A_{xy} \to 0$ を計算する。

• $A$ は整域なので $H^0 = 0$ である。
• $(a, b) \in A_x \oplus A_y$ が $A_{xy}$ で $a = b$ を満たすとする。単項式 $x^i y^j$（$i, j \in \mathbb{Z}$）で展開すると、$a$ は $j \ge 0$ の項だけを、$b$ は $i \ge 0$ の項だけをもつので、共通の元は $i, j \ge 0$ の項だけをもち、$A$ に属する。よって $H^1 = 0$ である。
• $A_x + A_y$ は $i \ge 0$ または $j \ge 0$ の単項式で張られるので、$H^2 = A_{xy}/(A_x + A_y)$ は $x^i y^j$（$i, j < 0$）の類を基底とする。
  したがって $H^0_I(A) = H^1_I(A) = 0$、$H^2_I(A) \ne 0$ である。長完全列と $H^i(X, \mathcal{O}_X) = 0$（$i \ge 1$）から
• $\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A$ である。原点を除いた平面上の正則関数は平面全体に延びる（代数的な Hartogs 現象）。
• $H^1(U, \mathcal{O}_U) \cong H^2_I(A) \ne 0$ である。アフィンスキーム上の準連接層の高次コホモロジーは消えるので、$U$ はアフィンでない。
  同じ計算で、$A = k[x_1, \ldots, x_n]$、$I = (x_1, \ldots, x_n)$ について $H^i_I(A)$ は $i = n$ でだけ $0$ でなく、$H^n_I(A)$ は $x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n}$（すべての $a_j < 0$）の類を基底とする。これはthm-local-cohomology-grothendieck で $t = d = n$ の場合にあたる。

「余次元 $2$ 以上の閉集合を除いても、正則関数の環は変わらない」という主張は、深さの条件を外すと成り立たない。$A = k[x, y, z, w]/\bigl((x, y) \cap (z, w)\bigr)$、$X = \operatorname{Spec} A$ とする。$X$ は 2 枚の平面 $P_1 = V(x, y)$、$P_2 = V(z, w)$ の和であり、両者は原点だけで交わる。原点 $Z$ は $2$ 次元の $X$ の中で余次元 $2$ である。
$U = X \smallsetminus Z$ は $P_1 \smallsetminus Z$ と $P_2 \smallsetminus Z$ の互いに素な開集合の和なので、$P_1 \smallsetminus Z$ 上で $1$、$P_2 \smallsetminus Z$ 上で $0$ となる冪等元 $e \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)$ がある。$e$ が $a \in A$ の制限なら、$a^2 - a$ は $U$ 上で $0$ であり、$A$ は被約で $U$ は $X$ の両方の既約成分の生成点を含むので $a^2 = a$ となる。$X$ は連結だから $a \in \{0, 1\}$ であり、$e \ne 0, 1$ に矛盾する。よって $A \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)$ は全射でない。原点での局所化 $A_{\mathfrak{m}}$（$\mathfrak{m} = (x, y, z, w)$）でも、穴あきスペクトルは両平面の部分に分かれ、局所環のスペクトルは連結なので、同じ議論が成り立つ。cor-local-cohomology-punctured により $H^1_{\mathfrak{m}}(A_{\mathfrak{m}}) \ne 0$ である。thm-local-cohomology-grothendieck の 1 により $\operatorname{depth} A_{\mathfrak{m}} \le 1 < 2 = \dim A_{\mathfrak{m}}$ である。
正規なネーター整域では、高さ $2$ 以上の素イデアルでの局所化の深さは $2$ 以上であり（Serre の正規性判定法。Mat86 第 23 節）、このような反例は起こらない。

$\operatorname{Ext}^i_A(N, M)$ は $A, M, N$ がネーター・有限生成なら有限生成だが、その帰納極限である局所コホモロジーはそうとは限らない。ex-local-cohomology-one-variable の $H^1_{(x)}(k[x]) = k[x, x^{-1}]/k[x]$ は、各元がある $x^n$ で消えるが、有限生成なら一つの $x^n$ で全体が消えるはずで、$x^{-n-1}$ の類がそれに反する。よって有限生成でない。局所環 $(A, \mathfrak{m})$ と有限生成な $M$ については、$H^i_{\mathfrak{m}}(M)$ は Artin 加群であることが知られている（BS13 第 7 章。本記事では証明しない）。

$X$ を正則スキーム、$Z$ を余次元 $c$ の正則な閉部分スキーム、$n$ を $X$ 上可逆な整数とすると、
$$ \mathcal{H}^q_Z(\mathbb{Z}/n) = 0 \quad (q \ne 2c), \qquad \mathcal{H}^{2c}_Z(\mu_n^{\otimes j}) \cong \mu_n^{\otimes (j - c)}|_Z $$
が成り立つ（絶対純性。体上滑らかな場合は SGA 4 第 XVI 講、一般の場合は Gabber による。本記事では証明しない）。これと長完全列を組み合わせると、$H^i(X \smallsetminus Z)$ と $H^i(X)$ の差が $Z$ のコホモロジーで表される（Gysin 列）。同じ考え方を係数 $\mathbb{G}_m$ で行い、$\mathcal{H}^3_Z(\mathbb{G}_m)$ の消滅を問うのが Brauer群の純性 である。