Grothendieckの存在定理(形式スキーム)

問題は局所的なので、$\hat{X}$ のアフィンな開集合 $\operatorname{Spf}B$（$B$ は $IB$ 進完備な Noether 環）の上で考える。そこでは連接層は有限生成 $B$ 加群に対応し、大域切断をとる関手は完全である（Har77 II, Theorem 9.7, p. 198）。$u$ が有限生成加群の準同型 $M\to N$ にあたるとすると、仮定から $N=u(M)+IN$ である。$a\in IB$ について $1-a$ は $B$ の単元である（$\sum_{j\ge0}a^j$ が $IB$ 進位相で収束して逆元を与える）から、$IB$ は $B$ の Jacobson 根基に含まれ、中山の補題により $N=u(M)$ である。$\square$

要点：$\bigoplus_n\operatorname{gr}^n\mathfrak{F}$ を次数付き環 $G:=\bigoplus_nI^n/I^{n+1}$ 上の 1 つの連接層とみなし、$G$ 上射影的なスキームの上で Serreの消滅定理 を 1 回だけ使う。そうすると $m_0$ が $n$ によらずにとれる。

$\mathcal{O}_X(1)$ を $X\subset\mathbb{P}^N_A$ から来る豊富な可逆層とする。
段 1：$\mathcal{O}_X(-m)$ からの射．$X$ 上の連接層 $\mathcal{G}$ と整数 $m$ について、
$$ \operatorname{Hom}_X(\mathcal{O}_X(-m),\mathcal{G})=H^0(X,\mathcal{G}(m)),\qquad\operatorname{Hom}_{\hat{X}}(\widehat{\mathcal{O}_X(-m)},\hat{\mathcal{G}})=\varprojlim_nH^0(X_n,\mathcal{G}_n(m)) $$
であり（後者は def-get-system の後の Hom の記述による）、完備化が誘導する写像は $H^0(X,\mathcal{G}(m))\to\varprojlim_nH^0(X_n,\mathcal{G}(m)/I^{n+1}\mathcal{G}(m))$ である。形式関数の定理 の定理「射影的な場合の形式関数の定理」により、これは有限生成 $A$ 加群 $H:=H^0(X,\mathcal{G}(m))$ の $I$ 進完備化 $\hat{H}$ への写像と同一視され、$A$ が $I$ 進完備で $H$ が有限生成なので $\hat{H}=H\otimes_A\hat{A}=H$ である。よって全単射である。有限直和についても同じである。
段 2：充満忠実性．$\mathcal{F},\mathcal{G}$ を $X$ 上の連接層とする。Har77 II, Corollary 5.18（p. 121）により完全列 $\mathcal{E}_2\to\mathcal{E}_1\to\mathcal{F}\to0$ で、$\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2$ が $\mathcal{O}_X(-m)$ の形の層の有限直和であるものがある（$\mathcal{F}$ を $\mathcal{E}_1$ の商として表し、その核にも同じことをする）。完備化は完全なので $\hat{\mathcal{E}}_2\to\hat{\mathcal{E}}_1\to\hat{\mathcal{F}}\to0$ も完全である。$\operatorname{Hom}(-,\mathcal{G})$ と $\operatorname{Hom}(-,\hat{\mathcal{G}})$ の左完全性から、完備化が誘導する写像の可換図式
$$ \begin{array}{ccccccc} 0&\to&\operatorname{Hom}_X(\mathcal{F},\mathcal{G})&\to&\operatorname{Hom}_X(\mathcal{E}_1,\mathcal{G})&\to&\operatorname{Hom}_X(\mathcal{E}_2,\mathcal{G})\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ 0&\to&\operatorname{Hom}_{\hat{X}}(\hat{\mathcal{F}},\hat{\mathcal{G}})&\to&\operatorname{Hom}_{\hat{X}}(\hat{\mathcal{E}}_1,\hat{\mathcal{G}})&\to&\operatorname{Hom}_{\hat{X}}(\hat{\mathcal{E}}_2,\hat{\mathcal{G}}) \end{array} $$
の行は完全で、段 1 により右の 2 本の縦の矢印は全単射である。よって左の縦の矢印も全単射である（左の項はそれぞれ右の 2 項の間の写像の核である）。
段 3：$\hat{X}$ 上の連接層は完備化の商．$\mathfrak{F}=(\mathcal{F}_n)$ を $\hat{X}$ 上の連接層とし、lem-get-uniform の $m_0$ をとって $m\ge m_0$ を固定する。$H^0(X,\mathcal{F}_0(m))$ は有限生成 $A_0$ 加群（Har77 III, Theorem 5.2, p. 228）で $\mathcal{F}_0(m)$ を生成するので、その生成元 $s_1,\dots,s_r$ をとる。推移写像 $H^0(\mathcal{F}_n(m))\to H^0(\mathcal{F}_{n-1}(m))$ は全射なので、各 $s_i$ を両立する切断の族 $(s_{i,n})_n$ に持ち上げられる。これは両立する射 $\mathcal{O}_{X_n}(-m)^{\oplus r}\to\mathcal{F}_n$ の族、すなわち $\mathcal{E}:=\mathcal{O}_X(-m)^{\oplus r}$ について射 $u\colon\hat{\mathcal{E}}\to\mathfrak{F}$ を定める。$u$ の法 $I$ の還元は $s_1,\dots,s_r$ による全射なので、lem-get-nakayama により $u$ は全射である。
段 4：本質的全射性．段 3 の $u$ の核 $\mathfrak{K}$ は連接層なので、段 3 を $\mathfrak{K}$ に当てて全射 $\hat{\mathcal{E}}'\to\mathfrak{K}$ を得る。合成 $\hat{\mathcal{E}}'\to\mathfrak{K}\to\hat{\mathcal{E}}$ は、段 2 によりある射 $w\colon\mathcal{E}'\to\mathcal{E}$ の完備化 $\hat{w}$ である。$\hat{\mathcal{E}}'\xrightarrow{\hat{w}}\hat{\mathcal{E}}\to\mathfrak{F}\to0$ は完全なので、完備化の完全性から $\mathfrak{F}\cong\operatorname{Coker}(\hat{w})\cong(\operatorname{Coker}w)^\wedge$ である。$\square$

閉部分スキーム $Z$ は商 $\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_Z$（同型を除く）と、両立系 $(Z_n)$ は両立系の商 $(\mathcal{O}_{X_n}\to\mathcal{O}_{Z_n})$ と 1 対 1 に対応する。$Z_{n+1}\cap X_n=Z_n$ は $\mathcal{O}_{Z_{n+1}}/I^{n+1}\mathcal{O}_{Z_{n+1}}=\mathcal{O}_{Z_n}$ のことなので、$(\mathcal{O}_{Z_n})$ は $\hat{X}$ 上の連接層で、$\hat{\mathcal{O}}_X=(\mathcal{O}_{X_n})$ の商である。thm-get-projective の圏同値は全射を全射に移し（圏同値は余核を保つ）、商の同型類を保つので、$\mathcal{O}_X$ の商と $\hat{\mathcal{O}}_X$ の商は対応する。$\mathcal{O}_Z$ の完備化は $(\mathcal{O}_Z/I^{n+1}\mathcal{O}_Z)=(\mathcal{O}_{Z\cap X_n})$ である。$\square$