Lefschetz原理

2 ⇒ 1 ⇒ 3 と 4 ⇒ 5 は明らかである（$\mathbb C$ は標数 $0$ の代数閉体であり、標数 $p$ の代数閉体はどの $p$ についても存在する）。
3 ⇒ 2． $\mathrm{ACF}_0$ は完全なので、標数 $0$ のある代数閉体で真な文は、標数 $0$ のすべての代数閉体で真である。
2 ⇒ 4． 2 は「$\mathrm{ACF}_0$ のすべてのモデルで $\varphi$ が真」ということである。帰結の有限性により、$\mathrm{ACF}_0$ の有限部分集合 $T_0$ で、そのすべてのモデルで $\varphi$ が真となるものがある。$T_0$ に現れる文 $\lnot(n\cdot1=0)$ の $n$ の最大値を $N$ とする（現れなければ $N=1$）。$p>N$ を素数、$K$ を標数 $p$ の代数閉体とする。$K$ は $\mathrm{ACF}$ のモデルであり、$1\le n\le N< p$ なら $K$ で $n\cdot1\ne0$ なので、$K$ は $T_0$ のモデルである。よって $\varphi$ は $K$ で真である。
5 ⇒ 2． 2 が成り立たないとすると、標数 $0$ のある代数閉体で $\lnot\varphi$ が真なので、3 ⇒ 2 により $\lnot\varphi$ は標数 $0$ のすべての代数閉体で真である。いま示した 2 ⇒ 4 を $\lnot\varphi$ に適用すると、ある $N'$ があって、$N'$ より大きいすべての素数 $p$ について $\lnot\varphi$ は標数 $p$ のすべての代数閉体で真である。すると $\varphi$ が真になる標数 $p$ の代数閉体があるような素数 $p$ は $N'$ 以下に限られ、5 に反する。$\square$

$n$ と次数の上限 $d$ を固定する。$n$ 変数で次数 $d$ 以下の単項式は有限個なので、$n$ 個の多項式 $F_1,\ldots,F_n$ はそれらの係数を並べた有限個の変数の組 $\bar a$ で表せる。この多項式写像を $F_{\bar a}$ と書くと、$F_{\bar a}(\bar x)=F_{\bar a}(\bar y)$ は整数係数の多項式の等式 $n$ 個の連言である。よって
$$ \varphi_{n,d}:\quad \forall\bar a\,\Bigl[\,\forall\bar x\,\forall\bar y\,\bigl(F_{\bar a}(\bar x)=F_{\bar a}(\bar y)\to\bar x=\bar y\bigr)\ \to\ \forall\bar z\,\exists\bar x\ F_{\bar a}(\bar x)=\bar z\,\Bigr] $$
は $L_{\mathrm{ring}}$ の文であり、「次数 $d$ 以下の多項式による単射な写像 $K^n\to K^n$ は全射である」ことを表す。すべての $d$ について $\varphi_{n,d}$ が $K$ で真であることを示せばよい。
$\overline{\mathbb F}_p$ の場合． $p$ を素数、$\overline{\mathbb F}_p$ を有限体 $\mathbb F_p$ の代数閉包とする。係数 $\bar a$ をもつ $F=F_{\bar a}$ が $\overline{\mathbb F}_p^{\,n}$ 上で単射とし、$\bar z\in\overline{\mathbb F}_p^{\,n}$ をとる。$\bar a$ と $\bar z$ の成分は有限個で、どれも $\mathbb F_p$ 上代数的なので、それらが $\mathbb F_p$ 上生成する体 $k$ は $\mathbb F_p$ の有限次拡大、すなわち有限体である。$F$ の係数は $k$ に属するので、$F$ は $k^n$ を $k^n$ に写し、$k^n$ 上でも単射である。$k^n$ は有限集合なので、単射な写像 $k^n\to k^n$ は全射であり、$\bar z\in k^n$ はある $\bar x\in k^n$ の像になる。よって $\varphi_{n,d}$ は $\overline{\mathbb F}_p$ で真である。
一般の場合． $\mathrm{ACF}_p$ は完全なので、$\varphi_{n,d}$ は標数 $p$ のすべての代数閉体で真である。これがすべての素数 $p$ について成り立つので、thm-lef-main の 5 ⇒ 2 により、$\varphi_{n,d}$ は標数 $0$ のすべての代数閉体でも真である。$\square$

$K$ の $\mathbb Q$ 上の超越基底 $B$ をとる（超越次数 の命題「超越基底の存在と延長」）。$\mathbb C$ の $\mathbb Q$ 上の超越基底 $B'$ の濃度は $2^{\aleph_0}$ なので（超越次数 の例「複素数体と実数体の有理数体上の超越次数」）、単射 $\iota\colon B\to B'$ がある。$B$ と $\iota(B)$ はどちらも代数的に独立なので、$\iota$ は多項式環の同型 $\mathbb Q[B]\to\mathbb Q[\iota(B)]$ を引き起こし、商体の同型 $\sigma_0\colon\mathbb Q(B)\to\mathbb Q(\iota(B))\subset\mathbb C$ に延びる。$\mathbb C$ の元のうち $\mathbb Q(\iota(B))$ 上代数的なものの全体 $\Omega$ は代数閉体で（代数閉体 の命題「代数閉体の中の代数閉包」）、$\mathbb Q(\iota(B))$ の代数閉包である。$K$ は $\mathbb Q(B)$ 上代数的なので、$\sigma_0$ で $\mathbb Q(B)$ と $\mathbb Q(\iota(B))$ を同一視すると、Mil22 Theorem 6.6（p. 90）により $\sigma_0$ を延長する準同型 $K\to\Omega\subset\mathbb C$ がある。$\mathbb Q$ 上有限生成な体の超越次数は有限であり、可算な体の超越基底は可算なので、最後の主張が従う。$\square$

段 1（有限生成の部分体の上で定義する）． $X$ は射影空間 $\mathbb P^N_k$ の閉部分スキームで、斉次イデアル $I\subset k[x_0,\ldots,x_N]$ で定まる。Hilbert の基底定理により $I$ は有限個の斉次多項式 $f_1,\ldots,f_r$ で生成される。それらの係数が $\mathbb Q$ 上生成する体を $K_0\subset k$ とし、$f_1,\ldots,f_r$ が $\mathbb P^N_{K_0}$ に定める閉部分スキームを $X_0$ とする。各標準アフィン開集合 $D_+(x_j)$ の上で、$X_0$ と $X$ の座標環は $K_0[x_i/x_j]/(f_l/x_j^{\deg f_l})$ と $k[x_i/x_j]/(f_l/x_j^{\deg f_l})$ であり、後者は前者の $\otimes_{K_0}k$ である。よって $X\cong X_0\times_{K_0}k$ である。
段 2（滑らかさ）． $\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}K_0$ は忠実平坦で準コンパクトなので fpqc 被覆であり、射が滑らかであるという性質は fpqc 位相で底について局所的である（Stacks Tag 02VL）。$X$ が $k$ 上滑らかなので、$X_0$ は $K_0$ 上滑らかである。$X_0$ は $\mathbb P^N_{K_0}$ の閉部分スキームなので射影的である。
段 3（体の拡大による底変換）． 体の拡大 $L/K_0$ について $X_L:=X_0\times_{K_0}L$ とおく。Kähler 微分は底変換と可換であり（Har77 命題 II.8.10、p. 175）、外冪も引き戻しと可換なので、$\Omega^p_{X_L/L}$ は $\Omega^p_{X_0/K_0}$ の引き戻しである。$\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}K_0$ は Noether スキームの平坦な射なので、平坦な底変換によりコホモロジーは底変換と可換で（Har77 命題 III.9.3 とその証明、p. 255）、
$$ H^q(X_L,\Omega^p_{X_L/L})\cong H^q(X_0,\Omega^p_{X_0/K_0})\otimes_{K_0}L $$
である。また de Rhamコホモロジー の系「体の拡大による底変換」により $H^n_{dR}(X_L/L)\cong H^n_{dR}(X_0/K_0)\otimes_{K_0}L$ である。$\otimes_{K_0}L$ は次元を変えないので、$X_L$ の $h^{p,q}$ と $\dim H^n_{dR}$ は $X_0$ のものに等しい。
段 4（$\mathbb C$ へ移す）． $K_0$ は $\mathbb Q$ 上有限生成なので、prop-lef-embed により体の準同型 $\sigma\colon K_0\to\mathbb C$ がある。$\sigma$ で $\mathbb C$ を $K_0$ の拡大とみなし、段 3 を $L=\mathbb C$ と $L=k$ に適用する。$X_{\mathbb C}$ は滑らかな射影スキーム $X_0$ の底変換なので、$\mathbb C$ 上の滑らかな射影スキームであり、上で認めた $\mathbb C$ の場合の等式を満たす。段 3 により $X_{\mathbb C}$、$X_0$、$X_k=X$ の $h^{p,q}$ と $\dim H^n_{dR}$ はすべて等しいので、等式は $X$ についても成り立つ。$\square$