中心化群と正規化群

1：$G$ は部分集合全体の集合に $g\cdot A:=gAg^{-1}$ で作用する（$eAe^{-1}=A$、$(gh)A(gh)^{-1}=g(hAh^{-1})g^{-1}$）。$N_G(S)$ はこの作用での $S$ の安定化群なので部分群である（軌道・安定化群定理 の定義「軌道と安定化群」の後の段落）。同様に $C_G(s)=N_G(\{s\})$ は部分群であり、部分群の共通部分 $C_G(S)=\bigcap_{s\in S}C_G(s)$ も部分群である（$S=\emptyset$ なら $C_G(S)=G$）。$g\in C_G(S)$ なら $gsg^{-1}=s$ がすべての $s\in S$ で成り立つので $gSg^{-1}=S$、すなわち $g\in N_G(S)$ である。
正規性：$n\in N_G(S)$、$c\in C_G(S)$、$s\in S$ とする。$n^{-1}\in N_G(S)$ なので $n^{-1}sn\in S$ であり、$c$ はこれと可換である。よって
$$ (ncn^{-1})\,s\,(ncn^{-1})^{-1}=n\,c\,(n^{-1}sn)\,c^{-1}\,n^{-1}=n\,(n^{-1}sn)\,n^{-1}=s $$
であり、$ncn^{-1}\in C_G(S)$ である。
2：前半は定義から明らかである。$s\in S$ はすべての $c\in C_G(S)$ と可換なので $s\in C_G(C_G(S))$ である。$C_G(\langle S\rangle)\subset C_G(S)$ は前半から従う。逆に $c\in C_G(S)$ なら、$c$ と可換な元の全体 $C_G(c)$ は部分群で $S$ を含むので $\langle S\rangle\subset C_G(c)$、すなわち $c$ は $\langle S\rangle$ のすべての元と可換で $c\in C_G(\langle S\rangle)$ である。
3：$h\in H$ なら $hHh^{-1}=H$ なので $H\subset N_G(H)$ である。$H\subset K$ のとき、$H$ が $K$ の正規部分群であることは、すべての $k\in K$ について $kHk^{-1}=H$ となること（正規部分群 の定理「正規性の同値条件」）、すなわち $K\subset N_G(H)$ と同値である。$K=N_G(H)$ とすれば $H$ は $N_G(H)$ の正規部分群であり、$H$ を正規部分群として含む部分群はどれも $N_G(H)$ に含まれる。$K=G$ とすれば最後の主張を得る。
4：$x\in G$ について $x\in C_G(gSg^{-1})$ は、すべての $s\in S$ で $x(gsg^{-1})x^{-1}=gsg^{-1}$、すなわち $(g^{-1}xg)s(g^{-1}xg)^{-1}=s$ となることと同値で、これは $g^{-1}xg\in C_G(S)$、すなわち $x\in gC_G(S)g^{-1}$ と同値である。正規化群についても、$x(gSg^{-1})x^{-1}=gSg^{-1}\iff(g^{-1}xg)S(g^{-1}xg)^{-1}=S$ から同じく従う。
5：定義の条件は $K$ の元についても $G$ の元についても同じ式なので、$K$ の元のうち条件を満たすものの全体は $C_G(S)\cap K$、$N_G(S)\cap K$ である。$\square$

prop-cn-basic の証明の 1 で用いた作用 $g\cdot A=gAg^{-1}$ で、$S$ の軌道は $S$ の共役の全体であり、安定化群は $N_G(S)$ である。軌道・安定化群定理 により、$gN_G(S)\mapsto g\cdot S=gSg^{-1}$ は $G/N_G(S)$ から軌道への全単射であり、1 を得る。2 は $S=\{x\}$ の場合で、$N_G(\{x\})=C_G(x)$ であり、集合 $\{gxg^{-1}\}$ と元 $gxg^{-1}$ は一対一に対応する。3 は $S=H$ の場合である。$G$ が有限なら、Lagrangeの定理 により指数は $|G|$ の約数である。$\square$

$G$ は共役類の互いに交わらない和集合である（共役による作用の軌道への分割、共役(群論) の命題「共役の基本性質」の 2）。共役類 $\{gxg^{-1}\}$ が 1 元からなることは、すべての $g$ で $gxg^{-1}=x$、すなわち $x\in Z(G)$ であることと同値なので、1 元の共役類は $Z(G)$ の元と一対一に対応し、合計 $|Z(G)|$ 個の元を含む。残りの共役類の大きさは thm-cn-count の 2 により $[G:C_G(x_i)]$ であり、$x_i\notin Z(G)$ なので $C_G(x_i)\neq G$、すなわち $[G:C_G(x_i)]>1$ である。$\square$

$g\in N_G(H)$ なら $gHg^{-1}=H$ なので、$c_g|_H$ は $H$ を $H$ の上へ写す。$c_g(hh')=ghh'g^{-1}=(ghg^{-1})(gh'g^{-1})$ なので準同型であり、$c_{g^{-1}}|_H$ が逆写像なので全単射、すなわち $H$ の自己同型である。$c_{gg'}(h)=gg'h(gg')^{-1}=c_g(c_{g'}(h))$ なので $\Phi(gg')=\Phi(g)\circ\Phi(g')$ であり、$\Phi$ は準同型である。$\Phi(g)=\mathrm{id}_H$ はすべての $h\in H$ で $ghg^{-1}=h$ となること、すなわち $g\in C_G(H)$ と同値なので、$\ker\Phi=C_G(H)$ である。準同型定理 により $N_G(H)/C_G(H)\cong\Phi(N_G(H))$ であり、右辺は $\operatorname{Aut}(H)$ の部分群である。$\square$